几何变换之旋转构造

1、例题精讲【例1】顺义区2021 模第25题：在 Rt ABC中，AB BC，在Rt ADE中，AD DE，连结EC, 取EC的中点M，连结DM和BM . 假设点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图，探索 BM、DM的关系并 给予证明； 如果将图中的ADE绕点A逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的结论是否仍成 立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.例2】 如图将等腰直角三角形 ADE绕点A按逆时针方向旋转90，其余条件不变，结论：BMD为等腰直角三角形还成立吗？例3】正方形 ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF BD交BC于F，连接DF , G为DF中点，连接

2、EG , CG .求证：EG CG ;将图中BEF绕B点逆时针旋转45，如图所示，取DF中点G，连接EG , CG 问 中的 结论是否仍然成立？假设成立，请给出证明；假设不成立，请说明理由.将图中BEF绕B点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问中的结论是否AB9仍然 成立？通过观察你还能得出什么结论？均不要求证明图图图例4】 正方形 ABCD和等腰Rt BEF , EF BE , BEF 90 ，按图I放置， 使点F在BC上， 取DF中点G，连EG、 CG . 探索EG、 CG的数量关系，并说明理由； 将图1 , BEF绕B点顺时针旋转45。得图2，连结DF ,取DF的中点G，问中的结

3、论是否成立，并说明理由；之间得图3，连结DF ,取DF的将图I中厶BEF绕B点转动任意角度旋转角在0到90 中点G，问 中的结论是否成立，请说明理由；图1图2C例5】 在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点四边形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中点是M .(1 )如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，求证：FM =MH , FM 丄 MH ;(2) 将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图 2，求证： FMH是等腰直角三角 形；(3) 将图2中的CE缩短到图3的情况， FMH还是等腰直角三角形吗？(不必说明理由)例6】如图1，操作：把正方

4、形 CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上CG BC ,取线段AE的中点M 探究：线段 MD、 MF的关系，并加以证明.说明： 如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路 写出来要求至少写3步；在你经历说明的过程之后，可以从以下 、中选取一个补充或更换条件, 完成你的证明.注意：选取 完成证明得10分；选取 完成证明得7分；选取 完成证明得5分. DM的延长线交CE于点N，且AD NE ; 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45 如图 在的条件下且CF 2AD .附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后如 图的关系，并加以证明.F2 ，其他条件不

5、变;3 ，其他条件不变探究: 线段MD、 MFE图1点，连结PG , PC 假设例7】问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A, B , E在同一条直线上，P是线段DF 的中PG的值.ABC BEF 60，探究 PG与PC的位置关系及PC请你参考小聪同学的思路，探究并解决以下问题:I瓦&等三角形,经过推理使问题得到解决.PG1 写出上面问题中线段 PG与PC的位置关系及PG的值；PC2将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD 的 边AB在同一条直线上，原问题中的其他条件不变如图 2 你在1中得到的两个 结论是否发生变化？写出你的猜测并加以证

6、明.3 假设图1中ABC BEF 2 0 90 ，将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，PG原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值用含 的式子表示PC例8】，在ABC中，ACB为锐角，D是射线BC上一动点D与C不重合，以AD为一边 向右侧作等边ADE C与E不重合，连接CE .假设ABC为等边三角形，当点D在线段BC上时如图1所示，贝U直线BD与直线CE 所夹锐角为度； 假设ABC为等边三角形，当点 D在线段BC的延长线上时如图2所示，你在中得 到的结论是 否仍然成立？ 请说明理由； 假设ABC不是等边三角形，且 BC AC (如图3所示)试探究当点 中得到的结论是否仍然成立？假设成立，请

7、说明理由；假设不成立，请指D在线段BC上时，你在ACB满足什么条件 时，例9】(1)如图，在四边形 ABCD中，AB AD， B D 90，E、F分别是1边 BC、 CD 上的点，且 EAF = BAD .求证：EF BE FD ;2 如图在四边形 ABCD中， AB AD , B+ D 180 , E、F分别是1边BC、 CD上的点，且EAF BAD , (1)中的结论是否仍然成立?2不用证明. 如图，在四边形 ABCD中， AB AD , B ADC 180 , E, F1分别是边BC , CD延长线上的点，且 EAF 1 BAD ,(1)中的结论是2否仍然成立？假设成立，请证明；假设不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.例10】在等AAC如图，当点 M , N在边AB , AC上，且DM DN时，BM , NC , MN