2021新教材高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念课件新人教B版必修第二册

1、第六章平面向量初步 6.1 平面向量及其线性运算6.1.1向量的概念 必备知识必备知识自主学习自主学习1.1.向量的定义与表示向量的定义与表示(1)(1)定义定义: :既有既有_又有又有_的量的量. .(2)(2)表示方法表示方法: :几何表示法几何表示法: :用以用以a a为始点为始点, ,以以b b为终点作为终点作_._.导思导思1.1.向量是如何定义的向量是如何定义的? ?如何表示向量如何表示向量? ?2.2.常见的特殊向量有哪些常见的特殊向量有哪些? ?又是如何定义的又是如何定义的? ?大小大小方向方向有向线段有向线段ab 字母表示法字母表示法: :在印刷时在印刷时, ,通常用加粗的通

2、常用加粗的_如如a, ,b, ,c等来表示向量等来表示向量, ,在书写时在书写时, ,可写成带箭头的小写字母如可写成带箭头的小写字母如 ,.,.(3)(3)向量的模向量的模: :向量的大小也称为向量的长度或模向量的大小也称为向量的长度或模, ,如如a, , 的模分别记作的模分别记作| |a| |, ,| |.| |.a b c ， ，ab ab 斜体小写字母斜体小写字母【思考思考】(1)(1)定义中的定义中的“大小大小”与与“方向方向”分别描述了向量的哪方面的特性分别描述了向量的哪方面的特性? ?只描述其中只描述其中一个方面可以吗一个方面可以吗? ?提示提示: :向量不仅有大小向量不仅有大小,

3、 ,而且有方向而且有方向. .大小是代数特征大小是代数特征, ,方向是几何特征方向是几何特征. .看一个看一个量是否为向量量是否为向量, ,就要看它是否具备了大小和方向两个要素就要看它是否具备了大小和方向两个要素, ,二者缺一不可二者缺一不可. .(2)(2)由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量由向量的几何表示方法我们该如何准确地画出向量? ?提示提示: :要准确画出向量要准确画出向量, ,应先确定向量的起点应先确定向量的起点, ,再确定向量的方向再确定向量的方向, ,最后根据向量最后根据向量的大小确定向量的终点的大小确定向量的终点. .2.2.特殊向量的定义特殊向量的定义(1)(1)

4、定义定义特殊向量特殊向量定义定义零向量零向量始点和终点始点和终点_的向量称为零向量的向量称为零向量, ,记作记作0. .单位向量单位向量长度长度( (或模或模) )为为_的向量称为单位向量的向量称为单位向量. .相等向量相等向量大小大小_且方向且方向_的向量称为相等向量的向量称为相等向量. .向量向量a与与b相等相等, ,记作记作a= =b. .平行向量平行向量或共线向或共线向量量方向方向_的非零向量称为平行向量的非零向量称为平行向量, ,也称为共线向量也称为共线向量. .向量向量a平行于平行于b, ,记作记作ab. .规定规定_平行于任何向量平行于任何向量. .相同相同1 1相等相等相同相同

5、相同或相反相同或相反零向量零向量(2)(2)本质本质: :注意构成向量的两个基本要素注意构成向量的两个基本要素: :大小与方向大小与方向. .(3)(3)应用应用: :利用向量的大小与方向判断向量的相等与共线问题利用向量的大小与方向判断向量的相等与共线问题. .【思考思考】(1)0(1)0与与0相同吗相同吗? ?0是不是没有方向是不是没有方向? ?提示提示: :0 0与与0不同不同,0,0是一个实数是一个实数, ,0是一个向量是一个向量. .0有方向有方向, ,其方向是任意的其方向是任意的. .(2)(2)若若a= =b, ,则两向量在大小与方向上有何关系则两向量在大小与方向上有何关系? ?提

