圆与方程讲义

1、圆与方程1圆的定义和圆的方程定义在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆方程标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心c(a，b)半径为r一般方程x2y2dxeyf0充要条件：d2e24f0圆心坐标：半径r2.点与圆的位置关系(1)确定方法：比较点与圆心的距离与半径的大小关系(2)三种关系：圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点m(x0，y0)(x0a)2(y0b)2r2点在圆上；(x0a)2(y0b)2r2点在圆外；(x0a)2(y0b)2r2点在圆内考点一求圆的方程【例1】已知圆的半径为，圆心在直线y2x上，圆被直线xy0截得的弦长为4.【训练1】 (1)(2014济南模拟)若圆c的

2、半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x3y0和x轴都相切，则该圆的标准方程是()a(x2)2(y1)21 b(x2)2(y1)21 c(x2)2(y1)21 d(x3)2(y1)21(2)已知圆c经过a(5,1)，b(1,3)两点，圆心在x轴上，则c的方程为_考点二与圆有关的最值问题【例2】 已知实数x，y满足方程x2y24x10.(1)求的最大值和最小值；(2)求yx的最大值和最小值；(3)求x2y2的最大值和最小值【训练2】 (2014江西九校联考)已知p是直线l：3x4y110上的动点，pa，pb是圆x2y22x2y10的两条切线，c是圆心，那么四边形pacb面积的最小值是()a. b2

3、 cd2考点三与圆有关的轨迹问题【例3】 (2013新课标全国卷)在平面直角坐标系xoy中，已知圆p在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.(1)求圆心p的轨迹方程； (2)若p点到直线yx的距离为，求圆p的方程【训练3】 已知直角三角形abc的斜边为ab，且a(1,0)，b(3,0)，求：(1)直角顶点c的轨迹方程； (2)直角边bc中点m的轨迹方程基础巩固题组一、选择题1(2014长春模拟)已知点a(1，1)，b(1,1)，则以线段ab为直径的圆的方程是()ax2y22bx2y2 cx2y21dx2y242若圆x2y22ax3by0的圆心位于第三象限，那么直线xayb0一定不经过(

4、)a第一象限 b第二象限 c第三象限d第四象限3(2014镇安中学模拟)圆心在y轴上且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是()ax2y210y0 bx2y210y0 cx2y210x0dx2y210x04两条直线yx2a，y2xa的交点p在圆(x1)2(y1)24的内部，则实数a的取值范围是()a. b.(1，) c. d.1，)5(西交大附中模拟)点p(4，2)与圆x2y24上任一点连线的中点的轨迹方程是()a(x2)2(y1)21 b(x2)2(y1)24c(x4)2(y2)24d(x2)2(y1)21二、填空题6已知点m(1,0)是圆c：x2y24x2y0内的一点，那么过点m的最

5、短弦所在直线的方程是_7(2014南京调研)已知直线l：xy40与圆c：(x1)2(y1)22，则圆c上各点到l的距离的最小值为_8若圆x2(y1)21上任意一点(x，y)都使不等式xym0恒成立，则实数m的取值范围是_三、解答题9求适合下列条件的圆的方程：(1)圆心在直线y4x上，且与直线l：xy10相切于点p(3，2)；(2)过三点a(1,12)，b(7,10)，c(9,2)直线与圆圆与圆的位置关系1直线与圆的位置关系设直线l：axbyc0(a2b20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，方法位置关系几何法代数法相交dr0相切dr0相离dr0d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和

6、圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.2.圆与圆的位置关系设圆o1：(xa1)2(yb1)2r(r10)，圆o2：(xa2)2(yb2)2r(r20).方法位置关系 几何法：圆心距d与r1，r2的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解考点一直线与圆的位置关系【例1】 (1)(2013陕西卷)已知点m(a，b)在圆o：x2y21外，则直线axby1与圆o的位置关系是()a相切 b相交 c相离d不确定(2)(2012江西卷)过

7、直线xy20上点p作圆x2y21的两条切线，若两条切线的夹角是60，则点p的坐标是_【训练1】【2008高考北京理第7题】过直线上的一点作圆的两条切线，当直线关于对称时，它们之间的夹角为（ ）a bcd(2)(2014南昌模拟)直线yxm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则m取值范围是()a(，2) b(，3) c.d.【例2】【2006全国2，理15】过点(1,2)的直线l将圆(x-2)2+y2=4分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k= .【答案】练习：1. 【2016高考新课标2理数】圆的圆心到直线的距离为1，则a= 【答案】a（a） （b） （c） （d）22

8、【2005高考北京理第4题】从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）ab2c4d6【答案】b【例3】【2014新课标，理16】设点m（,1），若在圆o:上存在点n，使得omn=45，则的取值范围是_.【答案】练习： 【2015高考新课标2，理7】过三点，的圆交y轴于m，n两点，则( )a2 b8 c4 d10【答案】c 【例4】. 【2008全国1，理10】若直线通过点，则（ ）abcd【答案】d练习. 【2005全国1，理3】已知直线l过点（2，0），当直线l与圆有两个交点时，其斜率k的取值范围是（ ）abcd考点二圆与圆的位置关系【例5】 已知两圆x2y22x6y10和x

9、2y210x12ym0.(1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？(3)求m45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长【训练5】 (1)圆o1：x2y22x0和圆o2：x2y24y0的位置关系是()a相离 b相交c外切d内切(2)设两圆c1、c2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|c1c2|()a4 b4 c8d8 【例6】【2013课标全国，理20】(本小题满分12分)已知圆m：(x1)2y21，圆n：(x1)2y29，动圆p与圆m外切并且与圆n内切，圆心p的轨迹为曲线c.(1)求c的方程；(2)l是与圆p，圆m都相切的一条直线，l与曲线c交于a，b两点，当圆

10、p的半径最长时，求|ab|.考点三有关圆的弦长问题【例7】 已知点p(0,5)及圆c：x2y24x12y240.若直线l过p且被圆c截得的线段长为4，求l的方程2. 【2005高考北京理第4题】从原点向圆作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（ ）ab2c4d6【答案】b【训练7】 设m，nr，若直线l：mxny10与x轴相交于点a，与y轴相交于点b，且l与圆x2y24相交所得弦的长为2，o为坐标原点，则aob面积的最小值为_基础巩固题组一、选择题1直线yx1与圆x2y21的位置关系是()a相切b相交但直线不过圆心 c直线过圆心d相离2圆(x2)2y24与圆(x2)2(y1)29的位置关系为()a内切 b相交 c外切d相离3若直线xy10与圆(xa)2y22有公共点，则实数a的取值范围是()a3，1 b1,3 c3,1d(，31，)4(2013安徽卷)直线x2y50被圆x2y22x4y0截得的弦长为()a1 b2 c4d45(2014陕西五校联考)若直线ykx与圆(x2)2y21的两个交点关于直线2xyb0对称，则k，b的值分别为()ak，b4 bk，b4 ck，b4dk，b4二、填空题6过点a(2,4)向圆x2y24所引切线的方程为_7过点m的直线l与圆c：(x1)2y24交于a，b两点，c为圆心，当acb最小时，直线l的方程为_8(2014宜川中学模拟)