数值分析习题与答案

1、第一章绪论习题一1.设x0,x*的相对误差为 8 ,求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求 f(x)=lnx 的误差限，由公式(1.2.4)有顼炉)=| g -心*) 0鹏菽IF13已知 x*的相对误差/满足下丁- ,而心诏)T个物，故iI r - r* I11刑H1半吊击“1* IX - X* |13即一一2 .下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指由它们有几位有效数字，并给由其误差限与相对误差限。1021,、；= 0,031/；= 560,40解：直接根据定义和式(122)(123)则得璋有5位有效数字，其误差限*叱，相对误差限次值) 0X1L有2位有效数字，,卜X

2、；有5位有效数字，必苧3 .下列公式如何才比较准确？(1)加 i + i艮户小解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换 所给公式4 .近似数x*=0.0310,是丑 位有数数字。15 .计算=（点-1/取0总14,利用：而百 式计算误差最小0（3- 22） ,99 -7072四个选项：,1第二、三章插值与函数逼近习题二、三1 .给定产二出的数值表0.40.50.60.7Ln x-0.916291-0.633147-0.510326-0.35(675用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值, 并应用误差

3、估计（5.8 ）。线性插值时，用 0.5及0.6两点，用Newton插值 山3口 -。947+山1黑等巴X -。3 = -0 6202191内5监|屏_ 0650 6)|/(x) =lnxh f (x) = -监二黑0E F = 4x工 ，故(xlx4xO xQ Q6 = 0.0048二次插值时，用 0.5 , 0.6 , 0.7三点，作二次 Newton插值In 0.54 阳-0.620219 + /0 5,060 7(0.54-0.5)(0.54- 0 6) = -0,620219 + (7 40850) x0.04x(-0,06) = 0.616839任辛阳区|工!外口一 0一5)(彳0

4、 6)5-。一7)|,块左2 2=16尸”=三监右加x|A3(jO|xl6x0.04x0.06x0.16 0,0010242.在-4x 八*)F %!可知当P一有力不，小二0而当p= n+ 1时力%,= 2/(为%.式/)=，兄，=1产氏GOn Pn于是得几P二口+1匚+广功一甑5 . 求证n.解：解：只要按差分定义直接展开得/34山p* *=。-ArM-i +型*马3制力+41 _4口=%一酰6 .已知/=由裂的函数表00.200.300.5000.201340.304520.52110求由三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函

5、数表构造均差表Xif(X;)一阶均差nra差三阶均差000. 200. 201341.00670. 300. 304521.03180.083676 500.521121408300.170670.17400由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得|&(0 23)上孙时，00 23 23)由于1|3 (0.23)| 0,033133x0.23x0.03 x0.07x 0,27 432 xlO-

6、67 .给定f(x)=cosx 的函数表的00.10.20.30.4150.(51.000000.995000.980070.555340.921060.877580.82534用Newton等距插值公式计算 cos 0.048 及cos 0.566 的近似值并估计误差解：先构造差分表f(X1)蚁（守）a3z(77)ajZCv7)L 00000-0.0050。0.99600-0.00993-0.014930.000130.98007-0.009800. 00002-0.024730. 00025-0.000020.95634-0.009550. 00010-0.034230.00035-0.0

7、0001K 92106-0. 009200. 00009-0,04348000044一0. 00876-CLO52240.85234 r cos 0,048, = 0.048,/j = 0 = 0.48 m . /曰2 x 竹计算h ，用n=4得Newton刖插公式N式/历)=+44 + 争一 1)十 等也-1)“ - 2) + 学 -1)(- 2)。一 3)=1 00000 + 0.4J- 0.00500 - 3 - 1- 2 .2 x1I 2 I 624 川误差估计由公式(5.17)得R4 (0.048)|逊圳I 21624 )= 0.34405误差估计由公式(5.19)得|&(0-56钏