6、示提示: :若若a= =b, ,意味着意味着| |a|=|=|b|,|,且且a与与b的方向相同的方向相同. .(3)“(3)“向量平行向量平行”与与“几何中的平行几何中的平行”一样吗一样吗? ?提示提示: :向量平行与几何中的平行不同向量平行与几何中的平行不同, ,向量平行包括基线重合的情况向量平行包括基线重合的情况, ,故也称向故也称向量共线量共线. .【基础小测基础小测】1.1.辨析记忆辨析记忆( (对的打对的打“”“”, ,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个有共同起点两个有共同起点, ,且长度相等的向量且长度相等的向量, ,它们的终点相同它们的终点相同. .( () )(2)(2)任

7、意两个单位向量都相等任意两个单位向量都相等. .( () )(3)(3)平行向量的方向相同或相反平行向量的方向相同或相反. .( () )提示提示: :(1)(1). .两个有共同起点两个有共同起点, ,且长度相等的向量且长度相等的向量, ,方向不一定相同方向不一定相同, ,其终点也其终点也不一定相同不一定相同. .(2)(2). .任意两个单位向量只有长度相等任意两个单位向量只有长度相等, ,方向不一定相同方向不一定相同, ,故不一定相等故不一定相等. .(3).(3).由平行向量的定义可知由平行向量的定义可知. .2.2.下列物理量下列物理量: :质量质量; ;速度速度; ;位移位移; ;

8、力力; ;加速度加速度; ;路程路程; ;密度密度. .其中不其中不是向量的有是向量的有( () )a.1a.1个个b.2b.2个个c.3c.3个个d.4d.4个个【解析解析】选选c.c.既有大小既有大小, ,又有方向又有方向, ,是向量是向量; ;只有大小只有大小, ,没有方向没有方向, ,不是向量不是向量. .3.(3.(教材二次开发教材二次开发: :例题改编例题改编) )设点设点o o是正方形是正方形abcdabcd的中心的中心, ,则下列结论错误的是则下列结论错误的是( () )a. a. b. b. c. c. 与与 共线共线d. d. aooc bo db ab cd aobo 【

9、解析解析】选选d.d.如图如图, ,因为因为 与与 方向相同方向相同, ,长度相等长度相等, ,所以所以a a正确正确; ;因为因为b,o,db,o,d三点在一条直线上三点在一条直线上, ,所以所以 ,b,b正确正确; ;因为因为abcd,abcd,所以所以 与与 共线共线,c,c正确正确; ;因为因为 与与 方向不同方向不同, ,所以所以 ,d,d错误错误. .ao oc bo db ab cd ao bo ao bo 关键能力关键能力合作学习合作学习类型一向量的概念、零向量与单位向量类型一向量的概念、零向量与单位向量( (数学抽象数学抽象) )【题组训练题组训练】1.1.以下选项中以下选项

10、中, ,都是向量的是都是向量的是( () )a.a.正弦线、海拔正弦线、海拔b.b.质量、摩擦力质量、摩擦力c.c.三角形的边长、体积三角形的边长、体积d.d.余弦线、速度余弦线、速度2.2.有下列说法有下列说法: :若向量若向量a与向量与向量b不平行不平行, ,则则a与与b方向一定不相同方向一定不相同; ;若向量若向量 满足满足| | |,| | |,且且 与与 同向同向, ,则则 ; ;若若| |a|=|=|b|,|,则则a, ,b的长度相等且方向相同或相反的长度相等且方向相同或相反; ;由于零向量方向不确定故其不能与任何由于零向量方向不确定故其不能与任何向量平行向量平行. .其中正确说法

11、的个数是其中正确说法的个数是 ( () )a.1a.1b.2b.2c.3c.3d.4d.4abcd ，ab cd ab cd ab cd 3.3.给出下列命题给出下列命题: :两个向量两个向量, ,当且仅当它们的起点相同当且仅当它们的起点相同, ,终点相同时才相等终点相同时才相等; ;若平面上所有单位向量的起点移到同一个点若平面上所有单位向量的起点移到同一个点, ,则其终点在同一个圆上则其终点在同一个圆上; ;在菱形在菱形abcdabcd中中, ,一定有一定有 若若a= =b, ,b= =c, ,则则a= =c. .其中所有正确命题的序号为其中所有正确命题的序号为_._.ab dc ；【解析解

