函数的连续性与间断点1PPT课件

1、一、函数的连续性1.函数的增量函数的增量.,),(,),()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 第1页/共26页注：增量可为正亦可为负 例1：设函数 2xy ，求当 1 . 0, 20 xx函数 y 的增量 时解 )()(00 xfxxfy 39. 029 . 122 第2页/共26页2.连续的定义连续的定义定义定义 1 1 设函数设函数)(xf在在),(0 xU内有

2、定义内有定义, ,. . ,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是0lim0 yx)()(lim00 xfxfxx 如果当自变量的增量如果当自变量的增量x 趋向于零时趋向于零时, ,对应的对应的 函数的增量函数的增量y 也趋向于零也趋向于零, ,即即0lim0 yx . . 或或 0)()(lim000 xfxxfx, ,那末就称函那末就称函 数数)(xf在点在点0 x连续连续, ,0 x称为称为)(xf的连续点的连续点. . 第3页/共26页:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当注意注意：函数在

3、某点的连续性与函数在该点的定义有关：函数在某点的连续性与函数在该点的定义有关处连续处连续在点在点0)(xxf第4页/共26页例例2 2.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 第5页/共26页例例 3)(xf是定义于是定义于,ba上的单调增加函数，上的单调增加函数，),(0bax 若若)(lim0 xfxx存在，存在，证证设设,)(lim0Axfxx 由于由于)(xf单调增加，单调增加， 则则当当0 xx 时，时

4、，),()(0 xfxf ),()(lim00 xfxfAxx 当当0 xx 时，时，),()(0 xfxf ),()(lim00 xfxfAxx 由此可见，由此可见，),(0 xfA 即即),()(lim00 xfxfxx 因此因此)(xf在在0 x连续连续.证明证明)(xf在在0 x连续连续.第6页/共26页3.单侧连续单侧连续;)(),()(,()(处处左左连连续续在在点点则则称称且且内内有有定定义义在在若若函函数数00000 xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()(,),)(处

5、右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数00000 xxfxfxfbxxf 第7页/共26页例例4 4.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf第8页/共26页4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续

6、或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间第9页/共26页例例5 5.),(cos内连续内连续在区间在区间函数函数证明证明 xy证证),( x任取任取xxxycos)cos( )2sin(2sin2xxx , 1)2sin( xx.2sin2xy 则则,0,时时当当对任意的对

7、任意的 ,sin 有有,2sin2xxy 故故. 0,0 yx时时当当.),(cos都是连续的都是连续的对任意对任意函数函数即即 xxy第10页/共26页注： 0)(lim0)(lim xfxfaxfaxf )(lim0)(lim第11页/共26页二、函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xxf;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一

8、个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf例如 xxf1)( x=0是它的间断点 第12页/共26页间断三情形：间断三情形：;)()1(0处没有定义处没有定义在点在点xxf;)(lim,)()2(00不存在不存在但但处有定义处有定义在在虽然虽然xfxxfxx;)(lim,)()3(00存在存在且且处有定义处有定义在在虽然虽然xfxxfxx)()(lim00 xfxfxx 但但第13页/共26页间断点分类：间断点分类：第第一一类类间间断断点点：.)()(),(,)(的第一类间断点的第一类间断点为为都存在，则称都存在，则称且且的间断点的间断点为为设点设点xfxxfx

9、fxfx000000 第第二二类类间间断断点点：断断点点第第一一类类间间断断点点以以外外的的间间.)()()(的跳跃间断点的跳跃间断点为为，则称，则称若若xfxxfxf00000 .)()()()()(的可去间断点的可去间断点为为则称则称不存在，不存在，或或但但若若xfxxfxfAAxfxf0000000 第14页/共26页例例5 5.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxfoxy.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 x0lim( )0 xf x 0lim( )1xf x 例例6 6.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函

10、数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 .1为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x解解, 1)1( fxfx2011 lim)(,)(201 f同同理理2)(lim1 xfx),1(f 2 第15页/共26页注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.如例如例6中中, 2)1( f令令.1, 1,1, 10,2)(处连续处连续在在则则 xxxxxxfoxy112第16页/共26页例例7 7.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy,)(0

11、00 f,)( 00f.0为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间第17页/共26页例例8 8.01sin)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxf解解xy1sin ,0处没有定义处没有定义在在 x.1sinlim0不存在不存在且且xx.0为第二类间断点为第二类间断点 x.断点断点这种情况称为的振荡间这种情况称为的振荡间第18页/共26页 , 0, 1)(是无理数时是无理数时当当是有理数时是有理数时当当xxxDy狄利克雷函数狄利克雷函数在定义域在定义域R内每一点处都间断内每一点处都间断,且都是第二类间且都是第二类间断点断点.如如注意

12、注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第19页/共26页例例9 9.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af ),()()(00000fff ,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a要使函数在 x=0处连续，则必须 第20页/共26页例例10 10 讨论函数讨论函数1sin,0,( )0.,0,xxxf xxxex 在在处处连连续续解解00lim( )

13、lim()xxxf xe 1, 001lim( )lim(sin)xxf xxx 0,0, 不不存存在在,0,0(0)1,f )0()0()0(fff 要使要使0,1, 故故当当且且仅仅当当时时.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf0, 10, 第21页/共26页小结1.会判断间断点的类型会判断间断点的类型2.会由连续的条件讨论某些待定常数的取值会由连续的条件讨论某些待定常数的取值;作业A：习题19: 3(2, 4), 4, 5, 6 作业B：习题19: 3(2, 4), 5, 6 第22页/共26页思考题思考题 若若)(xf在在0 x连连续续，则则| )(|xf、)(2xf在在0 x是是否否连连续续？又又若若| )(|xf、)(2xf在在0 x连连续续，)(xf在在0 x是是否否连连续续？第23页/共26页思考题解答思考题解答)(xf在在0 x连续，连续，)()(lim00 xfx