8、工号年 +1)(1 + 2) + 3)(/ + 4)|酎 1,7064 x 10-7这里仍为0.5658 . 求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足 卜1 ,p7解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造鸟使它满足%(0) = 0,丹。)=日=1,显然必任)=/(2-幻，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求生A=,于是 449 .令与二去七式立之鸟称为第二类Chebyshev多项式，试求外的表达式，并证明 寓)是-1,1 上带权&)=仄？的正交多项式序列。解：因: 11/1.sin（? +l）arccos x气二-r+i（） =7吊 + 1J

9、1 /令范=cossin（界 +1）6 fin（阳 + 1）田己Q, mn予 蹬二照10 .用最小二乘法求一个形如 F十方/的经验公式，使它拟合 下列数据，并计算均方误差.苑1925313844*19.032.34973.357.8解：本题给由拟合曲线尸即%（工）=1,例（乃二储，故法方程系数4C Wq，仰）- % （Xj） = 5 20（如 Q =2#=5327.辆.的）=工向=7277699（W y）=工月=2714,（研M =二中” = 369321 5法方程为L+53273= 27 L453272 +727769泌=369321 5解得,11最小二乘拟合曲线为均方程为怵二网一（伽 力-

10、双外出二0.0150321怫=5122611 .填空题(1) 满足条件PlgWKQ)飙2K的插值多项式 p(x)=().(2)欧)=2 婷+5,则 f 1,2,3,4 =(), f 1,2,3,4,5 1=().(3)设取LCU23.4)为互异节点，k的为对应的四次插值基函 44珈 rnrf 域(0)/3 + 现数，则七 =(),%=().(4)设血)是区间0,1 上权函数为 p (x)=x的 最高项系数为1的正交多项式序列，其中例=1 ,则口畋打=( 八科=()答：(1)(2)2/123,4,5 =。二班(0) = 02(端 +2k*) = / + 2(3) h 。o,r 063(4)X H

11、510第4章 数值积分与数值微分习题41 .分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分解 本题只要根据复合梯形公式（6.11 ）及复合 Simpson公式（6.13）直接计算即可。对7ax石取n=8,在分点处计算f（x）的值构造函数表。按式（6.11 ）求生4=0/114024,按式（6.13）求得取=0.1115724,工rr 八1二= O 11157173积分 J 2 .用Simpson公式求积分【；尸石，并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7 ）得j（l + 柒3 + 书一】）=0,63233由（6.8）式估计误差，因 %）二尸/气）”故I均= 3.5x10 180

12、163 .确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.（I）力L 一，（3）解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突生求积公式 的参数。（1）令=代入公式两端并使其相等，得A+B + C=厂 1Bxy +l, = | &? + C =-3fef+c = l_ 1121解此方程组得Xi = 2=6B = rC=6,于是有fy (x)+I/(i)03/64 ,2/14 15_1人、 4 /t=r I X OJT H () += 再令#)=/,得 Jq 3*2，6 24故求积公式具有3次代数精确度。(2)令/一,代入公式两端使其相等,得41+4+4二电q(

13、-h) + 工1 力= 0 t _ j4_j +月= 04i(My+ 4层=|(2加3月t + A =今R4、史尸A=?& =-一瓦和 O)= /解由一 3 f 3小)得工明 二 |枇-打尸+国=0而对了二一不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。(3)令力- = Lm彳弋入公式精确成立,得A+B = 2h1（）3x0s 646x104即6勺乂 10T辑之2542取n=255才更使复合梯形公式误差不超过25 .用Romberg求积算法求积分 赤卜 力，取到K= 3,结果如下表所示。7?就00.63994010.6452350.63233320.635410O.63213E0.63212230

14、.6329430.6321210,6321200.632120解：本题只要对积分工队使用Romberg算法（6.20 ）,计算于是积分 点卜入0.713271,积分准确值为0.7132726 . 用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.1解：本题直接应用三点 Gauss公式计算即可。工由于区间为。，所以先做变换）于是1 10.555556x (1 774597+ (1 -0 774597) . lum) + O.8S88S9?0j = 0 7182528Gauss-Chebyshev 求积公式计算积分Gauss-Chebyshev求积公式计算本题精确值. 二 .；7 . 用三点I