12、析】1.1.选选d.d.三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向三角函数线、摩擦力、速度既有大小又有方向, ,是向量是向量; ;海拔、海拔、质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向质量、三角形的边长、体积只有大小没有方向, ,不是向量不是向量. .2.2.选选a.a.对于对于, ,由共线向量的定义由共线向量的定义, ,知两向量不平行知两向量不平行, ,方向一定不相同方向一定不相同, ,故正故正确确; ;对于对于, ,因为向量不能比较大小因为向量不能比较大小, ,故错误故错误; ;对于对于, ,由由| |a|=|=|b|,|,只能说明只能说明a, ,b的长度相等的长度相等, ,确定不了它们的方向

13、确定不了它们的方向, ,故错误故错误; ;对于对于, ,因为零向量与任一向量平行因为零向量与任一向量平行, ,故错误故错误. .3.3.两个向量相等只要模相等且方向相同即可两个向量相等只要模相等且方向相同即可, ,而与起点和终点的位置无关而与起点和终点的位置无关, ,故故不正确不正确. .单位向量的长度为单位向量的长度为1,1,当所有单位向量的起点在同一点当所有单位向量的起点在同一点o o时时, ,终点都在以终点都在以o o为圆为圆心心,1,1为半径的圆上为半径的圆上, ,故正确故正确. .显然正确显然正确, ,故所有正确命题的序号为故所有正确命题的序号为. .答案答案: :【解题策略解题策略

14、】理解零向量和单位向量应注意的问题理解零向量和单位向量应注意的问题(1)(1)零向量的方向是任意的零向量的方向是任意的, ,所有的零向量都相等所有的零向量都相等. .(2)(2)单位向量不一定相等单位向量不一定相等, ,易忽略向量的方向易忽略向量的方向. .提醒提醒: :两个单位向量的长度相等两个单位向量的长度相等, ,但这两个单位向量不一定相等但这两个单位向量不一定相等. .【补偿训练补偿训练】在下列判断中在下列判断中, ,正确的是正确的是( () )长度为长度为0 0的向量都是零向量的向量都是零向量; ;零向量的方向都是相同的零向量的方向都是相同的; ;长度相等的向量长度相等的向量都是单位

15、向量都是单位向量; ;单位向量都是同方向单位向量都是同方向; ;向量向量 与向量与向量 的长度相等的长度相等. .a.a.b.b.c.c.d.d.【解析解析】选选d.d.由定义知正确由定义知正确, ,由于两个零向量是平行的由于两个零向量是平行的, ,但不能确定是否但不能确定是否同向同向, ,也不能确定是哪个具体方向也不能确定是哪个具体方向, ,故不正确故不正确. .长度相等的向量其模不一定为长度相等的向量其模不一定为1,1,不正确不正确, ,单位向量的方向不一定相同单位向量的方向不一定相同, ,不正确不正确, ,正确正确. .ba ab 类型二相等向量与共线向量类型二相等向量与共线向量( (直

16、观想象直观想象) )【典例典例】如图如图, ,四边形四边形abcdabcd是平行四边形是平行四边形, ,四边形四边形abdeabde是矩形是矩形. . (1)(1)找出与向量找出与向量 相等的向量相等的向量. .(2)(2)找出与向量找出与向量 共线的向量共线的向量. .ab ab 【思路导引思路导引】(1)(1)找与向量找与向量 相等的向量相等的向量, ,就是找与就是找与 长度相等且方向相长度相等且方向相同的向量同的向量. .(2)(2)找与向量找与向量 共线的向量共线的向量, ,就是找与就是找与 方向相同或相反的向量方向相同或相反的向量. .ab ab ab ab 【解析解析】(1)(1)

17、由四边形由四边形abcdabcd是平行四边形是平行四边形, ,四边形四边形abdeabde是矩形知是矩形知, , 与与 的长度相等且方向相同的长度相等且方向相同, ,所以与向量所以与向量 相等的向量为相等的向量为 . .(2)(2)由题图可知由题图可知 与与 方向相同方向相同, , 与与 方向相反方向相反, ,所以与向量所以与向量 共线的向量有共线的向量有 ab dc,ed ab dc,ed dc,ed,ec ab ba,cd,de,ce ab ab dc,ed,ec,ba,cd,de,ce. 【解题策略解题策略】相等向量与共线向量的探求方法相等向量与共线向量的探求方法1.1.寻找相等向量的方

