高等代数课件：6-1 集合 映射

1、引引言言 线性空间是线性代数的中心内容，它是几何线性空间是线性代数的中心内容，它是几何空间的抽象和推广空间的抽象和推广 我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它我们知道，在解析几何中讨论的三维向量，它们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和们的加法和数与向量的乘法可以描述一些几何和力学问题的有关属性为了研究一般线性方程组力学问题的有关属性为了研究一般线性方程组解的理论，我们把三维向量推广为解的理论，我们把三维向量推广为n维向量，定维向量，定义了义了n维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向维向量的加法和数量乘法运算，讨论了向量空间中的向量关于线性运算的线性相关性，完量空间中的向量关于线性运算的线

2、性相关性，完满地阐明了线性方程组的解的理论满地阐明了线性方程组的解的理论引引言言 现在把现在把n维向量抽象成集合中的元素，撇开维向量抽象成集合中的元素，撇开向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数向量及其运算的具体含义，把集合对加法和数量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，量乘法的封闭性及运算满足的规则抽象出来，就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将就形成了抽象的线性空间的概念，这种抽象将使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相使我们进一步研究的线性空间的理论可以在相当广泛的领域内得到应用事实上，线性空间当广泛的领域内得到应用事实上，线性空间的理论与方法己渗透到自然科学与工程技术的的理论与

3、方法己渗透到自然科学与工程技术的许多领域许多领域, 同时对于我们深刻理解和掌握线性方同时对于我们深刻理解和掌握线性方程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义程组理论和矩阵代数也有非常重要的指导意义.把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合集合；常用大写字母常用大写字母A、B、C 等表示集合；等表示集合；当当a是集合是集合A的元素时，就说的元素时，就说a 属于属于A，记作：，记作： ； aA 当当a不是集合不是集合A的元素时，就说的元素时，就说a不属于不属于A，记作：，记作： aA 组成集合的这些事物称为集合的组成集合的这些事物称为集合的元素元素 用小

4、写字母用小写字母a、b、c 等表示集合的元素等表示集合的元素 关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是个描述性的说明集合论的创始人是19世纪中期德世纪中期德国数学家康托尔（国数学家康托尔（GCantor），他把集合描述为：），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的,彼此有明彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果;集合集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、

5、无序性素具有：确定性、互异性、无序性. 注注:集合的表示方法一般有两种：集合的表示方法一般有两种：描述法描述法、列举法列举法 描述法描述法：给出这个集合的元素所具有的特征性质：给出这个集合的元素所具有的特征性质.列举法列举法：把构成集合的全部元素一一列举出来：把构成集合的全部元素一一列举出来.例例122( , )4, ,Mx y xyx yR例例2 N ，0,1,2,3,0, 2, 4, 6, 2Z 例例3210, 1,1Mx xxR Mx | x具有性质具有性质P Ma1，a2，an 如果如果B中的每一个元素都是中的每一个元素都是A中的元素，则称中的元素，则称B是是A的的子集子集，记作，记作

6、 ，（读作，（读作B包含于包含于A）BABA当且仅当当且仅当 xBxA 空集空集：不含任何元素的集合，记为：不含任何元素的集合，记为注意注意： 如果如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称两集合含有完全相同的元素，则称 A与与 B相等相等，记作，记作AB .AB当且仅当当且仅当 且且 ABBA约定：约定： 空集是任意集合空集是任意集合的子集合的子集合.交交： ； ABx xAxB 且且并并： ABx xAxB 或或显然有，显然有，;ABAAAB1、证明等式、证明等式: ()AABA 证：显然，证：显然， 又又 ， ()AABA ,xAxAB 则则 ，()xAAB 从而从而, ()AAAB 练习

7、：练习： 故等式成立故等式成立2、已知、已知 ， AB 证明：证明： 又因又因 ， ABA ABA 又因又因 ， BAB ABB ,AAB 证证：1）,xA ABxBxAB 此即，此即，因此无论哪一种情况，都有因此无论哪一种情况，都有 .xB .ABB 此即，此即， (1);(2)ABAABB2),xABxAxB 或或,AB 但是但是设设M、M 是给定的两个非空集合，如果有是给定的两个非空集合，如果有 一个对一个对应法则应法则，通过这个法则，通过这个法则对于对于M中的每一个元素中的每一个元素a，都有都有M 中一个唯一确定的元素中一个唯一确定的元素a 与它对应与它对应, 则称则称 为为称称 a

