时间序列分解法

1、 4.1 4.1 时间序列分解法时间序列分解法 4.2 4.2 趋势外推法概述趋势外推法概述 4.3 4.3 多项式曲线趋势外推法多项式曲线趋势外推法 4.4 4.4 指数曲线趋势外推法指数曲线趋势外推法 4.5 4.5 生长曲线趋势外推法生长曲线趋势外推法 4.6 4.6 曲线拟合优度分析曲线拟合优度分析 一、时间序列的分解 经济时间序列的变化受到长期趋势长期趋势、季节变季节变动动、周期变动周期变动和不规则变动不规则变动这四个因素的影响。其中： （1） 长期趋势因素（T） 反映了经济现象在一个较长时间内的发展方向，它可以在一个相当长的时间内表现为一种近似直线的持续向上或持续向下或平稳的趋势。

2、（2） 季节变动因素（S） 是经济现象受季节变动影响所形成的一种长 度和幅度固定的周期波动。（3） 周期变动因素（C） 周期变动因素也称循环变动因素，它是受各 种经济因素影响形成的上下起伏不定的波动。（4） 不规则变动因素（I） 不规则变动又称随机变动，它是受各种偶然 因素影响所形成的不规则变动。 二、时间序列分解模型 时间序列y可以表示为以上四个因素的函数，即： 时间序列分解的方法有很多，较常用的模型有加法模型和乘法模型。( ,)tttttyf T S C I 加法模型为： 乘法模型为：tttttyTSCItttttyTSCI 三、时间序列的分解方法（1）运用移动平均法剔除长期趋势和周期变化

3、，得 到序列TC。然后再用按月（季）平均法求出 季节指数S。两次移动平均两次移动平均TCY/TCSI不含季节因素和不规则变动因素不含季节因素和不规则变动因素按季平均按季平均进行修正进行修正S（2）做散点图，选择适合的曲线模型拟合序列的长 期趋势，得到长期趋势T。直线拟合直线拟合T=2736.101+38.95436t求长期趋势求长期趋势T序列序列（3）计算周期因素C。用序列TC除以T即可得到 周期变动因素C。（4）将时间序列的T、S、C分解出来后，剩余的 即为不规则变动，即：YITSCy 四、时间序列分解预测法的应用上例的分解模型为现预测2012年第二季度的销售额t=50C=99%第二季度的季

4、节指数第二季度的季节指数S=109.3855%tttttyTSCIT=2736.101+38.95436 50 = 4683.819Y=TSC=时间序列分解法预测值时间序列分解法预测值 季度季度 T SC预测值预测值 2012 11.1213970.98 21.0938550.990.75359511.0311541 4 34644.8654683.8194722.7734761.728 一、趋势外推法概念和假定条件 趋势外推法概念： 当预测对象依时间变化呈现某种上升或下降趋势，没有明显的季节波动，且能找到一个合适的函数曲线反映这种变化趋势时，就可以用趋势外推法进行预测。 趋势外推法的两个假定

5、：（1）假设事物发展过程没有跳跃式变化；（2）假定事物的发展因素也决定事物未来的发展， 其条件是不变或变化不大。 二 、趋势模型的种类 多项式曲线外推模型：一次（线性）预测模型：二次（二次抛物线）预测模型：三次（三次抛物线）预测模型：一般形式：01tybb t2012tybb tb t230123tybbt btbt2012ktkybb tb tb t 指数曲线预测模型： 一般形式 ： 修正的指数曲线预测模型 ：bttyaettyabc对数曲线预测模型：生长曲线预测模型： 皮尔曲线预测模型 ：龚珀兹曲线预测模型 ： lntyabt1tbtLyaetbtyka 三、趋势模型的选择 图形识别法：

6、这种方法是通过绘制散点图来进行的，即将时间序列的数据绘制成以时间t为横轴，时序观察值为纵轴的图形，观察并将其变化曲线与各类函数曲线模型的图形进行比较，以便选择较为合适的模型。 差分法： 利用差分法把数据修匀，使非平稳序列达到平稳序列。一阶向后差分可以表示为：二阶向后差分可以表示为： 1tttyyy1122ttttttyyyyyy 差分法： 一次线性模型差分： 二次线性模型差分： 三次线性模型差分为： 指数曲线模型差分： 修正指数曲线模型差分：01tybb t2012tybb tb t230123tybbt btbtbttyaettyabc 差分法识别标准：差分特性差分特性使用模型使用模型一阶差

