直线习题精选精讲

1、直线方程例1求经过两点A(2，1)，B(m，2)(mR)的直线的斜率，并求出其倾斜角及其取值范围分析：斜率公式成立的条件是，所以应先就m的值是否等于2进行讨论解：当m=2时，直线垂直于轴，故其斜率不存在，此时，倾斜角=当m2时，k当m2时，0 此时arctan（，）当m2时，0 此时+arctan（，）说明：通过讨论确定直线的斜率存在与不存在是解决直线斜率问题常用的方法例2已知两点A(-3，4)，B(3，2)，过点P(2，1)的直线l与线段AB有公共点 （1）求直线l的斜率的取值范围（2）求直线l的倾斜角的取值范围图1分析：如图1，为使直线l与线段AB有公共点，则直线l的倾斜角应介于直线PB的

2、倾斜角与直线PA的倾斜角之间，所以，当l的倾斜角小于90时，有；当l的倾斜角大于90时，则有解：如图1，有分析知1， 3 （1）或 （2）arctan3说明：学生常错误地写成1k3，原因是与倾斜角分不清或误以为正切函数在上单调递增例3判断下列命题是否正确：一条直线l一定是某个一次函数的图像；一次函数的图像一定是一条不过原点的直线；如果一条直线上所有点的坐标都是某一个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程；如果以一个二元一次方程的解为坐标的点都在某一条直线上，那么这条直线叫做这个方程的直线解：不正确直线，不是一次函数；不正确当时，直线过原点不正确第一、三象限角的平分线上所有的点都是方程的解，但

3、此方程不是第一、三象限角平分线的方程不正确以方程 ()的解为坐标的点都在第一象限的角平分线上，但 此直线不是方程 ()的图像说明：直线方程概念中的两个条件缺一不可，它们和在一起构成充要条件例4设直线的斜率为k，且，指出直线倾斜角的范围分析：倾斜角与斜率有关，根据公式和正切函数的单调性，由斜率的范围可以得到倾斜角的范围，可以画图，利用数形结合来帮助解决问题解： ，由已知得 ， 直线的倾斜角的范围是 说明：注意正切函数在范围的单调性，最好结合图形，不容易出错例5已知两点A(1，5)，B(3，2)，直线l的倾斜角是直线倾斜角的一半，求直线l的斜率解1：设直线l的倾斜角为，则直线的倾斜角为2tan2，

4、化简得 3tan2+8tan30，解得 tan 或 tan3tan20， 0290， 0图2证明：如图2，在坐标平面上取点A(m，m)，B(a，b)，则AB的中点为C(，) 显然OA、OB、OC的斜率满足 ， 又 ，1 所以 说明：本题与前边不等式的证明联系紧密，此处提供了一种新颖的证明，有助于学生对解析法的理解同时本题为构造性证明，不易想到事实上，把分式看成斜率是常用的方法例7 设直线过原点，其倾斜角为，将直线绕坐标原点沿逆时针方向旋转45，得到直线，则直线的倾斜角为（）A B CD当时为，当时为分析：倾斜角的范围是，因此，只有当，即时，的倾斜角才是而，所以必须讨论的情况，结合图形和倾斜角的

5、概念，即可得到时的倾斜角为故应选D答案：D说明：在求直线的倾斜角时，应该重视的是：(1)注意角的取值范围；(2)数形结合是一种常用而有效的方法例8 若三点，共线，求的值分析：若三点共线，则由任两点所确定的直线斜率相等或都不存在解答：由、三点共线，则，解得说明：由三点共线求其中参数的方法很多，如两点间的距离公式，定比分点坐标公式，面积公式等，但用斜率公式求的方法最简便例9 (1)直线过点和点，求的斜率和倾斜角；(2)若直线过，两点，且，求此直线的倾斜角(3)已知直线过点和，求的倾斜角和斜率分析：(1)中直线上两点与均为已知点，故是确定的，其斜率和倾斜角自然也是确定的，直接利用斜率公式求解即可；(

6、2)中的直线上的点是已知的，点的横纵坐标与角有关，应注意条件中地取值范围；(3)中的直线上的点是已知的，而点的横坐标不确定，它的取值将影响直线的斜率及倾斜角，应对类讨论，以直线的斜率是否存在为分类的标准根据倾斜角和斜率的概念进行求解解：设直线的斜率为，倾斜角为(1)直线过点和点，它的斜率于是，的倾斜角，即：(2)因为，所以所以斜率：因为，所以所以，直线的倾斜角为(3)当时，直线与轴垂直所以，倾斜角，没有斜率当时，斜率若，则；若，则因此，当时，直线没有斜率当时，当时，说明：由斜率求倾斜角时，要注意倾斜角的取值范围是当倾斜角不是特殊角而必须用反正切表示时，应注意(1)当直线的倾斜角是时，斜率是但反

