第二十三章、旋转章节复习辅导讲义

1、第二十三章、复习辅导讲义一、 知识框架二、 旋转的概念1.定义：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转（rotation）.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.如果图形上的点A经过旋转变为点A，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.2.旋转的三个要素：（1） 旋转中心：图形旋转的固定点（2）旋转方向：（顺时针旋转或逆时针旋转）（3）旋转角度：（图形中任一边开始的位置（始边）与旋转后位置（终变）之间的夹角）3.旋转的性质：(1)对应点到旋转中心的距离相等；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前后的图形全等.4.旋转作图步骤：在画旋转图形时，要把握旋转中心与旋转

2、角这两个元素.确定旋转中心的关键是看图形在旋转过程中某一点是“动”还是“不动”，不动的点则是旋转中心；确定旋转角度的方法是根据已知条件确定一组对应边，看其始边与终边的夹角即为旋转角.作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点（一般是各个顶点）与旋转中心；(2)把连线按要求绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点（一般用虚线）。二、中心对称（是旋转的一种特殊请况）与中心对称图形（一）中心对称1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点

3、叫做对称中心这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点2.性质：(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分(2)关于中心对称的两个图形是全等图形（二）中心对称图形1.定义：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心（三）中心对称与中心对称图形的区别与联系1.联系：与轴对称与轴对称图形一样，中心对称图形可以看成是特殊的中心对称。2.区别：中心对称是指两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形本身的特点。3.如表所示：中心对称中心对称图形区别指两个全等图形之间的相互位置关系对称

4、中心不定指一个图形本身成中心对称对称中心是图形自身或内部的点联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称三、 平移、轴对称、旋转、中心对称之间的比较：1. 平移、旋转、轴对称之间的对比平移轴对称旋转相同点都是全等变换（合同变换），即变换前后的图形全等不同点定义把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换图形要素平移方向平移距离对称轴旋转中心、旋转方向、旋转角度性质连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等任意一对对

5、应点所连线段被对称轴垂直平分对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角对应线段平行（或共线）且相等对应线段关于对称轴对称*对应线段相等，其所在直线的夹角等于旋转角或与旋转角互补2.旋转与中心对称中心对称是一种特殊的旋转(旋转180)，满足旋转的性质.旋转中心对称图形性质1对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.对称点所连线段都经过对称中心. 2对应点到旋转中心的距离相等.对称点所连线段被对称中心所平分.3旋转前、后的图形全等.关于中心对称的两个图形是全等图形.3.中心对称与轴对称中心对称与轴对称可以类比学习，对掌握新知识有帮助.中心对称轴对称1有一个对称中心点有一

6、条对称轴直线2图形绕中心旋转180图形沿轴折叠1803旋转后与另一图形重合折叠后与另一图形重合4.中心对称图形与轴对称图形中心对称图形轴对称图形1关于某一点对称关于某一条直线对称2图形绕对称中心旋转180后，与自身重合图形沿对称轴折叠后，对称轴两旁的部分互相重合一、 直线的旋转1、(2009年浙江省嘉兴市)如图，已知A、B是线段MN上的两点，以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成ABC，设（1）求x的取值范围；（2）若ABC为直角三角形，求x的值；CABNM（第1题）（3）探究：ABC的最大面积？2、（2009年河南）如图，在RtABC中，ACB=9

7、0, B =60，BC=2点0是AC的中点，过点0的直线l从与AC重合的位置开始，绕点0作逆时针旋转，交AB边于点D.过点C作CEAB交直线l于点E，设直线l的旋转角为.(1)当=_度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为_； 当=_度时，四边形EDBC是直角梯形，此时AD的长为_；(2)当=90时,判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由 二、角的旋转1、（2009年中山）（1）如图1，圆心接中，、为的半径，于点，于点求证：阴影部分四边形的面积是的面积的（2）如图2，若保持角度不变，求证：当绕着点旋转时，由两条半径和的两条边围成的图形（图中阴影部分）面积始终是的面积的2、（2009襄樊

8、市）如图，在梯形中，点是的中点，是等边三角形（1）求证：梯形是等腰梯形；（2）动点、分别在线段和上运动，且保持不变设求与的函数关系式；（3）在（2）中：当动点、运动到何处时，以点、和点、中的两个点为顶点的四边形是平行四边形？并指出符合条件的平行四边形的个数；ADCBPMQ60当取最小值时，判断的形状，并说明理由 3、（2009年重庆市）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴上，OA=2，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC，交OA于点E（1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（2）将EDC绕点D按顺时针方向旋

9、转后，角的一边与y轴的正半轴交于点F，另一边与线段OC交于点G如果DF与（1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；6题图yxDBCAEEO（3）对于（2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由三、三角形的旋转7、（2009年邵阳市）如图，将RtABC(其中B34，C90）绕A点按顺时针方向旋转到AB1 C1的位置，使得点C、A、B1在同一条直线上，那么旋转角最小等于（）A.56 B.68 C.124 D

10、.18034B1CBAC18、（2009年包头）如图，已知与是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30，将这两个三角形摆成如图（1）所示的形状，使点在同一条直线上，且点与点重合，将图（1）中的绕点顺时针方向旋转到图（2）的位置，点在边上，交于点，则线段的长为 cm（保留根号）C(F)D图（2）9、（2009河池）如图9，的顶点坐标分别为若将绕点顺时针旋转，得到，则点的对应点的坐标为 1234567891234567OABCyx图910、（2009年郴州市）如图，桌面上平放着一块三角板和一把直尺，小明将三角板的直角顶点紧靠直尺的边缘，他发现无论是将三角板绕直角顶点旋转，还