15、=_2dx解：本题直接用即/二卷于是. .1诉,因n=2,即为三点公式，于是-一 即【： - -1- -+ l+-r =2.630411故加% V 4.8 .试确定常数A, B, C,及a ,使求积公式f J石阳Af-a） +劭十寸 有尽可能高的代数精确度，并指由所得求积公式的代数精确 度是多少.它是否为Gauss型的求积公式？解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令 六幻二1，冗/一对公式精确成立,得到A + B + C=dx=4（1）-aAaC= f xdx =。/月+ /C =，= ?（3）1月+/C=0（4）a由（2） （4）得A=C,这两个方程不独立。故可令 #）= ,得

16、a2A + aC - Cdx=L 5由（3） （5）解得一心， 9 ,代入（1）得 9 则有求积公式fJ石吟（旧+/+,周令X）二黯公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的第五章解线性方程组的直接法 习题五1.用Gauss消去法求解下列方程组.fl-za +X, = 95 * 6 3111n+ =8+啊 +2-8解本题是Gauss消去法解具体方程组,只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可O45 = -1541315的=-154x153 = -177 69叼=-60（-4弓的）= 476.92十斤 / =%9 Y”-227 08故2.用

17、列主元消去法求解方程组系数矩阵A的行列式detA的值2xx - 3为 + 3餐-15卜 18/ + 3 巧 + 3% = -15r+叼+恐=6 并求生18-18-1512-3-1S 3：。26A -3行与2行交换回代得解15消元1 1517 3118 6I 53-1801731718-155,31 不37676-1171822-1531T65解：先选列主元,2行与1行交换得三 3rx2 2,Xj - 1行列式得7 22 detA= -18- = -666 73.用Doolittle分解法求解.解：由矩阵乘法得A=LU =14325160-36161451315再由卬=5求得1y = (9T-1

18、54)丁由解得x = (-227.03,476 92-177.69/4.下述矩阵能否作Doolittle分解,若能分解，分解式是否唯一 ？-122446251561546解：A中5二。，台匕目匕” =2 2+直嚣=% = 0m以=4 2 +。+。，相互矛盾，故A不能分解,但皿Axo,若a中1行与2行交换，则可分解为LU对B,显然色=4=0,但它仍可分解为11100-100匕-2分解不唯及为一任意常数，且 U奇异。C可分解，且唯c=5.用追赶法解三对角方程组 Ax=b,其中-12-1000-12-1000-12-1000-1210000解：用解对三角方程组的追赶法公式3.1.2 )和(3.1.3

19、 )计算得12343= - 用=一与，&=_牙氏=一耳11111r5 2 11 1 ryk2,314J5 ) 7丁丁57似6.用平方根法解方程组解：用力=8分解直接算得164845-48-422-431041 22 3 3由Ui及严兀ny求得126）二工二（-沁产7.设北巴证明心|44店NL解:卜二嘘卜；|媪+君十十W=NI即IMI吐斗L,另一方面=/十考+十官工也,普忖卜川川:故 I- I: 1I- _0 60.58. 设Ab】0川计算A的行范数，列范数及F-范数和2 范数解：11 -r ro.37 0 33 rArA=,4蚪0丁 月）= 0.685340.33 0 34加八故MJ、砒痢二0

20、防859. 设阅为Rx上任一种范数，是非奇异的，定义4IH,证明证明：根据矩阵算子定义和乩定义，得13 hl四眼产出|I凤令尸二尹，因P非奇异，故x与y为一对一，于是I即=凿力丁 = |向尸|11&1110.求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计词.*240-2-179 52解：记240 -3191-179 240_则从二台的解五二 93, J19.5 /340 图1J,即（工+即（二十团一_ o -。5=-0.50_而（H + M）a +笨）=右的解0 +番）=（8冉,即做240-319gLm故IkL =司矶建二240 319499 179 240C口口兀= MIL ML = 626一

