2019年全国卷3理科数学试题及参考答案

1、绝密 启封并使用完毕前试题类型：新课标2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第 I 卷（选择题 ）和第 II 卷（非选择题 ）两部分，共 24 题，共 150 分，共 4页。考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5. 保持卡

2、面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。. 选择题：本大题共第I卷12小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（1） 设集合 Sx|(x2)(x 3) 0 ,T x|x0 ，则 S T=A.2, 3B.,23,C. 3,D. 0, 23,答案】解析】易得,23,0, 23,，选 D考点】解一元二次不等式、交集(2)若z1 2i，则4izz 1A. 1 B.C. i D. i答案】 C解析】易知z12i ，故 zz 14，4ii ，选 Czz 1考点】共轭复数、复数运算(3)已知向量 BA 12, 23 ，BC=( 23 ，21)，则 ABCA

3、. 30 B. 45 C. 60 答案】 A解析】法cos ABC231 1 2ABC 30法二：可以 B 点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知 ABx 60 , CBx 30 ,ABC 30考点】向量夹角的坐标运算(4) 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15 C ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 C .下面叙述不正确的是A. 各月的平均最低气温都在 0 C 以上B. 七月的平均温差比一月的平均温差大C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同D. 平均最高气温高于 20 C的月份有 5

4、个答案】 D解析】从图像中可以看出平均最高气温高于 20 C 的月份有七月、八月，六月为 20 C左右，故最多 3 个【考点】统计图的识别32(5)若 tan4，则 cos22sin 2644816A.B.C. 1 D.252525答案】A解析】2 cos22sin 2 cos4sin cos1 4tan642 2 2 cos sin 1 tan 25考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式421(6) 已知 a 23, b33 , c253，则A. b a cB. abcC. b c a D. c a b【答案】 A42212【解析】 a 2343, b33, c253 53 ，故 c

5、a b【考点】指数运算、幂函数性质(7) 执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的 n=A. 3 B. 4 C. 5 D. 6答案】 B解析】列表如下a426-2426-24b64646s06101620n01234考点】程序框图1(8)在 ABC 中， B 4 ， BC边上的高等于 3BC ,则cosA43A. 3 10 B. 10 C. 10 D.3 1010101010答案】 C解析】 如图所示， 可设 BD ADAC 5 ，由余弦定理知，cosA1，则 AB2 ，DC2，2592 2 51010考点】解三角形(9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面

6、体的三视图，则该多面体的表面积为A. 18 36 5 B. 54 18 5 C. 90 D. 81【答案】 B【解析】 由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的半，各个侧面平行四边形，故表面积为2 3 3 2 3 6 2 3 9 36 54 18 5【考点】三视图、多面体的表面积 (10)在封闭的直三棱柱 ABCA1B1C1内有一个体积为 V的球.若ABBC，AB=6，BC=8，AA1=3，则 V的最 大值是4 B. 92 C. 6 D. 33223答案】解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最10大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面， 如图所示， 则由切线长定理可

7、知，内接圆的半径为2，又 AA1 3 2 2 ，所以内接球的半径为即 V 的最大值为考点】内接球半径的求法(11) 已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C：b 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P为C上一点，且 PFx轴.过点A的直线 l与线段 PF交于点 M，与y轴交于点 E. 若直线 BM经过OE的中点，则C 的离心率为1123A.B.C.D.3234【答案】A【解析】易得ONOBaMFMFAF a cMFBFacOE2ONAO a1aacac2acaacPEMNO考点】椭圆的性质、相似 (12)定义“规范 01数列”an如下： an共有 2m项，其中 m项为 0，

8、m项为 1，且对任意 k2m，a1，a2， ak中 0 的个数不少于 1的个数，若 m=4，则不同的 “规范 01数列”共有( )A18 个B16个C14个D12 个答案】 C解析】0111101110110111010011101011110100 11101 010111010 11101 010 11101 01【考点】数列、树状图第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分 .第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题第 (24)题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本大题共 3小题，每小题 5 分x(13)设 x，y 满足约束条件 xxy2y2y1002

9、，则 z x0y 的最大值为(15)已知 f(x)为偶函数， 当 x 0时，f (x) ln x3x ，则曲线 y f x 在点 1, 3 处的切线方程是3答案】 答案】, y sinx 3cosx 2sin x 3 ，故可前者的图像可由后者向 2解析】三条直线的交点分别为2,1,1, 1230, 1 ，代入目标函数可得 3, 32, 1，故最小值为 10考点】线性规划(14)函数y sinx 3cosx 的图像可由函数y sinx3cosx 的图像至少向右平移个单位长度得到 .解析】y sinx 3cosx 2sin2右平移 23个单位长度得到考点】三角恒等变换、图像平移答案】 2x y 1