7、过来，当直线的斜率是时，直线的倾斜角不一定是(2)在用公式时，要注意两点：斜率公式与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时颠倒当，（即直线和轴垂直）时，不能用此公式，此时倾斜角是，直线没有斜率(3)解答本题易出错的地方是对参数未进行讨论或讨论不完整解题方法指导直接写出直线方程利用公式求直线方程通过直线系求直线方程结合向量知识求直线方程借助相关点求直线方程轨迹法利用参数求直线方程通过分析结构求直线方程三、范例剖析1、直接法例1. 直线在轴上的截距为3，且倾斜角的正弦值为，求直线的方程。解： ，直线的斜率故所求直线的方程为即或评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，

8、写出形式适当的方程即为直接法。同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在内，从而有两个解。2、公式法例2. 过点P（2，1）作直线交轴、轴正方向于A、B，求使的面积最小时的直线的方程。解：设所求直线方程为，则由直线过点P（2，1），得即，由，得所以当且仅当，即时，取得最小值为4此时所求直线方程为，即评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法。这里选择了截距式方程。3、直线系法直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系它的方程叫做直线系方程例3. 求过与的交点且与直线平行的直线方程。解：设与交点的直线方程为即因为所求直线与平行所以，解得将代

9、入(*)，得所求直线方程为4、向量法例4. 求与直线夹角相等，且过点（4，5）的直线的方程。解：设所求直线l的方程为即其方向向量为又直线与的方向向量分别为与由已知条件及向量内积公式，得即解得或故所求直线方程为或评注：利用5、相关点法利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法。例5. 求直线关于直线的对称直线方程。解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x，y）关于直线的对称点为，则解得因为在直线上所以即6、参数法例6. 过点P（3，0）作一直线，使它夹在两直线和之间的线段AB恰被P点平分，求此直线方程。解：设所求直线分别与交于A、B因为A在直线上故可设又P（3，0）为AB的中点由中点坐标公式，得由B

10、在上，得解得，即由两点式得所求直线方程为7、结构分析法例7.若两条直线相交于点P（1，2），试求经过点与的直线方程。解：将与的交点P（1，2）代入与的方程，得，根据以上两式的结构特点易知：点与的坐标都适合方程故经过点A、B的直线的方程为对称问题我们所谓的四类对称问题大致上有以下四种：点关于点对称；点关于线对称；线关于点对称；线关于线对称。一 点关于点对称如P（a，b）关于点M（x0，y0）的对称点为P1,求P1？ 分析：设P1（x,y）则由中点公式 x0=; y0=可知 x=2x0a; y=2y0b P1（2x0a , 2y0b ）例1 已知点A（1，2），点B(2,3) 求点A关于点B的对称

11、点。解：（方法：利用中点公式）设点A关于点B的对称点为A1（x0，y0）则 2 x03 3 y04 点A关于点B的对称点为A1（3，4）。特例：点（a，b）关于原点的对称点为（a，b）二 点关于直线对称的点例2 求点P(2,0)关于直线2 x4 y10对称点Q的坐标解：（法一利用交点） 过点P(2,0)垂直于2 x4 y10的直线L为4（x2）2（y0）0即4x2y80即2xy40而直线L 与直线2x4y10的交点为M， 即M（，1）由例1可以求出Q的坐标为（1，2）解：（法二利用斜率）设Q（a，b），则由PQ直线的斜率与直线L的斜率之积为1及P、Q的中点在直线L上可以列出方程组Q（1，2）特

12、例：点（a，b）关于直线xc的对称点为（2ca，b）, 点（a，b）关于直线y=x的对称点为（b，a） 点（a，b）关于直线y=x的对称点为（b，a） 点（a，b）关于直线y=x+c的对称点为（bc，a c）点（a，b）关于直线y=x+c的对称点为（bc，ac）三 直线关于点对称的直线例3 求直线4 x y10关于点M（2，3）对称的直线方程解：（法一利用设元）设直线4 x y10上的点P（x0，y0），则点P（x0，y0）关于点M（2，3）的对称点为Q（x，y）， 则由例 1可知x04x ，y06y 代入直线4 x y10可得164 x6y 10即4 x y210解：（法二利用距离）设所求的

13、直线为4 x ym0,则点M（2，3）到两条直线的距离相等，由于点M（2，3）在两直线的中间1011mm21，即所求的直线为4 x y210解：（法三利用两点式）在直线4 x y10上任找两点A（0，1），B（1，3）关于点M（2，3）的对称点为A1（4，5），B1（3，9）由两点式可得即所求的直线为4 x y210 四直线关于直线对称的直线例4 求直线2 x y40关于直线 xy10的对称直线方程解：（法一利用设元）设直线4 x y40上的点P（x0，y0），则点P（x0，y0）关于直线xy10对称的点Q（x，y）则xy01，yx01代入直线2 x y40可得2（y1）x140即x2 y50

