2022高考数学一轮复习第二章函数2.4幂函数与二次函数学案文含解析新人教A版

1、2.4幂函数与二次函数必备知识预案自诊知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义:形如(r)的函数称为幂函数,其中x是,是.(2)五种幂函数的图象(3)五种幂函数的性质幂函数y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性定点(1,1),(0,0)(1,1)2.二次函数(1)二次函数的三种形式一般式:;顶点式:,其中为顶点坐标;零点式:,其中为二次函数的零点.(2)二次函数的图象和性质函数y=ax2+bx+c(a0)a0a0图象定义域r值域4ac-b24a,+-,4ac-b24a单调性在-,-b2a上递减,在-b2a,+上递增在-,-b2a上递增,在-b2a,+上递减

2、奇偶性当b=0时,y为偶函数;当b0时,y既不是奇函数也不是偶函数图象特点对称轴:;顶点:-b2a,4ac-b24a1.幂函数y=x的图象在第一象限的两个重要结论:(1)恒过点(1,1);(2)当x(0,1)时,越大,函数值越小;当x(1,+)时,越大,函数值越大.2.研究二次函数y=ax2+bx+c(a0)在区间m,n(m0时,若|x1-m|x2-m|,则f(x1)f(x2);当a|x2-m|,则f(x1)f(x2).4.一元二次方程f(x)=x2+px+q=0的实根分布:(1)方程f(x)=0在区间(m,+)内有根的充要条件为f(m)m;考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误

3、的画“”.(1)函数y=-x2与y=2x12都是幂函数.()(2)幂函数的图象经过第四象限,当0时,幂函数y=x是定义域上的增函数.()(3)二次函数y=ax2+bx+c(a0),当x=-b2a时,y取得最小值4ac-b24a.()(4)幂函数的图象不经过第四象限.()(5)二次函数y=ax2+bx+c(a0)的函数值恒为负的充要条件是a0,b2-4acbcb.abcc.bcad.ac0,否则0;若0,再观察第一象限的图象是上凸还是下凸,上凸时01;最后由x1时,在第一象限内的值按逆时针方向依次增大得出结论.对点训练2(1)下面给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应的是()a.y=x13

4、;y=x2;y=x12;y=x-1b.y=x3;y=x2;y=x12;y=x-1c.y=x2;y=x3;y=x12;y=x-1d.y=x13;y=x12;y=x2;y=x-1(2)(2020河北定州模拟,理4)已知点a,12在幂函数f(x)=(a-1)xb的图象上,则函数f(x)是()a.奇函数b.偶函数c.定义域内的减函数d.定义域内的增函数考点幂函数的性质及应用【例3】(1)若(a+1)120时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+)上单调递增;(2)当0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+)上单调递减.2.比较两个幂的大小,如果指数相同而底数不同,此时利用幂函

5、数的单调性来比较大小;如果底数相同而指数不同,此时利用指数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同,此时需要引入中间变量,常用的中间变量有0,1或由一个幂的底数和另一个幂的指数组成的幂.对点训练3(1)已知幂函数f(x)=x-12,若f(a+1)f(10-2a),则a的取值范围是.(2)已知a=243,b=323,c=2513,则()a.bacb.abcc.bcad.cab考点求二次函数的解析式【例4】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定此二次函数的解析式.解题心得确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:变式发散1将本例

6、中的“f(2)=-1,f(-1)=-1”改为“与x轴的两个交点坐标为(0,0)和(-2,0)”,其他条件不变,试确定f(x)的解析式.变式发散2将本例中条件变为:二次函数f(x)的图象经过点(4,3),在x轴上截得的线段长为2,且xr,都有f(2+x)=f(2-x),试确定f(x)的解析式.考点二次函数的图象与性质(多考向探究)考向1二次函数的单调性及应用【例5】(1)已知函数f(x)=-x2+2ax+3在区间(-,4)上单调递增,则实数a的取值范围是.(2)已知函数f(x)=ax2+(a-3)x+1在区间-1,+)上是单调递减的,则实数a的取值范围是()a.-3,0)b.(-,-3c.-2,

7、0d.-3,0解题心得二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同,因此,研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论.对点训练5(1)已知函数f(x)=lnx,x1,-x2+ax-a2+1,xf(cx)d.与x有关,不确定考向2二次函数的最值问题【例6】(1)已知函数f(x)=(x+2 013)(x+2 015)(x+2 017)(x+2 019),xr,则函数f(x)的最小值是.(2)若函数f(x)=ax2+2ax+1在1,2上有最大值4,则a的值为.解题心得二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型:轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是考虑对称轴与区间的关系,