11、是将三角板沿直尺平移，与的和总是保持不变，那么与的和是_度11、（2009年台州市）如图，三角板中，CAB三角板绕直角顶点逆时针旋转，当点的对应点落在边的起始位置上时即停止转动，则点转过的路径长为 12、（2009年凉山州）将绕点逆时针旋转到使在同一直线上，若，则图中阴影部分面积为 cm230CBA30（12题）图613、（2009年郴州市）如图6，在下面的方格图中，将ABC先向右平移四个单位得到AB1C1，再将AB1C1绕点A1逆时针旋转得到AB2C2，请依次作出AB1C1和AB2C2。14、(2009年达州)如图7，在ABC中，AB2BC，点D、点E分别为AB、AC的中点，连结DE，将AD

12、E绕点E旋转180得到CFE.试判断四边形BCFD的形状，并说明理由.15、（2009襄樊市）如图所示，在中，将绕点顺时针方向旋转得到点在上，再将沿着所在直线翻转得到连接 （1）求证：四边形是菱形； （2）连接并延长交于连接请问：四边形是什么特殊平行四边形？为什么？ADFCEGB16、（2009年株洲市）如图，在中， ，将绕点沿逆时针方向旋转得到 （1）线段的长是 ，的度数是 ；（2）连结，求证：四边形是平行四边形；ADGECB（3）求四边形的面积17、（2009烟台市）如图，直角梯形ABCD中，且，过点D作，交的平分线于点E，连接BE（1）求证：；（2）将绕点C，顺时针旋转得到，连接EG.求

13、证：CD垂直平分EG.（3）延长BE交CD于点P求证：P是CD的中点即18、（2009年山西省）ADBECFADBECF在中，将绕点顺时针旋转角得交于点，分别交于两点（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；AECFBD图1图3ADFECBADBCE图2F（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求的长19、（2009年牡丹江）已知中，为边的中点，绕点旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于、当绕点旋转到于时（如图1），易证当绕点旋转到不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，、

14、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明20、（2009年常德市）图9 图10 图11图8如图9，若ABC和ADE为等边三角形，M，N分别EB，CD的中点，易证：CD=BE，AMN是等边三角形（1）当把ADE绕A点旋转到图10的位置时，CD=BE是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（2）当ADE绕A点旋转到图11的位置时，AMN是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当AB=2AD时，ADE与ABC及AMN的面积之比；若不是，请说明理由22、（2009年甘肃庆阳）（8分）如图14，在平面直角坐标系中，等腰RtOAB斜边OB在y轴上，且OB4（1）画出OAB绕原点O顺时针旋转

15、90后得到的三角形；（2）求线段OB在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后OB与点B轨迹所围成的封闭图形的面积）图2223、（2009年广西梧州）如图（9）-1，抛物线经过A（，0），C（3，）两点，与轴交于点D，与轴交于另一点B（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线将四边形ABCD面积二等分，求的值；EFMNGOBAxy图（9）-2QDOBAxyCy=kx+1图（9）-1（3）如图（9）-2，过点E（1，1）作EF轴于点F，将AEF绕平面内某点旋转180得MNQ（点M、N、Q分别与点A、E、F对应），使点M、N在抛物线上，作MG轴于点G，若线段MGAG12，求点M，N的坐标四、四边

16、形的旋转24、（2009年山东青岛市）如图边长为1的两个正方形互相重合，按住其中一个不动，将另一个绕顶点A顺时针旋转，则这两个正方形重叠部分的面积是 ADCBE25、（2009呼和浩特）如图所示，正方形的边在正方形的边上，连接（1）求证：EFGDABC（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由26、（2009年济宁市）在平面直角坐标中，边长为2的正方形的两顶点、分别在轴、轴的正半轴上，点在原点.现将正方形绕点顺时针旋转，当点第一次落在直线上时停止旋转，旋转过程中，边交直线于点，边交轴于点（如图）.（1）求边在旋转过程中所扫过的面积；（2）旋转

17、过程中，当和平行时，求正方形旋转的度数；OABCMN（3）设的周长为，在旋转正方形的过程中，值是否有变化？请证明你的结论.（Q）BAOxP（图2）yQCBAOxP（图1）yCBAOyx（备用图）（第27题）27、（2009年宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为，直线BC经过点，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于点P、Q（1）四边形OABC的形状是 ，当时，的值是 ；（2）如图1，当四边形的顶点落在轴正半轴时，求的值；如图，当四边形的顶点落在直线上时，求的面积（3）在四边形OABC旋转过程中，当时，是否存在这样的点P和

18、点Q，使？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由探究1：在旋转的过程中是否存在某一角度，使得四边形AFEP是平行四边形？若存在，请推断出的值；若不存在，说明理由；探究2：设AP，四边形OPDQ的面积为，求与之间的函数关系式，并指出的取值范围五、抛物线的旋转29、(2009年宁德市)如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；yxAOBPN图2C1

19、C4QEF图（2）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标yxAOBPM图1C1C2C3图（1）30、（2009年四川凉山州）如图，已知抛物线经过，两点，顶点为（1）求抛物线的解析式；（2）将绕点顺时针旋转90后，点落到点的位置，将抛物线沿轴平移后经过点，求平移后所得图象的函数关系式；（3）设（2）中平移后，所得抛物线与轴的交点为，顶点为，若点在平移后的抛物线上，且满足的面积是面积的2倍，求点的坐标yxBAOD（第30题）旋转