完美系统时域分析

1、二阶系统分析大中小一、二阶系统的传递函数由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统，其一般形式为:dFtdeft) , r drfij T 、a- + 研-+ 口泸J =瓦+ bff t)(4-5)dr dt 曲其传递函数为：cw句s-M55)= , ： = , s(4-K，5， Q 5 +q：$*+ 16)式中一系统的输入；lQ)一系统的输出；口口4常系数。为了便于分析，在分析二阶系统的动态特性时，首先考虑传递函数分子部分等于常数的情况，即:(4-7)若系数al和a2的符号相同，(4-7)式可改写成如下形式:(4-8)式中卫一二阶系统的无阻尼自然振荡频率一二阶系统的阻尼比G.打=期一放大系数式（4

2、-8 ）称为二阶系统传递函数的通用形式式（4-8 ）的特征方程式为S】+=0（4-9）方程的特征根为：工后二1（4-10）由式（4-10）可知，随着阻尼比的改变，特征方程根的性质会发生变化，二阶系统的单位阶跃响应曲线形状也会随之变化。阻尼比；的变化可分成五种情况（即 :0;二=0 ; 0 , 1）。当二0时，特征方程的两个根（或根的实部）大于零，二阶系统是不稳定的，对这种情况不作讨论。下面就其它四种 二 的取值情况进行讨论。二阶系统的单位阶跃响应1、 无阻尼情况(:0)二=0 时，式(4-10)为:即特征方程的两个根位于虚轴上，见表 4-1其传递函数为当输入信号为单位阶跃信号时:刀_1 =K(

3、-8 J取C(s)的拉氏反变换，得无阻尼二阶系统的单位阶跃响应为:或。=rlC(r) = (1 - CCS 心/(4-11 )这是振幅为K的等幅振荡，其单位阶跃响应曲线如图 4-1中曲线所示。图中横坐标用/刻度, 纵坐标用c(t)/c()刻度，曲线只是匚的函数。等幅振荡(阻尼比 K =0)的振荡频率为 圮,因而 由三被称为无阻尼自然振荡频率2、 欠阻尼情况（0V -i1）0V 4 S+2：wS + / S一 鼠JI1初ffb I , l“ - 一- I - (S 十二 Gj +一 (S + 瓯取C(s)的拉普拉斯反变换，得欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应为:c(t) = Z-1C(5 = KU -

4、9* (exy + = sin /匍式中(4-13)(4-12 )由式(4-12)可看出，欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应由稳态响应和瞬态响应两部分组成，稳态响应值(即c()等于K,也就是说，稳态(即 )时，输入信号与输出信号 c()之间不存在稳态误差。瞬态分量是一个随时间 增长而衰减的振荡过程，振荡频率为田壮，称为阻尼振荡频率。欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线为一条衰减的正弦曲线，见图4-2所示。整个响应特性曲线包含在一对包络线之内，包络线的方程为留力2欠医居二阶嶷第的单位的眠响应曲展白金（即特征根的虚部），1）:时，二阶系统特征方程有两个不等的负实根：九二-血土乒i见表4-1所示。系统的传递函

5、数为当输入为单位阶跃信号时取C0）的拉普拉斯反变换，得过阻尼二阶系统的单位阶跃响应:。、犬1 + j玷TC+依-1)(4-15)单位阶跃响应曲线如图 4-3所示，它是一条单调的非周期曲线，由单位阶跃输入作用下的稳态响应(4-16 )和两条衰减的指数曲线组成。由式（4-15）知，、的方程分别为:8二户：n/G(4-17)K图4Y过鼠尼二阶系统的单位阶跃硝应由绒(4-18)在W，: 一定的情况下，如果越大，两个负实根的数值就相差得越多。这时衰减得快的指数项c11(t)的衰减速度更加快，而衰减得慢的指数项的衰减速度则更加慢。当远大于1时，c11(t)比c12(t)的衰减要快得多，这个快速衰减的指数项

6、c11(t)对动态过程的影响可忽略不计。系统的阶跃响应特性类似于一阶惯性环节的响应特性了。从图4-1可看出，当欠阻尼系统的：值在之间时，响应曲线比临界阻尼或过阻尼情况下的响应 曲线更快到达稳态值。在非周期响应系统中，临界阻尼系统的响应速度最快，过阻尼系统对输入的响应 比较缓慢。二阶系统的单位阶跃响应情况综合于表4-1所示。料+1曰看国口单*速年，I*-*，* jJ A A i-m在Ei 表J /xy,+ kjjfTOCKL川 4中片:柠LY:餐l-l：L_1ff*E/8K=冉7仆*71I /*叼 k -一中_ ,1*-B 9-yKf ；k|5,-一加-4!5L- 一.L土.+ -r-S？rr.