8、当含有参数时,要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论,当确定了对称轴和区间的关系,就明确了函数的单调性,从而确定函数的最值.对点训练6(1)已知y=f(x)是偶函数,当x0时,f(x)=(x-1)2,若当x-2,-12时,nf(x)m恒成立,则m-n的最小值为()a.13b.12c.34d.1(2)如果函数f(x)=x2-ax-a在区间0,2上的最大值为1,那么实数a=.考向3与二次函数有关的恒成立问题【例7】设函数f(x)=mx2-mx-1,若对于x1,3,f(x)0恒成立,则实数a的取值范围是.考向4二次函数中的双变量问题【例8】已知函数f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a0),对任

9、意的x1-1,2都存在x0-1,2,使得g(x1)=f(x0),则实数a的取值范围是.解题心得已知函数f(x),g(x),若对任意的x1a,b都存在x0c,d,使得g(x1)=f(x0)等价于g(x1)在a,b上的值域是f(x0)在c,d上的值域的子集.对点训练8(2020河北唐山模拟)已知函数f(x)=-x2+ax-6,g(x)=x+4,若对任意x1(0,+),存在x2(-,-1,使f(x1)g(x2),则实数a的最大值为()a.6b.4c.3d.2考点二次函数、方程、不等式的关系(多考向探究)考向1一元二次方程与一元二次不等式【例9】关于x的不等式x2+px-20(a0),f(x)0的x的

10、范围即为一元二次不等式ax2+bx+c0的解集;一元二次不等式ax2+bx+c0的解集的端点值即为一元二次方程ax2+bx+c=0的根.对点训练9(1)已知不等式ax2+bx+20的解集为x|-1x2,则不等式2x2+bx+a0的解集为()a.x-1x12b.xx12c.x|-2x1d.x|x1(2)若关于x的不等式x2-ax+10的解集中只有一个整数,且该整数为1,则a的取值范围为()a.2,52b.2,52c.2,52d.2,52(3)不等式(a2-4)x2+(a+2)x-10的解集是空集,则实数a的取值范围为()a.-2,65b.-2,65c.-2,65d.-2,6521.幂函数y=x(

11、r)的图象的特征:当0时,图象过原点和点(1,1),在第一象限内从左到右图象逐渐上升;当0,m0,解得0m1.故m的取值范围为(0,1.(2)由题意得=(m-3)2-4m0,3-m0,解得m9.故m的取值范围为9,+).(3)由题意得0,m0,解得m0.故m的取值范围为(-,0).【例2】关于x的方程x2+(m-3)x+m=0满足下列条件,求m的取值范围.(1)一个根大于1,一个根小于1;(2)一个根在(-2,0)内,另一个根在(0,4)内;(3)一个根小于2,一个根大于4;(4)两个根都在(0,2)内.思考对于此题,韦达定理适合吗?还有哪些方法可以解决此问题呢?能否利用数形结合的思想列出符合

12、题意的不等式?解令f(x)=x2+(m-3)x+m,(1)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,一个根小于1,则f(1)=2m-20,解得m0,f(0)=m0,解得-45m0.故m的取值范围为-45,0.(3)若方程x2+(m-3)x+m=0的一个根小于2,一个根大于4,则f(2)=3m-20,f(4)=5m+40,2-m-324,解得-5m0,f(0)=m0,0-m-322,=(m-3)2-4m0,解得230)满足下列条件,请画出方程对应函数的图象,列出满足条件的不等式.(1)一个根在(m,n),另一根在(p,q);(2)两个根都在(m,n).解设f(x)=ax2+bx+c(a0)

13、,满足题意的图象如图,则(1)f(m)f(n)0,f(p)f(q)0.(2)0,m-b2a0,f(n)0.归纳小结设函数f(x)=ax2+bx+c=0(a0)分布情况两根都在(m,n)内两根有且仅有一根在(m,n)内一根在(m,n)内,另一根在(p,q)内大致图象(a0)得出的结论0,f(m)0,f(n)0,m-b2anf(m)f(n)0,f(n)0,f(p)0或f(m)f(n)0,f(p)f(q)0大致图象(a0)得出的结论0,f(m)0,f(n)0,m-b2anf(m)f(n)0f(m)0,f(p)0,f(q)0或f(m)f(n)0,f(p)f(q)0,解得m=1.故选b.对点训练1(1)

14、b(2)c(1)显然,根据幂函数定义可知,只有y=1x2=x-2是幂函数.故选b.(2)由题意得12=2,=-1.f(x)=x-1=1x0,f(x)的值域为(-,0)(0,+).故选c.例2(1)c(2)b(1)令f(x)=x,则4=2,=12,f(x)=x12.所以其图象为选项c.(2)由于f(x)为幂函数,且在(0,+)上单调递减,所以n2+2n-2=1,n2-3ncb(1)易知函数y=x12的定义域为0,+),在定义域内为增函数,所以a+10,3-2a0,a+13-2a,解得-1ac.y=25x(xr)为减函数,cb.acb.对点训练3(1)(3,5)(2)a(1)f(x)=x-12=1

