复变函数-总复习

1、1复变函数总复习2复变函数3复数的运算22221ecos ,sin, tg,siniizxiyrxryryyrxyxxy4计算幅角要注意z在复平面所在的象限xyO5例22221323232(32 )(32 )3232131332131313132arctg3iiiiiir 6argtg,0;,0,0;2argarctg,0,0;,0,0yxxxyzyxyxxy7复变函数的一个重要方面, 就是说明实变函数的微积分的许多结论, 复变函数也照样用.例如, 在实变函数中函数的导数有3222()2,(sin )cos ,(e )2exxxxxx则上面的变元x统统改成复数z也成立3222()2,(sin

2、)cos ,(e )2ezzzzzz8在实变函数中, 一些函数可以按泰勒级数展开, 例如230230123!|111| 1nxnnnxxxexnzxxxxxx 9在复变函数中结果也一样:230230123!|111| 1nznnnzzzeznzzzzzzz 10复变函数还可以展开为洛朗级数, 如23333022311,23!0 |1111111111111, | 1znnezzzzzznzzzzzzzzzzz 11实变函数中的定积分经常用牛-莱公式计算的, 例如11230011d33xxx在复变函数中同样也有3230011d333iiizzzi 但积分的含义不同, 上式代表从复平面的0点以任意

3、路径积分到点i.12对实变函数的定积分, 如果上限和下限相等, 则积分值为零, 例如333cos d0 xxx 对复变函数也同样232cos d0iizzz13但是在复变函数中, 232cos d0iizzz通常写成3cos d0Czzz C为通过点2+i的任意一条闭合曲线14因此, 我们就有223422332331d0411d0iiiizzzzzz 15一般地, 只要n1, 则函数zn的原函数就是111nzn它是单值函数, 因此就有, 只要n1, 函数zn沿任何闭合曲线的积分为0.d0,1nCzzn 16而当对于函数z1, 麻烦在于, 它的原函数是Ln z , 它是一个多值函数, 假设z =

4、 rei, 则Ln z = Ln rei = ln r + i, 幅角是不唯一的. 这个时候11ddLn?aaaaCzzzzz这要看积分路线有没有绕过原点, 是正绕还是反绕, 绕了几圈, 一般而言是2 i的整数倍.17因此就有,假设C为正向绕原点的一条闭合曲线, 则2,1,d0,1.nCinzzn 或更一般, 假设C为正向绕z0点的一条闭合正向曲线, 则02,1,() d0,1.nCinzzzn 18函数不解析的点为奇点, 如果函数f(z)在z0点不解析, 但是在z0的某个去心领域处处解析, z0就是f(z)的孤立奇点, 例如2223( )(1)(1)zz ef zzzz=1是它的一个三级极点

5、, z=i都是它的一级极点.19如z0是f(z)的孤立奇点, 则f(z)在z0的去去心邻域心邻域处可展开成洛朗级数10100100( )()()()()nnnnf zczzczzcc zzczz设C为此领域包含z0的正向简单闭曲线, 对f(z)沿C积分, 得1( )d2Cf zzic称c1为f(z)在z0处的留数留数, Resf(z),z0=c120因此, 根据复合闭路定理, 设函数f(z)在区域D内除有限个孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析. C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线, 则1( )d2Res ( ),nkkCf zzif z z21如果z0是f(z)的m级极点, 则0100

6、11dRes ( ),lim()( )(1)!dmmmzzf zzzzf zmz如果z0是f(z)的一级极点, 则000Res ( ),lim() ( )zzf z zzzf z22设( )( )( )P zf zQ zP(z)和Q(z)都在z0解析, 如P(z0)0, Q(z0)=0, Q(z0)0, 则z0为f(z)的一级极点, 而000()Res ( ),()P zf z zQ z23积分变换24傅氏变换jj( )( )ed1( )( )ed2ttFf ttf tF25单位脉冲函数及性质:( )d1tt对任意连续函数f(t)有00( ) ( )d(0)() ( )d( )t f ttft

7、tf ttf t26性质: 若F f(t)=F(), F g(t)=G()()(:|1)0()(:)(2)(:)(1d)(:)()(:)()(e)()(:)()()()(:0j000FtfaFaaatfftFFjttfFjtfFetfFttfGFtgtfttjt翻转相似对称积分导数位移线性27实际上, 只要记住下面四个傅里叶变换, 则所有的傅里叶变换都无须从公式直接推导而从傅里叶变换的性质就可导出.422eej1)()(j1)(1)(ttetutut28拉氏变换和拉氏逆变换0jj( )( )ed1( )( )e d2jststF sf ttf tF ss 29常用拉氏变换对12222111e(1)sincosatmmssamtsaatsasatsa30拉氏变换的性质, 若L f(t)=F(s)0( )( )(0)1( )d( )( )()tatf tsF sff ttF sse f tF saLLL31拉氏逆变换的计算, 若s1,s2,.,sn是函数F(s)的所有奇点, 且当s时, F(s)0, 则jj11( )( )e d2jRes ( ),stnstkkf tF