14、解：（法二利用夹角）由两直线的交点可得交点为所求直线过点（1，2），设其斜率为K（若求不出则说明直线垂直于X轴），又直线2 x y40到直线 xy10的角与直线 xy10到所求直线的角相等即K所求直线为y 2（x 1）即x2 y50解：（法三利用距离）三直线交于一点，设直线系方程为（2xy4）（xy1）0即（2）x（1）y（4）0不妨在对称轴直线 xy10上任取一点（0，1）则 1或0（舍去）所求直线为x2 y50轴对称轴对称是解析几何的一个重要内容，利用它不仅可以解决点、线、曲线等关于直线的对称问题，而且还可以解决诸如最值、光线反射、角平分线等问题，并且常得到意想不到的效果。本文将以数例来谈

15、谈它的应用。例1、已知点A(4,1)，B(0,4)，在直线L：y=3x-1上找一点P，求使|PA|-|PB|最大时P的坐标。分析：本题的常规方法是：（1）设点（2）列出相应的函数关系式（3）求解。但本题若这样做，则就会走入死胡同。若巧妙利用轴对称的知识则可以轻松解决。解：如图，设点C(x,y)是点B关于直线L的对称点，则由，得：，直线BC的方程为：，将其与直线y=3x-1联立，解得：D,其中D为BC中点，利用中点坐标公式，得C（3,3）。显然：|PA|-|PB|PA|-|PC|AC|,当且仅当A、C、P三点共线时，|PA|-|PB|最大。可求得：直线AC方程为：，与L方程联立解得P的坐标为（2

16、,5）。例2、光线由点C（3，3）出发射到直线L：y=3x-1上，已知其被直线L反射后经过点A(4,1)，求反射光线方程。解：设点B是点C关于L的对称点，则由光线反射的知识易知：点B在反射光线上，故所求的反射光线的方程即为直线AB所在的直线方程。由例1知点C关于L的对称点为B（0,4），故直线AB的方程易求得为：。它即为反射光线方程。例3、已知ABC的顶点A的坐标为(1,4)，B、C的平分线的分别方程为和，求BC所在的直线方程。分析：本题的常规思路是利用L1到L2的角的有关知识解决问题，但较繁，若能注意到角平分线的有关性质，则可简捷求解。解：设B、C的平分线分别为L1、L2,则由角平分线的知识

17、可知：AB与CB关于L1对称，AC与BC关于L2对称，故点A关于L1、L2的对称点A1、A2都应该在直线BC上，故BC所在的直线方程即为A1A2所在的直线方程。利用对称性可求得：（过程略）于是BC方程可求得为：两直线平行、两直线垂直、两条直线的交点 例1. 分析： 法一：求出直线的斜率，再用直线的点斜式方程求解。 法二：设所求直线的方程为2x3yb0，求出b即可。 解： 法一： 法二：设所求直线的方程为2x3yb0，直线过点A（1，-4） 故所求直线的方程是2x3y100。 例2. 讨论下列各对直线是否平行或垂直： 分析： 解： （2）当B0时，则A0，当A0时，则B0 此时，l1、l2中必有

18、一条垂直于x轴，另一条垂直于y轴 所以l1l2 所以总有l1l2 小结：本题的结论很重要，应熟记。在利用位置关系求直线方程时，有时用本题的结论设所求直线的方程来求解。一般地可证明下列结论： 例3. 求过点P（x0，y0）且和直线AxByC0垂直的直线的方程。 解： 所求直线与直线AxByC0垂直 当B0时，直线AxByC0的方程为AxC0，过点P与它垂直的方程为yy0，适合上面所求方程BxAyAy0Bx00。 同理，当A0时，过点P与直线AxByC0垂直的直线方程为xx0，也适合上面所求方程。 小结：由所求直线方程和已知直线方程比较知：一个方程中含x项的系数与另一个方程中含y项的系数绝对值相同

19、，而联结符号相反。一般地，与直线AxByC0垂直的直线的方程可设为BxAyC10。 例4. 值。 解法一： 解法二： 小结：条直线中一条的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直。本例利用A1A2B1B20求a的值更为快捷。直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程. 设点P()是直线上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点. 1)当与直线同方向或P0和P重合时，yh0hP()P0hQP0P|P0P| 则P0QP0Pcos Q PP0Psin2)当与直线反方向时，P0P、P

20、0Q、Q P同时改变符号P0P|P0P| P0QP0Pcos Q PP0Psin 仍成立设P0Pt，t为参数，又P0Q， tcos Q P =t sin 即是所求的直线的参数方程 P0Pt，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点P0()到点 P()的有向线段的数量，且|P0P|t| 当t0时，点P在点P0的上方； 当t0时，点P与点P0重合； 当t0时，点P在点P0的右侧； 当t0时，点P与点P0重合；yh0hPP0h 当t0时，点P在点P0的左侧；问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一 对应关系？ 我们把直线看作是实数轴， 以直线向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单