8、为为 a 在映射在映射下的下的象象，而，而 a 称为称为a在映射在映射下的下的M到到M 的一个的一个映射映射，记作，记作 : 或或:MM MM 原象原象，记作，记作(a)a 或或:.aa 设映射设映射 , 集合集合:MM 称之为称之为M在映射在映射下的下的象象，通常记作，通常记作 Im 集合集合M 到到M 自身的映射称为自身的映射称为M 的一个的一个变换变换 ImM 显然，显然， () ( )Ma aM例例4判断下列判断下列M 到到M 对应法则是否为映射对应法则是否为映射 1）Ma，b，c、M 1,2，3,4 ：(a)1，(b)1，(c)2：(a)1,(b)2,(c)3,(c)4：(b)2，(

9、c)4 （不是不是） （是是） （不是不是） 2）MZ，M Z，：(n)|n|, nZ ：(n)|n|1,nZ （不是不是） （是是） ：(a)a0，aM 4）MP，M ，（，（P为数域）为数域）n nP ：(a)aE， （E为为n级单位矩阵）级单位矩阵）aP 5）M、M 为任意两个非空集合，为任意两个非空集合，a0是是M 中的一个中的一个固定元素固定元素. （是是）（是是）6）MM Px（P为数域）为数域） ：(f (x)f (x)， ( ) f xP x （是是）3）M ，M P，（P为数域）为数域） n nP：(A)|A|，n nAP （是是） 例例5M是一个集合，定义是一个集合，定义I

10、： I(a)a ，aM 即即 I 把把 M 上的元素映到它自身，上的元素映到它自身，I 是一个映射，是一个映射，例例6 任意一个在实数集任意一个在实数集R上的函数上的函数 yf(x) 都是实数集都是实数集R到自身的映射，即，函数可以看成是到自身的映射，即，函数可以看成是称称 I 为为 M 上的上的恒等映射恒等映射或或单位映射单位映射 映射的一个特殊情形映射的一个特殊情形 设映射设映射 ， :,:MMMM乘积乘积 定义为：定义为： (a)(a) aM 即相继施行即相继施行和和的结果，的结果， 是是 M 到到 M 的一个的一个 映射映射 对于任意映射对于任意映射 ，有，有 :MM MMII 设映射

11、设映射:,:,:MMMMMM， 有有()(). 设映射设映射:MM 1）若）若ImM，即对于任意，即对于任意yM ，均存在，均存在（或称（或称 为为映上的映上的）；）； 2）若）若M中不同元素的象也不同，即中不同元素的象也不同，即 121212,()()a aMaaaa 若若则则（或（或121212,()(),a aMaaaa 若若），）， 则称则称是是M到到M 的一个的一个单射单射（或称（或称为为11的的）；）； 3）若）若既是单射，又是满射，则称既是单射，又是满射，则称为为双射双射,xM ，使，使 ，则称，则称是是M到到M 的一个的一个满射满射( )yx （或称（或称为为 11对应对应）

12、例例7判断下列映射的性质判断下列映射的性质1）Ma，b，c、M 1,2，3：(a)1，(b)1，(c)2 （既不单射，既不单射，也不是满射也不是满射） ：(a)3，(b)2，(c)12）M=Z，M Z，：(n)|n|1,nZ （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） 3）Mn nP，M P，（，（P为数域）为数域） ：(A)|A|，n nAP （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） （双射双射）4）MP，M ,n nP P为数域为数域, E为为n级单位矩阵级单位矩阵：(a)aE，aP （是单射，但不是满射是单射，但不是满射） ：(a)a0，aM （既不单射，也不是满射既不单射，也不是满射）