18、法寻找相等向量的方法: :先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量, ,再再确定哪些是同向且共线的确定哪些是同向且共线的. .2.2.寻找共线向量的方法寻找共线向量的方法: :先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段, ,再构造同向或反向的向量再构造同向或反向的向量. .3.3.共线向量与相等向量的关系共线向量与相等向量的关系: :相等向量一定是共线向量相等向量一定是共线向量, ,但共线向量不一定但共线向量不一定是相等向量是相等向量. .若两向量相等若两向量相等, ,则两向量方向相同则两向量方向相同,

19、,模相等模相等; ;若两向量共线若两向量共线, ,则两向则两向量方向相同或相反量方向相同或相反. .【跟踪训练跟踪训练】在等腰梯形在等腰梯形abcdabcd中中,abcd,abcd,对角线对角线acac与与bdbd相交于点相交于点o,efo,ef是过点是过点o o且平行于且平行于abab的的线段线段, ,在所标的向量中在所标的向量中: : (1)(1)写出与写出与 共线的向量共线的向量. .(2)(2)写出与写出与 方向相同的向量方向相同的向量. .(3)(3)写出与写出与 的模相等的向量的模相等的向量. .(4)(4)写出与写出与 相等的向量相等的向量. .ab efobod ，eo 【解析

20、解析】等腰梯形等腰梯形abcdabcd中中,abcdef,ad=bc.,abcdef,ad=bc.(1)(1)题图中与题图中与 共线的向量有共线的向量有 (2)(2)题图中与题图中与 方向相同的向量有方向相同的向量有 (3)(3)题图中与题图中与 的模相等的向量为的模相等的向量为 , ,与与 的模相等的向量为的模相等的向量为 . .(4)(4)题图中与题图中与 相等的向量为相等的向量为 . .ab dc eo ofef. ， ， ，efabdc eo of. ， ， ，ob ao od oc eo of 【补偿训练补偿训练】如图所示如图所示, ,四边形四边形abcdabcd为边长为为边长为3

21、3的正方形的正方形, ,把各边三等分后把各边三等分后, ,共有共有1616个交点个交点, ,从从中选取两个交点作为向量的起点和终点中选取两个交点作为向量的起点和终点, ,则与则与 平行且长度为平行且长度为2 2 的向量的向量有哪些有哪些?(?(在图中标出相关字母在图中标出相关字母, ,写出这些向量写出这些向量) )ac 2【解析解析】如图所示如图所示, ,满足与满足与 平行且长度为平行且长度为2 2 的向量有的向量有 共共8 8个个. .2ac affa ecce gh, ， ， ， ，hg,ij,ji 【拓展延伸拓展延伸】向量平行不具有传递性向量平行不具有传递性向量的平行不具备传递性向量的平

22、行不具备传递性, ,即若即若ab, ,bc, ,则未必有则未必有ac. .因为当因为当b= =0时时, ,a, ,c可可以是任意向量以是任意向量, ,故故a, ,c不一定平行不一定平行; ;只有当只有当b0b0时时, ,才有才有ab, ,bc, ,则则ac, ,即平即平行可传递行可传递. .因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性, ,解答问题时解答问题时, ,一定看一定看清题目中是清题目中是“零向量零向量”, ,还是还是“非零向量非零向量”. .【拓展训练拓展训练】下列命题正确的是下列命题正确的是( () )a.a.向量向量a与与b共线共线, ,向量向