10、 0解析】法f (x) 1 3 1 3 ， f 1 2 ， xxf12 ，故切线方程为 2x y 1 0法二：当 x 0 时， f xx ln x 3x ，1f x 1x 3, f 12，故切线方程为 2x y 1 0考点】奇偶性、导数、切线方程(16)已知直线 l ：mx y 3m 3 0 与圆 x22y2 12交于 A, B两点，过 A, B分别作 l的垂线与 x轴交于 C,D两点，若 AB 2 3 ，则 |CD | x答案】 3AB 2 3, OA 2 3, OF 3 ，即解析】如图所示，作 AE BD于 E ，作 OF AB于 F ，3m 3m2 1 3， m 直线 l 的倾斜角为 3

11、0CD AE 2 3 23 3考点】直线和圆、弦长公式 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤(17) ( 本小题满分 12 分)已知数列an 的前 n 项和 Sn=1+an，其中(1) 证明an 是等比数列，并求其通项公式；(2) 若 S53132，求 【答案】 (1)；(2)【解析】解： (1) Sn1 an,00an当 n 2 时，anSnSn 11an1an1anan 11 anan 1 ，0, an 0,1 0, 即 1i1i1i1anan 11, n2，an是等比数列，公比n=1时， S1 1a1a1，a1ann12)S53132则 S5115311 32考点】等比数列

12、的证明、由Sn 求通项、等比数列的性质(18) ( 本小题满分 12 分)图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量 (单位：亿吨 )的折线图 .(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与 t的关系，请用相关系数加以说明；(2)建立 y 关于 t的回归方程 (系数精确到，预测 2016年我国生活垃圾无害化处理量 附注：参考数据：7 7 7 2yi 9.32， tiyi 40.17 ，(yi y)2 0.55， 7 .(ti t )(yi y)参考公式：i1rni 1n ，(ti t )2 (yi y)2 i 1 i 1回归方程 y a bt 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别

13、为：n(ti t )(yi y)i 1 n，a y bt(ti t )2答案】i1(1)见解析； (2) y 0.92 0.10t ，亿吨解析】(1) 由题意得1234567 t74，7yii171.3317(tii1r 7 7(ti t)2 (yi y)2i 1 i 1t )(yi y)ti yii1nty7(tii17t )2 (yi y)2 i140.17 7 4 1.33 0.9928 0.55因为 y 与 t 的相关系数近似为，说明y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合的关系(2)n(ti t)( yi y) i1n2(ti t )2i12.89280.103

14、a y bt 1.33 0.103 40.92所以 y关于 t 的线性回归方程为 y a bt 0.92 0.10t将 t 9 代入回归方程可得， y 1.82预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为亿吨考点】相关性分析、线性回归(19) ( 本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P-ABCD 中， PA底面 ABCD， ADBC，AB=AD=AC=3， PA=BC=4，M 为线段 AD 上一点， AM =2MD ， N 为 PC的中点 .(1) 证明 MN 平面 PAB；(2)求直线 AN与平面 PMN 所成角的正弦值 .答案】 (1) 见解析； (2) 8 5252解析】 (1) 由

15、已知得 AM 3AD 2，取 BP的中点 T，连接 AT,TN ，1由N为 PC中点知 TN / /BC ， TNBC 2. 3分2又 AD / / BC ，故TN平行且等于 AM ，四边形 AMNT为平行四边形， 于是 MN / /AT .因为AT 平面PAB ， MN 平面 PAB ，所以 MN/平面 PAB.6分(2) 取BC中点E ，连接AE ，则易知 AE AD，又 PA 面ABCD，故可以 A为坐标原点， 以AE为 x 轴，以 AD 为 y 轴，以 AP 为 z 轴建立空间直角坐标系，则A0,0,0、P 0,0,4 、C 5, 2, 0 、 N25,1,2M 0, 2, 00, 2

16、, 4 , PN N 25, 1,故平面 PMN 的法向量 n0, 2, 1cos AN, n 45 528525直线 AN 与平面 PMN 所成角的正弦值为 8 525考点】线面平行证明、线面角的计算(20) ( 本小题满分 12 分)已知抛物线 C： y2=2x的焦点为 F，平行于 x轴的两条直线 l1，l2分别交 C 于 A，B 两点，交 C的准线 于 P，Q 两点 .(1)若 F在线段 AB上，R是 PQ的中点，证明 ARFQ； (2)若PQF的面积是 ABF的面积的两倍，求 AB中点的轨迹方程 【答案】 (1) 见解析； (2) y2 x 1【解析】(1)法一：1由题设 F(2,0)