7、 口|L/* 4*-G=-_吗T表445整a白。二:r：，的e的崛曲阶系统的传递函数除了式(4-8)的形式外，还可能有(4-19)(4-20)式(4-19)、(4-20)所表示的二阶系统，只是传递函数的分子部分不相同，而分母部分是一样的，也就是说，它们的特征方程式相同，所以，它们的阶跃响应特性的基本形式是一样的，即当时是非周期的，01时，是衰减振荡的。三、二阶系统的时域性能指标实际调节系统的瞬态响应，在达到稳态以前，常常表现为阻尼振荡过程。为了分析调节系统对单位 阶跃输入信号的瞬态响应特性，通常采用一些性能指标，除第一章介绍的超调量 Mp衰减率甲、调节时间ts和静态偏差e ()(或称稳态误差)

8、外，还有两个指标：(1)上升时间tr :响应从其稳态值的10%上升到90%斤需的时间。上升时间是系统响应速度的一种 度量。显然，上升时间越小，响应越快。(2)峰值时间tp :响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间。上述性能指标基本上可以体现过渡过程的特征。其中，上升时间 tr和峰值时间tp是系统在初始阶 段响应速度的一种度量；调节时间 ts表示了系统过渡过程的持续时间，反映了系统的快速性；超调量 MP和衰减率 里反映了系统过渡过程的稳定性；稳态误差e ()反映了系统的准确性。请参见图(4-4)国的4二阶摹匏时域性能指标示现图图4-4二阶系统时域性能指标示意图下面讨论欠阻尼二阶系统的峰值时间t

9、p、超调量MR衰减率 里和调节时间ts的计算。要指出的是，所得公式仅适用于以式（4-8)即所描述的二阶系统。如果传递函数的分子只有S的一次项或S的一次项加常数项，则计算公式要另行讨论。具体推导公式以前，有必要阐明欠阻尼二阶系统特征参量、an和3d之间的相互关系，见图（4-5）。由图可见，衰减系数是系统特征根到虚轴之间的距离；阻尼振荡频率3 d是特征根到实轴之间的距离；自然振荡频率 3n是特征根到坐标原点之间的距离；若令OS1直线与负实轴夹角为，则有：=cos1 .峰值时间tP根据式(4-12),将c(t)对时间微分，并令其为零，有=?：个0 24M + +功=0整理得于是必有。日再=打万(打二

10、Q L 2A)| (4.21) t因为峰值时间定义为：响应超过稳态值，到达第一个峰值所需的时间，所以应取，因此峰值时间(4-22 )上式表明，峰值时间等于阻尼振荡周期TK的一半2 .超调量MP因为超调量发生在峰值时间上，所以将式（4-21 ）代入式（4-12）,得输出量的最大值心）=.一方产后皿网由于$也（71+丹=一山所以上式可写为小y）=岗1+广斤,按超调量定义，开计及用工，=&得起蜩量计算公式“(4-23)的增大而减小的% =贬 xlOO%图4-6表示了超调量Mp与阻尼比的关系，超调量是随着阻尼比图47二肺系统沮调量案减格）、套减梢致与眼里比然）的美暴图4-6二阶系统超调量（MD 、衰减