23、量b与与c共线共线, ,则向量则向量a与与c共线共线b.b.向量向量a与与b不共线不共线, ,向量向量b与与c不共线不共线, ,则向量则向量a与与c不共线不共线c.c.向量向量 与与 是共线向量是共线向量, ,则则a,b,c,da,b,c,d四点一定共线四点一定共线d.d.向量向量a与与b不共线不共线, ,则则a与与b都是非零向量都是非零向量ab cd 【解析解析】选选d.d.当当b= =0时时,a,a不对不对; ;如图如图, ,a= ,= ,c= ,= ,b= ,= ,b与与a, ,b与与c均不共均不共线线, ,但但a与与c共线共线, ,所以所以b b错错. .在在 abcdabcd中中,

24、, 与与 共线共线, ,但但a,b,c,da,b,c,d四点不共线四点不共线, ,所以所以c c错错; ;若若a与与b有一个为有一个为零向量零向量, ,则则a与与b一定共线一定共线, ,所以所以a, ,b不共线时不共线时, ,一定有一定有a与与b都是非零向量都是非零向量, ,故故d d正正确确. .ab cd bc bd ab 类型三向量的表示与应用类型三向量的表示与应用( (数学抽象、直观想象数学抽象、直观想象) ) 角度角度1 1向量的表示向量的表示【典例典例】(1)(1)如图如图1,b,c1,b,c是线段是线段adad的三等分点的三等分点, ,分别以图中各点为起点和终点分别以图中各点为起

25、点和终点, ,可以写出可以写出_个向量个向量.(2)(2)在如图在如图2 2所示的坐标纸上所示的坐标纸上( (每个小方格边长为每个小方格边长为1),1),用直尺和圆规画出下列向用直尺和圆规画出下列向量量: : , ,使使| |=4| |=4 , ,点点a a在点在点o o北偏东北偏东4545; ; , ,使使| |=4,| |=4,点点b b在点在点a a正东正东; ; , ,使使| |=6,| |=6,点点c c在点在点b b北偏东北偏东3030. .oaoa2ab ab bc bc 【思路导引思路导引】(1)(1)从四个点里选取排序即可从四个点里选取排序即可;(2);(2)先找到方向先找到

26、方向, ,再从该方向上截再从该方向上截取对应的长度即可取对应的长度即可. .【解析解析】(1)(1)可以写出可以写出1212个向量个向量, ,分别是分别是: :答案答案: :1212abac ad bc bd cd ba ca da cb ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，dbdc. ，(2)(2)由于点由于点a a在点在点o o北偏东北偏东4545处处, ,所以在坐标纸上点所以在坐标纸上点a a距点距点o o的横向小方格数的横向小方格数与纵向小方格数相等与纵向小方格数相等. .又又| |=4 ,| |=4 ,小方格边长为小方格边长为1,1,所以点所以点a a距点距点o o的横向小方格数与

27、纵向小方格数的横向小方格数与纵向小方格数都为都为4,4,于是点于是点a a位置可以确定位置可以确定, ,画出向量画出向量 如图所示如图所示. .oa2oa由于点由于点b b在点在点a a正东方向处正东方向处, ,且且| |=4,| |=4,所以在坐标纸上点所以在坐标纸上点b b距点距点a a的横向小方的横向小方格数为格数为4,4,纵向小方格数为纵向小方格数为0,0,于是点于是点b b位置可以确定位置可以确定, ,画出向量画出向量 如图所示如图所示. .由于点由于点c c在点在点b b北偏东北偏东3030处处, ,且且| |=6,| |=6,依据勾股定理可得依据勾股定理可得: :在坐标纸上点在坐

28、标纸上点c c距点距点b b的横向小方格数为的横向小方格数为3,3,纵向小方格数为纵向小方格数为3 5.2,3 5.2,于是点于是点c c位置可以确定位置可以确定, ,画出向量画出向量 如图所示如图所示. .ab ab bc 3bc 角度角度2 2向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用【典例典例】如图所示如图所示, ,在四边形在四边形abcdabcd中中, n,m, n,m分别是分别是ad,bcad,bc上的点上的点, ,且且 求证求证: : cnma. abdc, dnmb.【思路导引思路导引】利用向量相等证明四边形利用向量相等证明四边形abcd,cnamabcd,cnam是平行四边形

