0325数学课261通项公式的求法1

1、 1 1、观察法、观察法 观察法就是观察数列特征，横向看各项之间观察法就是观察数列特征，横向看各项之间的结构，纵向看各项与项数的结构，纵向看各项与项数n n的内在联系。适的内在联系。适用于一些较简单、特殊的数列。用于一些较简单、特殊的数列。 例例1 1 写出下列数列的一个通项公式写出下列数列的一个通项公式（1 1） -1 -1，4 4，-9-9，1616，-25-25，3636， ；解：解： （如果数列是正负相间（如果数列是正负相间的，把相应的关于的，把相应的关于 的式子乘以的式子乘以 或或 就可以了）就可以了） （2 2） 2 2， 3 3， 5 5， 9 9， 17 17， 33 33，

2、；解：解：na121nna21nannn111nn简单的递推数列简单的递推数列等差数列的通项公式等差数列的通项公式： 等比数列的通项公式：等比数列的通项公式： 11-2(1)nnna ad naand1112nnnnaq naaa q引入：引入：1 1、累加法、累加法 若数列若数列 , ,满足满足其中其中 是可求和数列，那么可用逐项作差后累加是可求和数列，那么可用逐项作差后累加的方法求的方法求 ，适用于差为特殊数列的数列。适用于差为特殊数列的数列。 na)(1nnnfaann)(nfna类型一：类型一： an-an-1=f(n)知识要点：知识要点：常见递推数列的通项公式的求法常见递推数列的通项

3、公式的求法an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1(n2). =f(n)+f(n-1)+f(n-2)+ +f(2) + (n2).累和法累和法类比：类比： an-an-1=d 等差数列等差数列1a 例例2 2 已知数列已知数列 , ,满足满足 ，求数列，求数列 的通项公式。的通项公式。121naann11anana121naann211223211133212)()(nnnaaaaaaaaaannnnn）（）（解：由解：由 得得则则 121naann所以数列所以数列 的通项公式的通项公式na2nan11a31(1)2nna变式变式2（2）2 2、累乘法、累乘法 若

4、数列若数列 , ,满足满足其中数列其中数列 前前n n项积可求，则通项项积可求，则通项 可用可用逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。逐项作商后求积得到。适用于积为特殊数列的数列。 )(1nnnfaannna)(nfna知识要点：知识要点：常见递推数列的通项公式的求法常见递推数列的通项公式的求法 =f(n).f(n-1).f(n-2). .f(2). (n2).累乘法累乘法类比：类比： =q 等比数列等比数列类型二：类型二： =f(n)1nnaaan= . . . . (n2).1nnaa12nnaa21aa1nnaa1a1a例例3 3、已知、已知 ， , ,求通项公式求通项公式 31

5、annnaa21na解：解：112nnnaannnaa211122aa2232aa ， ， ，即即2)1()1(321122nnnnaa2)1(23nnna3342aa13213423122222nnnaaaaaaaa1(2)2nnna3 3、 利用数列前利用数列前 项和项和 求通项公式：求通项公式：数列前数列前 项和项和 与与 之间有如下关系：之间有如下关系： n.,)2(111nnnnnasnssasa求由此即可由nnsnsnna. 2111)2( ;,)1(, 12 , 021 nnnnnnnsssasasaa求证：求证：求求中，中，数列数列解法一：解法一：, 12 nnas, 1242

6、 nnnaas, 1241211 nnnaas1212224 nnnnnaaaaa212122 nnnnaaaa0 na01 nnaa21 nnaa11 a又又12 nan.2nsn 从而从而)2( n)2( n例例4.消元，消掉消元，消掉sn，化为关于化为关于an的递推关系的递推关系解法二：解法二：, 12 nnas.121, 121, 1 nnnnan)1(1 nssannn且且121 nnnsss112 nnnsss212)()1( nnss)2( n0, 11 naa12 nsn时，时，当当11 nnss2,nsnsnn 即即. 2111)2( ;,)1(, 12 , 021 nnnn

7、nnnsssasasaa求证：求证：求求中，中，数列数列例例4.消元，消掉消元，消掉an ，化为关于化为关于sn的递推关系的递推关系2222112111111nsssn )2( ,)1(112 nnnn)1(132121111111221 nnsssn)111()3121()2111(1nn .212 n.2111)2( ;,)1(,12,021 nnnnnnnsssasasaa求求证证：求求中中，数数列列证明：证明：（2）由）由(1)知知 ，2nsn 例例4.变式变式4.已知数列已知数列an中，中，a1=1，当，当n2时，其前项和时，其前项和sn满足满足. )21(2 nnnsas1na（）

8、求的表达式；.,122nnnntnbnsb项和项和的前的前求求）设）设（ 解：解：(1) 由已知，当由已知，当n2时，时，)21(2 nnnsas，且且1 nnnssa，)21)(12 nnnnssss，nnnnssss 112即即由题意由题意，01 nnss，2111 nnss.211的等差数列的等差数列，公差为，公差为是首项为是首项为ns,122)1(11 nnsn.121 nsn变式变式4.已知数列已知数列an中，中，a1=1，当，当n2时，其前项和时，其前项和sn满足满足. )21(2 nnnsas1na（）求的表达式；.,122nnnntnbnsb项和项和的前的前求求）设）设（ 解：解：，121 nsn(2) 由由(1)知，知，12 nsbnn)121121(21 nn)12)(12(1 nnnnbbbbt 321)12112171515131311(21 nn. )1211(21 n累加