15、x(x0)为减函数,又f(a+1)0,10-2a0,a+110-2a,解得a-1,a3,3a5.(2)因为a=243=423,c=2513=523,b=323,且函数y=x23在0,+)上单调递增,所以323423523,即bac.故选a.例4解(方法1)(利用一般式)设f(x)=ax2+bx+c(a0).由题意得4a+2b+c=-1,a-b+c=-1,4ac-b24a=8,解得a=-4,b=4,c=7.所求二次函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.(方法2)(利用顶点式)设f(x)=a(x-m)2+n(a0).f(2)=f(-1),抛物线的对称轴为x=2+(-1)2=12.m=12.又

16、根据题意函数有最大值8,n=8.y=f(x)=ax-122+8.f(2)=-1,a2-122+8=-1,解得a=-4,f(x)=-4x-122+8=-4x2+4x+7.(方法3)(利用两根式)由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a0),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值f(x)max=8,即4a(-2a-1)-a24a=8.解得a=-4或a=0(舍去).所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7.变式发散1解设f(x)=ax(x+2).因为函数f(x)的最大值为8,所以a0,且f(x)max=f(-1)=-a=8,

17、所以a=-8,所以f(x)=-8x(x+2)=-8x2-16x.变式发散2解因为f(2-x)=f(2+x)对xr恒成立,所以f(x)的对称轴为直线x=2.又f(x)的图象在x轴上截得的线段长为2,所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)的解析式为f(x)=a(x-1)(x-3)(a0).又f(x)的图象过点(4,3),所以3a=3,所以a=1.所以f(x)的解析式为f(x)=(x-1)(x-3),即f(x)=x2-4x+3.例5(1)4,+)(2)d(1)f(x)=-x2+2ax+3对称轴方程为x=a,f(x)在区间(-,4)上单调递增,所以a4.故a的取值范围为4,+).(2)当a=0时,

18、f(x)=-3x+1在-1,+)上单调递减,满足题意.当a0时,f(x)的对称轴为x=3-a2a,由f(x)在-1,+)上单调递减知a0,3-a2a-1,解得-3a0.综上,a的取值范围为-3,0.对点训练5(1)d(2)a(1)若函数f(x)在r上为增函数,则在两段上都应单调递增,当x1时,f(x)=-x2+ax-a2+1,对称轴为x=a2,所以a21,且在x=1处,二次函数对应的值应小于等于对数函数的值,即a-a20,所以a21,a-a20,解得a2,a0,或a1,所以a2.故选d.(2)由题意知,函数f(x)的图象关于直线x=1对称,b=2.又f(0)=3,c=3,则bx=2x,cx=3

19、x.易知f(x)在区间(-,1)上单调递减,在区间1,+)上单调递增.若x0,则3x2x1,f(3x)f(2x);若x0,则3x2xf(2x).f(3x)f(2x),即f(bx)f(cx).故选a.例6(1)-16(2)38(1)令x+2016=t,则f(t-2016)=(t-3)(t-1)(t+1)(t+3)=t4-10t2+9=(t2-5)2-16,当t2=5时,有最小值-16,故f(x)的最小值是-16.(2)对函数f(x)=a(x+1)2+1-a,当a=0时,f(x)在区间1,2上的值为常数1,不符合题意,舍去;当a0时,f(x)在区间1,2上单调递增,最大值为f(2)=8a+1=4,

20、解得a=38;当a0时,f(x)在区间1,2上单调递减,最大值为f(1)=3a+1=4,解得a=1,不符合题意.综上可知,a的值为38.对点训练6(1)d(2)1(1)设x0.有f(-x)=(-x-1)2=(x+1)2.又f(-x)=f(x),当x4-3a,-a=1或-a4-3a,4-3a=1,解得a=1.例7d由题意,f(x)-m+4对于x1,3恒成立,即m(x2-x+1)5对于x1,3恒成立.当x1,3时,x2-x+11,7,不等式f(x)-m+4等价于m5x2-x+1.当x=3时,5x2-x+1取最小值57,若要不等式m5x2-x+1对于x1,3恒成立,则必须满足m0恒成立,所以讨论对称

21、轴与区间-3,1的位置关系得-(a-2)0或-3-(a-2)1,1,f(1)0,解得a或1a4或-12a0)在-1,2上的值域为2-a,2+2a,因为f(x)=x2-2x在-1,2的最小值为f(1)=-1,最大值为f(-1)=3,即f(x)在-1,2的值域为-1,3.所以2-a-1,2a+23,解得a12.故实数a的取值范围是0,12.对点训练8a问题可转化为在给定区间上f(x)的值域是g(x)值域的子集,即f(x)maxg(x)max.f(x)=-x2+ax-6=-x-a22+a24-6,当x=a20,即a0时,f(x)在(0,+)上单调递减,f(x)0,即a0时,f(x)max=fa2=a24-6.而g(x)=x+4在(-,-1上单调递增,故g(x)max=g(-1)=3.故a