正态分布图学习

1、a1第七讲第七讲正态分布正态分布a2最常用的连续分布最常用的连续分布正态分布高斯分布正态分布高斯分布 中心极限定理说明：一个变量如果中心极限定理说明：一个变量如果是由大量微小的、独立的随机因素是由大量微小的、独立的随机因素叠加的结果，那么这个变量一定是叠加的结果，那么这个变量一定是正态变量。如：测量误差、产品重正态变量。如：测量误差、产品重量、人的身高、年降雨量等。量、人的身高、年降雨量等。a3样本均值与正态分布样本均值与正态分布从正态总体从正态总体N(,2) 取出样本，那么样本均取出样本，那么样本均值服从正态分布值服从正态分布 N(, 2 / n)为什么重复测量同一个零件屡次，再取其读为什么

2、重复测量同一个零件屡次，再取其读数的均值能够起到减少误差的作用数的均值能够起到减少误差的作用从一个分布未知的总体中抽取样本，但总体从一个分布未知的总体中抽取样本，但总体均值为均值为,方差为方差为2 ，那么当样本容量充分大，那么当样本容量充分大时，样本均值近似服从正态分布时，样本均值近似服从正态分布 N(, 2 / n)a4a5a6a7a8a9a10正态分布的概念和特征正态分布的概念和特征 变量的频数或频率呈中间最多，两端变量的频数或频率呈中间最多，两端 逐渐对称地减少，表现为钟形的一种逐渐对称地减少，表现为钟形的一种概率分布。从理论上说，假设随机变概率分布。从理论上说，假设随机变量量x的概率密

3、度函数为：的概率密度函数为：222/)(21)(xexf那么称那么称x x服从均数为服从均数为，方差为，方差为22的正态分布的正态分布a11正态分布的特征正态分布的特征均数处最高均数处最高以均数为中心，两端对称以均数为中心，两端对称永远不与永远不与x轴相交的钟型曲线轴相交的钟型曲线有两个参数：均数有两个参数：均数位置参数，标准差位置参数，标准差形状变异度参数形状变异度参数?1.5?1?0.5?-0.5?-1?-1.5?-2?-3?-2?-1?1?2?3a12均数决定均数决定正态分布的正态分布的位置位置标准差相同、均数不同的标准差相同、均数不同的三个三个正态分布曲线正态分布曲线a13标准差决定正

4、态分布的标准差决定正态分布的“体型体型均数相同、标准差不同的均数相同、标准差不同的三条三条正态分布曲线正态分布曲线a14正态分布曲线下的面积正态分布曲线下的面积 范围内的面积为范围内的面积为68.27% 范围内的面积为范围内的面积为95% 范围内的面积占范围内的面积占99%a15两个两个样本样本的样本点落入均数加减一个标准差区间的百分比的样本点落入均数加减一个标准差区间的百分比a16a17上、下界已拉到最远上、下界已拉到最远a18正态分布由均值和标准差确定正态分布由均值和标准差确定 正态曲线下的面积总和是正态曲线下的面积总和是1，正态曲线下一，正态曲线下一定区间内的面积代表变量值落在该区间的概

5、定区间内的面积代表变量值落在该区间的概率率 求概率求概率求正态曲线下区间内的面积求正态曲线下区间内的面积求定求定积分或者转化为标准正态分布再求积分或者转化为标准正态分布再求u(u)a19正态分布的标准化正态分布的标准化 标准正态分布：指均数为标准正态分布：指均数为0，标准差为，标准差为1的正态分布的正态分布 正态分布的标准化：正态分布的标准化： Xz假设假设x x服从正态分布服从正态分布N N，22，那么，那么z z就服从均数为就服从均数为0 0，标准差为，标准差为1 1的正态分布的正态分布a20正态分布的数学期望和方差dxxex 2221 ).()(),(2XDXENX和和求求设设的的期期望

6、望和和方方差差先先求求 XZ)(ZE dxxx)( 0 )(ZD dxexx22221 dxexexx222221|21 110 )(2ZE),1 , 0( NZ 2221xxde a21!),(2由期望和方差完全确定正态分布N, ZX 因因)(XE所以所以 )(ZE)(2ZD )()(ZDXD 2 a22如何检验数据是否服从如何检验数据是否服从正态分布？正态分布？ 经验法：如画出数据频数频率条形经验法：如画出数据频数频率条形图、茎叶图，看其分布形态图、茎叶图，看其分布形态 正态性检验：正态性检验：Matlab、SPSS等软件、等软件、正态概率纸正态概率纸a23横坐标等间隔，纵坐标横坐标等间隔

7、，纵坐标按标准正态分布函数值按标准正态分布函数值给出。给出。ninixi, 2 , 1),25. 0375. 0,(逐一点在正态概率纸上，逐一点在正态概率纸上，假设它们在一条直线附假设它们在一条直线附近，那么认为该批数据近，那么认为该批数据来自正态总体来自正态总体一个均值为一个均值为，标准差，标准差为为的正态分布的图像的正态分布的图像是一条通过点是一条通过点(,0.5)(,0.5)而斜率为而斜率为1/1/的直线的直线a24累积分布函数累积分布函数 设设X是一个随机变量，对任意实数是一个随机变量，对任意实数x，那么，那么称称 为随机变量为随机变量X的累积分布函数的累积分布函数(cdf)xaxyd