11、率（）、衰减指数（m）与阻尼比（）的关系3 .衰减率 ？川凡）一河巴十。“（九十工）中=L_（xlOC%） = 1 L_（X100%）(4-24 )式中 M（tp）第一个波幅幅值，这时 t=tpM（tp+Tk）第二个正向波幅幅值（图中 4-4中的M2）,这时t=tp+Tk根据（4-21）式，n=3所对应的时间，为第二个波幅出现的时间，即因此根据式（4-24 ）,得衰减率的计算公式叩一/丁48助穹 （4-25）可见，欠阻尼二阶系统的衰减率与超调量Mp一样，只与阻尼比有单位关系，见图4-6中的 曲线。衰减率 随的增大而增大在式（4-23）和式（4-25）的指数中都含有比值；6丁 ：，这个比值是欠阻

12、尼二阶系统特征根的实部绝对值与虚部绝对值之比，称为二阶系统的衰减指数，用m表示，其关系为(4-26 )衰减指数m也是阻尼比的单值函数。见图4-6中的曲线m m值随的增大而增大这样，描述欠阻尼二阶系统振荡过程衰减情况的有m 和 三种参数。所不同的是，衰减指数m是由特征方程根的实部与虚部之比来定义的；衰减率是由振荡过程曲线中相邻两个振幅的衰减百分比来定义的；而阻尼系数是用特征方程式各项系数来表示的。它们之间的关系为(4-27)另外，超调量Mp与衰减率 之间也存在着一定的关系，即U =或 % = /二(4-28)四个参数之间存在着一一对应的关系，表4-2中列出了一些具体的数值，在分析和整定热工过程自

13、动调节系统时，常用到这些关系。表4-2 二阶系统、Mp m和值的对应关系型Q时03g业3百0.6*-100,0科强o.?stC.?9S-。.阳郭4：+Mpt30 83Q. F FC5纪0 3 IM018卡O.lJIt102户0.0114*0 口加业的0 口句GF!。即0亍2治1的1天+仅便3a u4P*4在一般的热工自动调节系统中，通常选择衰减率=。4 .调节时间ts从前述调节时间ts的定义知，调节时间ts应满足：1d-匚卜 I其中是稳态值的5%(或2%),即=()或=() o为了计算方便，通常采用图 4-4上阶跃响应曲线的一对包络线表示衰减振荡曲线的衰减程度，其包络线的方程为：S(0=(1-

14、7=e)W 一:(4-29 )所需的时间。因调节时间ts的定义修改为：响应曲线的包络线与稳态值的偏差减小到允许范围此，ts满足4-30 )取=（）或=（）,将式（4-29）代入式（4-30）,并且由于c（尸K,则有eA进一步，可得，；.二一 1 L 戊土)=In3a J1分析可以得出，在足够宽的值范围内，如 ,的值变化不大，对于=（）,其值为 ，用4近似；对于=（）,其值为，用3近似，从而式（4-32）可简化为（采用2%勺误差带）(4-31 )（采用5%勺误差带）(4-32)上式表明，调节时间ts与特征根的实部数值成反比，特征根的实部数值越大，即离虚轴的距离越远，系统的调节时间越短。或者说，调

15、节时间与系统阻尼比和自然振荡频率的乘积反比。由于阻尼比主要根据对系统超调量的要求来确定，所以调节时间主要由自然振荡频率n决定。若保持阻尼比值不变而加大自然振荡频率值，则可以在不影响超调量的情况下缩短调节时间。例4-1闭环系统如图4-7所示，试求系统单位阶跃响应的性能指标：tp、Mp。、 ts和稳态误差 e（8）。田4力图4-7 例4-1闭环系统框图解：系统的闭环传递函数为(4-33)二阶系统传递函数的通用形式为G($)二(4-34 )式（4-33）与式（4-34）相比较，可得放大系数K=1无阻尼自然振荡频率n=5 (rad/s )阻尼比由此可以求得:阻尼振荡频率峰值时间超调量衰减率调节时间M =3 Jl= 5/1 - 0.6; =r =-= =0,785 rs)% 4,Mn =gf 二二 骡 =16.3扬,rrW = l-,，后1-/1珈二9工3%*采用2%的误差带x二% 事33 1Zt-二一二1 （J采用5%的误差带；:组 3 j稳态误差0（X）二 1 一 C（T）= l-liiii 5c J-sC=1-11m MG（）T s-rfS_忧黝s +英叫s + * =0例4-2设图4-8（a）所示调节系