29、是平行四边形, ,进而得到向进而得到向量量 dnmb.【证明证明】因为因为 所以所以| |=| |,| |=| |,且且abcd,abcd,所以四边形所以四边形abcdabcd是平行是平行四边形四边形. .所以所以| |=| |,| |=| |,且且dacb.dacb.又因为又因为 与与 的方向相同的方向相同, ,所以所以 同理可证四边形同理可证四边形cnamcnam是平行四边形是平行四边形, ,所以所以 因为因为| |=| |,| |=| |,| |=| |,| |=| |,所以所以| |=| |,| |=| |,dnmb,dnmb,即即 与与 的模相等且方向相同的模相等且方向相同, ,所以

30、所以 = .= .abdc, ab dc dacb dacb cbda. cmna.cb dacmnambdndnmbdnmb【解题策略解题策略】1.1.向量的两种表示方法向量的两种表示方法(1)(1)几何表示法几何表示法: :先确定向量的起点先确定向量的起点, ,再确定向量的方向再确定向量的方向, ,最后根据向量的长度最后根据向量的长度确定向量的终点确定向量的终点. .(2)(2)字母表示法字母表示法: :为了便于运算可用字母为了便于运算可用字母a,b,ca,b,c表示表示, ,为了联系平面几何中的图为了联系平面几何中的图形性质形性质, ,可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量可用表示向

31、量的有向线段的起点与终点表示向量, ,如如 等等. .abcd ef ， ，2.2.两种向量表示方法的作用两种向量表示方法的作用(1)(1)用几何表示法表示向量用几何表示法表示向量, ,便于用几何方法研究向量运算便于用几何方法研究向量运算, ,为用向量处理几何为用向量处理几何问题打下了基础问题打下了基础. .(2)(2)用字母表示法表示向量用字母表示法表示向量, ,便于向量的运算便于向量的运算. .3.3.向量相等的应用向量相等的应用利用向量的相等利用向量的相等, ,可以证明线段相等或直线平行可以证明线段相等或直线平行, ,但需说明两向量所在的基线但需说明两向量所在的基线无公共点无公共点. .

32、用平行向量可证明用平行向量可证明( (判断判断) )直线平行直线平行, ,但证明直线平行时但证明直线平行时, ,除说明向量除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点平行外还需说明向量所在的基线无公共点. .【题组训练题组训练】1.(20201.(2020西安高一检测西安高一检测) )在四边形在四边形abcdabcd中中, , 则四边形则四边形abcdabcd的形状一定是的形状一定是( () )a.a.正方形正方形b.b.矩形矩形c.c.菱形菱形d.d.等腰梯形等腰梯形【解析解析】选选c.c.因为因为 所以所以bacd,ba=cd,bacd,ba=cd,四边形四边形abcdabcd是平行四边

33、形是平行四边形, ,又又 , ,所以四边形所以四边形abcdabcd是菱形是菱形. .|ab|ad|bacd 且，bacd ，|ab|ad| 2.2.某人从某人从a a点出发向东走了点出发向东走了5 5米到达米到达b b点点, ,然后改变方向按东北方向走了然后改变方向按东北方向走了1010 米到达米到达c c点点, ,到达到达c c点后又改变方向向西走了点后又改变方向向西走了1010米到达米到达d d点点. .(1)(1)作出向量作出向量 (2)(2)求求 的模的模. .2abbccd ， ， ；ad 【解析解析】(1)(1)作出向量作出向量 , ,如图所示如图所示: :(2)(2)由题意得由

34、题意得, ,bcdbcd是直角三角形是直角三角形, ,其中其中bdc=90bdc=90,bc=10 ,bc=10 米米,cd=10,cd=10米米, ,所所以以bd=10bd=10米米. .abdabd是直角三角形是直角三角形, ,其中其中abd=90abd=90,ab=5,ab=5米米,bd=10,bd=10米米, ,所以所以ad=ad= =5 ( =5 (米米),),所以所以| |=5 | |=5 米米. .abbccd ， ，2225105ad 5【补偿训练补偿训练】一辆汽车从一辆汽车从a a点出发向西行驶了点出发向西行驶了100 km100 km到达到达b b点点, ,然后又改变方向向