8、ttfyXPxXPxF)()()()(X离散X连续正态分布的分布函数正态分布的分布函数txFxtde21)(222)( a25求求cdf 抛掷抛掷2枚硬币，随机变量枚硬币，随机变量X是掷得正面是掷得正面的个数，求的个数，求X的累积分布函数。的累积分布函数。1)2()2() 10() 1() 1 ()0()0()0(. 2 , 1 , 04341XPForXPXPFXPXPFX?3?2?1?-1?-2?-3?-6?-4?-2?2?4?6a26求求cdf随机变量随机变量X是服从二项分布的，求是服从二项分布的，求X的累积分的累积分布函数。布函数。xrrnrrnnnnnppCxXPxFppCporXP

9、XPFpXPXPFnX011)1 ()()()1 ()1 () 10() 1() 1 ()1 ()0()0()0(., 1 , 0一般地xnxxnppCxX)1 ()(P p=cdf(bino,0:5,5,0.3)p =?8?6?4?2?-2?-4?-6?-8?-15?-10?-5?5?10?15a27 向半径为向半径为r的圆内随机抛一点，求此点的圆内随机抛一点，求此点到圆心之距离到圆心之距离X的累积分布函数，并求的累积分布函数，并求P(X2r/3)95941)32(1)32()()()()(222rXPrXPrxrxxXPxFa28设设X服从区间服从区间a,b上的均匀分布，求上的均匀分布，求

10、E(X).先求密度函数先求密度函数pdf：先求分布函数先求分布函数cdf：1)(,)(, 0)(xFbxabaxxFbxaxFax时，当时，当时，当其他可取任意值，于是处，和在时，当时，或当, 0,1)()(,1)( )(, 0)( )(bxaabxpxpbxaxabxFxpbxaxFxpbxax2|211)(2baxabdxabxXEbabaa29一家麦片生成厂家生产小包装和大包装两种一家麦片生成厂家生产小包装和大包装两种规格的麦片，每袋麦片的重量互相独立，符规格的麦片，每袋麦片的重量互相独立，符合如下正态分布。合如下正态分布。离散程度哪个大？离散程度哪个大？950531521 1两种包装各

11、随机选一包，求大包装比小包装两种包装各随机选一包，求大包装比小包装3 3倍少的概率倍少的概率P(e3s)P(e3s)2 2随机地选一大包装和三个小包装，求大包装随机地选一大包装和三个小包装，求大包装比比3 3包小包装总和轻的概率包小包装总和轻的概率P(es1+s2+s3) P(es1+s2+s3) N(315,4)N(950,25)a30E-3S服从什么分布呢服从什么分布呢?E(E-3S)=E(E)-3E(S)=950-3315=5Var(E-3S)=Var(E)+9Var(S)=25+94=61E-3SN(5,61)E-(S1+S2+S3)服从什么分布呢服从什么分布呢?E(E-(S1+S2+

12、S3)=E(E)-3E(S)=950-3315=5Var(E-(S1+S2+S3)=Var(E)+3Var(S)=25+34=37E-(S1+S2+S3)N(5,37)和差还是正态分布a31一个个案一个个案-日产与美产的日产与美产的SONY彩电彩电20世纪世纪70年代后期，有人发现日产与美产的年代后期，有人发现日产与美产的SONY彩电彩电在美国市场受欢送的程度不同，按说两地工厂按统一设在美国市场受欢送的程度不同，按说两地工厂按统一设计方案同一生产线生产同一牌号的电视机不应受到消费计方案同一生产线生产同一牌号的电视机不应受到消费者的不同待遇，于是，就此展开了调查，其报告刊登在者的不同待遇，于是，

13、就此展开了调查，其报告刊登在日本日本1979年年4月月17日的日的?朝日新闻朝日新闻?上。调查发现，日产上。调查发现，日产SONY电视机彩色浓度的分布曲线是一条以彩色浓度目电视机彩色浓度的分布曲线是一条以彩色浓度目标值标值m为中心的正态分布曲线；而美产为中心的正态分布曲线；而美产SONY电视机彩电视机彩色浓度的分布曲线是一条在区间色浓度的分布曲线是一条在区间m-5, m+5上是常数，上是常数，在此区间外为在此区间外为0的一条均匀分布曲线。看来它们确实像的一条均匀分布曲线。看来它们确实像来自两个不同分布的总体，因此在市场上受到了不同的来自两个不同分布的总体，因此在市场上受到了不同的待遇。待遇。a

14、32一个个案一个个案-日产与美产的日产与美产的SONY彩电彩电a33某厂准备实行计件超产奖，为此需要对生产定额做出新规定。根据以往的记录，可知各个工人每月装配的产品数服从正态分布 。假定车间希望有10%的工人能拿到超产奖，试问工人每月需完成多少件产品才能获得奖金？ 解：设X为工人每月装配的产品数，设C是能拿到超产奖的工人完成定额。根据题意，有)3600,4000(N%10)( cXp%10)604000604000(cXp28. 1604000c%90)604000604000(cXp40006028. 1c4077c能拿到超产奖的工人完成定额4077件。用用Excel计算累计概率求相对应的计

15、算累计概率求相对应的x： fx/统计统计/Norminv计算正态分布的概率：计算正态分布的概率：fx/常用函数常用函数/NormdistCa34作业作业1.一家银行的男员工体重服从一家银行的男员工体重服从miu=71.5kg,sigma=7.3kg的正态分布。的正态分布。该银行准备购置新电梯，一种规格的该银行准备购置新电梯，一种规格的电梯的最大载重量为电梯的最大载重量为444kg。问。问6个男个男员工进入电梯，他们总重超出额定载员工进入电梯，他们总重超出额定载重量的概率是多少？如果要求同时进重量的概率是多少？如果要求同时进入电梯的男员工总重不超过额定载重入电梯的男员工总重不超过额定载重量的概率至少为量的概率至少为99.9%，那么应建议，那