7、分相等或大致相等一阶差分相等或大致相等一次线性模型一次线性模型二阶差分相等或大致相等二阶差分相等或大致相等二次线性模型二次线性模型三阶差分相等或大致相等三阶差分相等或大致相等三次线性模型三次线性模型一阶差分比率相等或大致相等一阶差分比率相等或大致相等指数曲线模型指数曲线模型一阶差分的一阶比率相等或大致相等一阶差分的一阶比率相等或大致相等修正指数曲线模型修正指数曲线模型 例 题 例例 1 以下为某公司1993年到2002年历史销售数据，请运用差分法，确定适用模型的类型。年份1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002销售额（万元）68.32

8、83.04 99.15 116.75 136.06 156.41 178.45 201.75 226.76 253 一、二次多项式曲线模型及其应用 二次多项式曲线预测模型为：2012tybbtb t2012ktkybb tb tb t 设有一组统计数据 ， ， ，令即：1y2yny22201201211(,)()()nntttttQ b b byyybbtb t最小值4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby解这个三元一次方程就可求得参数。例例 2 下表是某商品销售量：销售量销售量(万件万件)1996 1997 1998 1999 2000 2001 200

9、2 2003 2004 年份年份 10.0 18.0 25.0 30.5 35.0 38.0 40.0 39.0 38.0 商品销售量(一) 确定预测模型。(1) 描散点图，初步确定预测模型。 (2) 计算差分 10.0 18.0 25.0 30.5 35.0 38.0 40.0 39.5 38.0 差分计算表ytytyt 8.0 7.0 5.5 4.5 3.0 2.0 -0.5 -1.5 -1.0 -1.5 -1.0 -1.5 -1.0 -2.5 -1.0 结合散点图和差分分析，可以看出大致的曲线增长模式，较符合二次曲线模型。则我们对该种模型进行参数拟合。 适用的二次曲线模型为： 2012t

10、ybbtb t (二) 进行二次曲线拟合，计算模型参数。2t时序时序(t)1996 19971998199920002001200220032004 年份年份-4-3-2-1 0 1 2 3 4 yt4ttyyt2合计合计10.018.025.030.535.038.040.039.538.0 0274.060708214.01613.516 9 4 1 0 1 4 916 4231202322102210tbtbtbyttbtbtbtytbtbnby代入三元一次方程组69. 057. 3,05.35210bbb201207080605 .161306002146009274bbbbb解得)2

11、000(69. 057. 305.352年原点为ttyt二次多项式的模型为：(三) 进行预测若要预测2005年的销售量，则t=5)(15.36569. 0557. 305.3522005万件y 二、三次多项式曲线预测模型及其应用 三次多项式曲线预测模型为：230123tybbtb tb t 设有一组统计数据 ， ， ，令即：解这个四元一次方程就可求得参数。1y2yny223 20123012311(,)()()nntttttQ b b b byyybbtb tb t最小值6352413035342312024332210332210tbtbtbtbyttbtbtbtbyttbtbtbtbtyt

12、btbtbnby(一) 确定预测模型。描散点图，初步确定预测模型。(2) 计算三阶差分。 结合散点图和差分分析，选择三次多项式曲线模型。 230123tybbtb tb t (二) 进行三次多项式曲线拟合，计算模型参数。时序时序(t)年份年份-3-2-1 0 1 2 3 合计合计0ytyttytttyt32642四元一次方程组42202220tbtbyttbnby可简化为6352413035342312024332210332210tbtbtbtbyttbtbtbtbyttbtbtbtbtytbtbtbnby634134321tbtbyttbtbty 一、指数曲线模型及其应用 指数曲线预测模型为：0)( aaeybtt对函数模型 做线性变换得： bttyaelnlntyabttYAbtln,lnttYy Aa令 ，则这样，就把指数曲线模型转化为直线模型了。(一) 确定预测模型。描散点图，初步确定预测模型。(2) 计算一阶差比率。 结合散点图和差分分析，选择指数曲线模型。 0)( aaeybtt (二) 计算模型参数。时序时序(t)年份年份合计合计0ttttttYYyYy2ln根据直线模