35、西偏北然后又改变方向向西偏北5050行驶了行驶了200 km200 km到达到达c c点点, ,最后又改变方向最后又改变方向, ,向东行驶了向东行驶了100 km100 km到达到达d d点点. .(1)(1)作出向量作出向量 (2)(2)求这辆汽车的位移大小求这辆汽车的位移大小. .abbccd. ， ，【解析解析】(1)(1)如图所示如图所示. .(2)(2)由题意由题意, ,易知易知 与与 方向相反方向相反, ,故故 与与 平行平行. .又又| |=| |,| |=| |,所以在四边形所以在四边形abcdabcd中中,abcd,abcd,且且ab=cd. ab=cd. 所以四边形所以四边

36、形abcdabcd为平行四边形为平行四边形. .所以所以 =200 km,=200 km,即这辆汽车位移的大小为即这辆汽车位移的大小为200 km.200 km.ab cd ab cd ab cd |ad|bc| 备选类型向量在生活中的应用备选类型向量在生活中的应用( (数学建模、数学抽象数学建模、数学抽象) )【典例典例】已知飞机从已知飞机从a a地按北偏东地按北偏东3030的方向飞行的方向飞行2 000 km2 000 km到达到达b b地地, ,再从再从b b地地按南偏东按南偏东3030的方向飞行的方向飞行2 000 km2 000 km到达到达c c地地, ,再从再从c c地按西南方向

37、飞行地按西南方向飞行1 0001 000 km km到达到达d d地地. .问问d d地在地在a a地的什么方向地的什么方向?d?d地距地距a a地多远地多远? ?2转化模板转化模板1. 1. 建建 由题意此架飞机的三次飞行位移是向量问题由题意此架飞机的三次飞行位移是向量问题, ,故可以建立向量模故可以建立向量模型解决型解决. .2. 2. 设设 设飞机三次飞行位移分别为向量设飞机三次飞行位移分别为向量 3. 3. 译译 已知向量已知向量 的方向为北偏东的方向为北偏东3030, ,长度为长度为2 000 km,2 000 km,向量向量 的的方向为南偏东方向为南偏东3030, ,长度为长度为2

38、 000 km,2 000 km,向量向量 的方向为西南方向的方向为西南方向, ,长度为长度为1 0001 000 km, km,求向量求向量 的方向及长度的方向及长度. .abbccd. ， ，ab cd 2bc da4. 4. 解解 (1)(1)由题意由题意, ,作出向量作出向量 , ,如图所示如图所示, ,abbccd da ， ， ，(2)(2)依题意知依题意知, ,三角形三角形abcabc为正三角形为正三角形, ,所以所以ac=2 000 km.ac=2 000 km.又因为又因为acd=45acd=45, ,cd=1 000cd=1 000 km, km,所以所以acdacd为等腰

39、直角三角形为等腰直角三角形, ,即即ad=1 000ad=1 000 km,cad= km,cad=4545. .所以所以d d地在地在a a地的东南方向地的东南方向, ,距距a a地地1 0001 000 km. km.5. 5. 答答 dd地在地在a a地东南方向地东南方向, ,距距a a地地1 0001 000 km. km.2222【解题策略解题策略】解决实际问题的一般步骤解决实际问题的一般步骤(1)(1)审清题意审清题意, ,理顺问题的条件和结论理顺问题的条件和结论, ,找到关键量找到关键量; ;(2)(2)建立文字数量关系式建立文字数量关系式; ;(3)(3)转化为数学模型转化为数学模型; ;(4)(4)解决数学问题解决数学问题, ,得出相应的数学结论得出相应的数学结论; ;(5)(5)返本还原返本还原, ,即还原为实际问题本身所具有的意义即还原为实际问题本身所具有的意义. .【跟踪训练跟踪训练】一辆消防车从一辆消防车从a a地去地去b b地执行任务地执行任务, ,先从先从a a地向北偏东地向北偏东3030方向行驶方向行驶2 2千米到千米到d d地地, ,然后从然后从d d地沿北偏东地沿北偏东606