13、6）MM Px，P为数域为数域：(f (x)f (x)，( ) f xP x （是满射，但不是单射是满射，但不是单射） 7）M是一个集合，定义是一个集合，定义I：I(a)a，aM 8）M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ （双射双射） （双射双射） 5）M、M 为任意非空集合，为固定元素为任意非空集合，为固定元素 0aM 对于有限集来说，两集合之间存在对于有限集来说，两集合之间存在11对应对应的充要条的充要条 件是它们所含元素的个数相同；件是它们所含元素的个数相同； 对于有限集对于有限集A及其子集及其子集B，若，若BA（即（即B为为A的真子集），则的真子集），则 A、B之间不可能存在之间不可能

14、存在11对应；对应；但是对于无限集未必如此但是对于无限集未必如此.如例如例7中的中的8），），是是11对应，但对应，但2Z是是Z的真子集的真子集 M=Z，M 2Z，：(n)2n,nZ ：设映射：设映射:,MM 若有映射若有映射:,MM 使得使得,MMII 则称则称为为可逆映射可逆映射，为为的的逆映射逆映射， 若若为可逆映射，则为可逆映射，则1也为可逆映射，且也为可逆映射，且 （1）11().aa 则则有有:MM 为可逆映射，为可逆映射，aM ，若，若( ),aa 的逆映射是由的逆映射是由唯一确定的唯一确定的记作记作1 为可逆映射的充要条件是为可逆映射的充要条件是为为11对应对应证：证：若映射若

15、映射:MM为为11对应，则对对应，则对yM 均存在唯一的均存在唯一的xM，使，使(x)y，作对应作对应 :MM( ),( )yxxy这里( )( ( )( )( ),MxxyxIx 则即即MI ； ( )( ( )( )( ),MyyxyIy 则即即MI 为可逆映射为可逆映射 则则是一个是一个M 到到M的映射的映射, 且对且对 ,( ),xMxy 若,( ),yMxx 若若y=有y=有 (y)=(y)=11,( )( )yMyyy 对对有有即即, 1( ),( ).xyMyx 使使所以所以为满射为满射. 其次，对其次，对1212,()()x xMxx若，则，则 11111112( )( )(

16、( )( ( )MxIxxxx 即即为单射为单射.所以所以为为11对应对应1222()()MxIxx 反之，设反之，设 为可逆映射，则为可逆映射，则 : MM 1. 找一个找一个R到到R的的11对应对应，规定，规定解：解：xR :2xx则则 是是R到到R的一个映射的一个映射.若若22xy，则，则21,xyxy， 是单射是单射 aR 又对，存在，存在2logaxR，使，使2log2(log )2aaa故故 是是11对应对应 是满射是满射 2、令、令1:,:,fxxg xxRx，问：，问：1）g 是不是是不是R到到R的双射？的双射？g 是不是是不是 f 的逆映射？的逆映射？ 2）g是不是可逆映射？

17、若是的话，求其逆是不是可逆映射？若是的话，求其逆 解：解：1）g是是R到自身的双射到自身的双射 ，若，若 ，则，则 ，g是单射是单射 , x yR11xyxy并且并且 ，即，即g是满射是满射 11,( )xRRgxxx 有使又又 ， 11( )( ( )( )fg xf g xfxx ， g不是不是 f 的逆映射的逆映射RfgI事实上，事实上， 1ff1gg2）g是可逆映射是可逆映射1111()hgffg :,:fABg BChgf,令3、设映射、设映射，证明：，证明：1）如果）如果 h 是单射，那么是单射，那么 f 也是单射；也是单射；2）如果）如果 h 是满射，那么是满射，那么 g 也是满射；也是满射；3）如果）如果 f、g 都是双射，那么都是双射，那么 h 也是双射，并且也是双射，并且12()(),f af a但1112()()( ()( ()h agf ag f ag f a这与这与h是单射矛盾，是单射矛盾， f 是单射是单射1212,a aAaa且证：证：1）若）若 f 不是单射，则存在不是单射，则存在22()()gf ah a 于是有于是有( )( )( ( )ch agf ag f a,( )cCaAh ac 使2） h 是满射，是满射，即，即( )f aB， g 是满射是满射又又3） ，因为，因为 g