17、.设l1:y a,l2:y b，则 ab 0，且 22a2 b2 1 1 1 a bA(a2 ,a),B(b2 ,b),P( 21,a),Q( 21,b),R( 21,a2b).记过 A,B两点的直线为 l，则 l的方程为 2x (a b)y ab 0. 由于 F 在线段 AB 上，故 1 ab 0.记 AR 的斜率为k1，FQ 的斜率为 k2 ，则a b ab1abk1 2 2b k2 .1 1 a2 a2abaa所以 ARFQ.5 分法二：证明：连接 RF， PF ，由 AP=AF，BQ=BF 及 AP BQ，得 AFP +BFQ =90， PFQ =90，R是 PQ 的中点，RF=RP=

18、RQ， PAR FAR， PAR=FAR，PRA=FRA， BQF + BFQ =180 QBF=PAF=2PAR， FQB=PAR， PRA=PQF，ARFQ(2)设l与 x轴的交点为 D(x1,0)，则 S ABF 2 b a FD 2 b a x1 2 ,S PQF 2 . 由题设可得 12b a x1 12 a2b，所以 x1 0(舍去)，x1 1. 设满足条件的 AB的中点为 E(x,y) .当 AB 与 x 轴不垂直时，由 kAB kDE 可得 2 y (x 1).a b x 1a b 2而 2 y ，所以 y2 x 1(x 1).当 AB 与 x 轴垂直时， E 与 D 重合 .

19、所以，所求轨迹方程为 y2 x3分1. 12 分考点】抛物线、轨迹方程(21) ( 本小题满分 12 分)设函数 f x acos2x a 1 cosx 1 ，其中 a 0 ，记 fx的最大值为A.15(1) 求 f x ；(2)求A；(3)证明：2A.解析】(1)(2)见解析fx2asin2x a 1 sinx1时，| f (x)| |acos2x (a 1)(cos x 1)|a 2(a 1)3a 2 f (0)因此，3a2当01时，将 f (x) 变形为 f (x) 2acos2 x (a1)cos x 1 令 g(t)2at2(a1)t 1，则 A是| g(t) |在1,1上的最大值，

20、g( 1)a ， g(1)3a 2 ，且当14aa时，4ag(t) 取得极小值，1a 极小值为 g( )4a(a 1)28aa2 6a8a令114aa 1，4a解得 a舍去)， a当a 1 时，5g(t)在(1,1)内无极值点，| g( 1)| a ，|g(1)|2 3a，| g( 1)| |g(1)|，所以3a当a 1 时，由 g(1)g(1) 2(1 a)0 ，知 g( 1)g(1)g(14aa)4a1又|g(14aa)| | g( 1)|(1a)(1 7a) 0，8a所以 A1|g(14aa)|a2 6a 18a2 3a,02综上， A a 6a 18a3a152,a1(3) 由(1)得

21、|f (x)|2asin2x(a 1)sin x| 2a |a 1| .1当 0 a 时， | f (x)| 1 a2 4a 2(2 3a)2A.1a 1 3当 a 1时， A1，所以 | f (x)| 1 a 2A.58 8a 4当 a 1时， | f (x)| 3a 1 6a 4 2A，所以 | f (x)| 2A.【考点】导函数讨论单调性、不等式证明请考生在 22、23、24题中任选一题作答 ,作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑。如果 多做 ,则按所做的第一题计分。(22) ( 本小题满分 10 分)选修 4 1：几何证明选讲AB于 E，F两点。如图， O 中 AB

22、 的中点为 P，弦 PC ，PD 分别交(I)若 PFB=2PCD ，求 PCD 的大小；(II) 若 EC 的垂直平分线与OGCD。答案】见解析解析】(1)连结 PB,BC ，则BFDPBA BPD, PCDPCB BCD .因为 AP BP ，所以PBAPCB，又 BPDBCD ，所以 BFDPCD .又 PFD BFD 180 , PFB 2 PCD ，所以 3PCD 180 ， 因此PCD 60 .(2)因为 PCD BFD ，所以 PCD EFD 180 ，由此知 C,D,F,E 四点共圆，其圆心既在 CE的垂直平分线上，又在 DF 的垂直平分线上，故 G 就是过C,D,F,E 四点的圆的圆心，所以 G在CD的垂直平分线上，因此 OG CD.考点】几何证明选讲(23) ( 本小题满分 10 分)选修 4 4 ：坐标系与参数方程在直线坐标系 xoy 中，曲线 C1 的参数方程为x 3cosy sin( 为参数 ) 。以坐标原点