21、位长为单位长， 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了 一一对应关系.问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2 ， 则P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1问题yh0hP1P0hP24：若P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？ 根据直线参数方程t的几何意义， P1Pt1，P2Pt2，P0为直线 上两点P1、P2的中点，|P1P|P2P| P1PP2P，即t1t2, t1t20,设这个二次方程的两个根为t1、t2,由韦达定理得 t1t2, t1t2 ，由M为线段A

22、B的中点，根据t的几何意义，得| PM| 中点M所对应的参数为t M=,将此值代入直线的标准参数方程*，M点的坐标为 即 M（，）(3) |AB|t 2t 1 点拨：利用直线的标准参数方程中参数t的几何意义，在解决诸如直线上两点间的距离、直线上某两点的中点以及与此相关的一些问题时，比用直线的普通方程来解决显得比较灵活和简捷.例7：已知直线经过点P（1,3）,倾斜角为， (1)求直线与直线：的交点Q与P点的距离| PQ|； (2)求直线和圆16的两个交点A，B与P点的距离之积. 解：(1)直线经过点P（1,3）,倾斜角为,直线的标准参数方 程为，即（t为参数）代入直线： 得 整理，解得t=4+2

23、 t=4+2即为直线与直线的交点Q所对应的参数值，根据参数t的几 何意义可知：|t|=| PQ|,| PQ|=4+2.(2) 把直线的标准参数方程为（t为参数）代入圆的方程16，得,整理得：t28t+12=0， =82-4120,设此二次方程的两个根为t1、t2 则t1t2=12 根据参数t的几何意义，t1、t2 分别为直线和圆16的两个交点A, B所对应的参数值，则|t1|=| PA|,|t2|=| PB|,所以| PA| PB|=|t1 t2|=12 通法 特法 妙法（1）斜率法两直线位置关系的角度定位倾斜角不是90的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k，即k=tan （90）；倾斜

24、角为90的直线没有斜率.用斜率法判断两直线的位置关系： 平行直线系：当斜率k存在时，与l：y=kx+b平行的直线系方程为l：y=kx+b（bb）,b为参变量. 垂直直线系：当斜率k存在且不为0时，与l：y=kx+b垂直的直线系方程为l：为参变量.斜率分别为k1、k2的两条直线，若k1k2，则两线必然相交，它们的交角可用k1、k2的解析式表示为：tan=【例6】 已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y-5=0和l2：6x+（2m-1）y=5.问m为何值时，有：（1）l1与l2相交？（2）l1l2？（3）l1与l2重合？（4）l1 l2？【解析】 （1）当m-3且m时，因为l1与l2相交，所以又

25、当m=-3时，直线l1:-x-5=0,l2:6x-7y=5,两直线相交；当两直线相交.当m4或时，l1与l2相交.（2）由（1）可知，当m=4或m=时，l1与l2有可能平行.当m=4时，l1：6x+7y-5=0，l2：6x+7y=5,即l1与l2重合；当时，即l1l2.当时，l1l2.（3）当m=4时，l1、l2重合.（4）当，解得 m=-1或m=-.又由（1）知m=-3或m=时，l1、l2不垂直，当m=-1或m=-时，l1 l2.（2）公式法点线距到线线距点与直线的位置关系，两平行线间的位置关系用距离确定（与角度无关）. 点到直线的距离公式：点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0的距

26、离 两条平行直线间的距离公式： 设两条平行直线为l1：Ax+By+C1=0，l2：Ax+By+C2=0 （C1C2），它们之间的距离为.【例7】 直线l过点A（2，3），且被两平行线l1：3x+4y-7=0和l2：3x+4y+8=0截得的线段长为3，求直线l的方程.【解析】 设直线l的方程为y-3=k（x-2）,即kx-y+3-2k=0.设l与l1交于点M，作MNl2于点N（如右图），则两平行线l1，l2间距离|MN|=在直角MNQ中，|MQ|=3，sinMQN=MQN=45，即直线l与l2的夹角是45，于是 解之得k=或k=-7.所求直线方程为x-7y+19=0或7x+y-17=0.【点评】 本题构造一个直角三角形MNQ，利用平行线间的距离求得l2、l间的夹角，进而求出所求直线的斜率，从而得到直线l的方程.如果采用解方程组的方法求交点M、Q，再利用|MQ|=3来解出k,运算量会很大，不信你可以试一试.（3）轨迹法常见直线的性质种种直线可看作（具有某属性的）动点的轨迹. 如中垂线轨迹：到两定