高等代数课件：8-4 矩阵相似的条件

1、定理：定理：数字矩阵数字矩阵 相似相似 与等价与等价.,A BEAEB设设P为数域为数域 若有若有 ，,n nA BP 00,n nP QP 则则A与与B相似相似.证：由证：由 00PEB Q EA 0000PQP BQ 得得 0000,PQEP BQA即即100,PQ 00EAPEB Q 使使 A与与B相似相似.100.AQBQ 0000P EQP BQ 对任意对任意 及任意及任意 -矩阵矩阵n nAP ,UV 0UEA QU使使 0VREAV 一定存在一定存在 -矩阵矩阵 及及 ,QR00,n nUVP 证：证：这里这里 且且 01,n nmD DDP 00.D 1011,mmmmUDDD

2、D 设设 i) 若若 则令则令 0,m 000,.QUD ii）若若 设设 0,m 120121( ),mmmmQQQQQ这里这里 为待定矩阵为待定矩阵.n niQP 于是于是 1010mmQQAQ 1121m kkkmmmQAQQAQAQ EA Q 要使要使式成立，只需取式成立，只需取 00101112110kkkmmmmmQDQAQDQAQDQAQDAQUD 即即 00110111201kkkmmmmmQDQDAQQDAQQDAQUDAQ 即可即可.同理可证同理可证. 设设 ，则，则A与与B相似相似 ,n nA BP 特征矩阵特征矩阵 与与 等价等价.EA EB 证：证： 若若A与与B相似

3、，则存在可逆矩阵相似，则存在可逆矩阵T，于是于是 1TEB T 由定理由定理6之推论，得之推论，得EA 与与 等价等价. EB 1.ATBT 使使EA 1ETBT 若若 与与 等价，等价，EA EB 则存在可逆则存在可逆 矩阵矩阵 ，使，使 ( ),( )UV( )() ( ).EAUEB V ( )R 及及 ，使，使00,n nU VP 存在存在 矩阵矩阵 ( ),Q 由引理由引理2，对于，对于A，( ),( )UV 0UEA QU 0VREAV 由由，有，有 1UEAEB V 0EBREAV即，即， 10UEB REAEB V 比较两端，得比较两端，得 1n nTUEB RP 0TEAEB

4、 V 下证下证T可逆可逆. 由由有，有， .UTEUEB R即即 EUTUEB R 1UTEA VR 10EA QUTEA VR 10U TEAQVR 比较两端，得比较两端，得 10EAQVR 故故T可逆可逆.由引理由引理1，A与与B相似相似. 0.U TE 10.EATEB V 于是于是 推论推论: :设设 则则 相似相似 ,n nA BP ,A B特征矩阵特征矩阵 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子. EA EB 证证: 相似相似,A BEA 与与 等价等价.EB 与与 有相同的不变因子有相同的不变因子. EA EB 矩阵矩阵A的不变因子的不变因子.推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量

5、推论说明，矩阵的不变因子是相似不变量.因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子因此，可把一个线性变换的任一矩阵的不变因子定义为此线性变换的不变因子定义为此线性变换的不变因子. 矩阵矩阵A的特征矩阵的特征矩阵 的不变因子也称为的不变因子也称为EA 对对 有秩有秩 ,n nAP ().EAn 从而，从而，A有有n个不变因子，这个不变因子，这n个个不变因子的乘积不变因子的乘积 等于等于 ,EA 1( ).niidEA 即，即，例例1. 证明：下列三个矩阵彼此都不相似证明：下列三个矩阵彼此都不相似.0 00 01 000 ,01 ,010 00 00 0aaaAaBaCaaaa证：证： 的不变因子是：的不变因子是： EA 123,dadada的不变因子是：的不变因子是： EB 的不变因子是：的