21、2IK = 05JLIK = 056012由（3.12）的误差估计得11 - CondAn阿L1 2741kL -21|22-21 , detf/l/ - 3)=121 = 020122X攵Q=0, J法收敛、GS法的迭代矩阵为-100-1o-22-0-22G= 3-)?/ =11000102-3221000002A2-2det(AZ - G)= 0 Z - 23= 2)3 = 0, = 0, = 2 = 2002-2故： - ：解此方程组的 GS法不收敛。A 二5.设10 b 0a 010ba二，detA + 0,用,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件解 J法迭代矩阵为o

22、 -巴10-10100，5bTo,det(-U Q二三一 = （0.5000043,1 0000002-0 4999995）7若取m=1，迭代6次得* = （0.5000035,0.9999989-0.5000003）r7.对上题求生SOR&代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使 5X10那么J法GS法和SO砒各需迭彳t多少次？解：J法的迭代矩阵为,det(2/-B) =口=芸应故；应因A为对称正定三对角阵,最优松弛因子2 _ = 1,033?/J法收敛速度R（B）=-In R ,-In 15.4251 . . .k 科= 14 85对于J法 尺103972

23、，取K= 15对于GS法：15 425 3 7.42R6 2.07944，取 K= 8史 w 一 - - I石 4 54对于 SO砒W1) 3.4001，取 K= 5 8.填空题10司要使.，才三。应满足().1(2)已知方程组0,32A则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛速度 R(B)=()._p -1 1(3)设方程组Ax=b,其中1司其j法的迭代矩阵是().GS法的迭代矩阵是()用GS法解方程组2町气-一3，其中a为实数,方法收敛的充要条件是 a满足().-1-叶卜平(5)给定方程组IM,a为实数.当a满足。，且0v a 2时SORS代法收敛.答:(1) k 】(2

24、)J法是收敛的，R=成为=-也0名=。一2为0J0-E=2G=2一2 oo -(3)J法迭代矩阵是3，GS法迭代矩阵L 3(4) &满足0 6满足卜|父1第七章非线性方程求根习题七1.用二分法求方程/r7 = 0的正根，使误差小于 0.05解 使用二分法先要确定有根区间句o本题f(x)=x2-x-1=0, 因 f(1)=-1,f(2)=1, 故区间1,2为有根区间。另一根在-1,0内，故正根在1,2内。用二分法 计算各次迭代值如表。N即&F(格)符号0121.5.11.521.75+21.51751625+31.51 62515625-4L56251 625159375-%=1.59375其误

25、差网=瓦2 .求方程二-7 二。在漏=1.5附近的一个根，将 方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.X =1 + 限+1 =1 + 3(1) 迭代公式 I(2) /=1 + 一，迭代公式 小 7+工凯21_底K -1 ,迭代公式k+1飙7 .试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根7解：(1)取区间黯且 / ,2在口工1m且sG一了，在1.3间中488 Vm产0.911,则l1.满足收敛定理条件，故迭代收敛（2 ） 研外=犯%在1,3,1 q中中他3,1.6,且V0.46=故迭代收敛。2 jcW = T（,）：在“31刈中有同I D七fl,在而=1.

26、5附近依切沙故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取用=1，则盯=1481248通= 1472706,为=1 468217，冬=1.467048% = 1465243,% =1465*77,勺=1465710,/ = 1 465634西二1465599,/。= 1465583,/= 1465577,利=1465574x13 =1 465572, x14 =1.4655723 .设方程12-3笈42co股-0的迭代法2芯=4 + -cos（1）证明对卡而E凡均有巴J铲，其中x*为方程的根.（2）取漏=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过10-并列由各次迭代值.（3）此迭代法收敛阶是多少？证明你的结论解：（1 ）迭代函数08 = 4+93 （P （界）工 5,故杯（工） （-oo+oa） 2 .= - - sin 工 一 ,（2）取而=4,则有各次迭代值为=3.5642, =3.3920,起=3.3541, x4 = 3 3483% = 3.3475, zs = 3 3474,斫=3.3474取必咫3一347,其误差不超过W故此迭代为线性收敛4 .给定函数/，设对一切X, /存在，而且00,，为单调增函数，故方程/=0的根 是唯一的（假定方程有根工.）。迭代函数 矶0 二可，W = l-2