分布函数PPT课件

1、 对于离散型随机变量，如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说 前一讲，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.离散型随机变量由它的概率分布唯一确定. 第1页/共19页一、分布函数的概念 为了对随机变量r.v（random variable）给出一种统一的描述方法，下面引进分布函数的概念.第2页/共19页1.分布函数的定义设 X 是一个 r.v，称)()(xXPxF)(x为 X 的分布函数. 记作 X F(x) 或 FX(x). 如果将X看作数轴上随机点的坐标,则分布函数F(x)的值就表示X落在区间(-, x的概率. |xxX 第3页/共19页对任意实数

2、 x1x2，随机点X落在区间（ x1 , x2 的概率为：P x1X x2 = P X x2 - P X x1 = F(x2)-F(x1) 因此，只要知道了随机变量X的分布函数， 它的统计特性就可以得到全面的描述.由定义， F(x) 是r.v X取值不大于 x 的概率.第4页/共19页重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 证明,bXaaXbX 因为因为, bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以).()(aFbFbXaP 故故第5页/共19页随机变量的概率问题可通过分布函数来表示)()(aFbFaXPbXPbXaP )(11cFcXPcXP )0(lim0

3、 aFaXPaXP)0()( aFaFaXPaXPaXP,bXaP ,bXaP bXaP 类似地，第6页/共19页 ( )iixxF xP Xxp x 分布函数分布律 iip xP Xx 2.离散型随机变量的分布函数离散型随机变量分布律与分布函数的关系 ( )().iiiixxxxF xP Xxp xP Xx第7页/共19页例1 抛掷均匀硬币, 令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求随机变量 X 的分布函数.解1 Xp0 Xp,21 0 1x,0时时当当 x0)(0)( PxXPxF第8页/共19页 0 1x,10时时当当 x)(xXPxF 0 XP;21 ,1时时当当 x)(xXPx

4、F 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得第9页/共19页例：已知 X 的分布律如下：X 1 2 3 4P 1/2 1/4 1/8 a答案：433)2(81)1( XPa求（1）a; （2）PX3.第10页/共19页注注 意意 点点 对离散随机变量的分布函数应注意： (1) F(x)是递增的阶梯函数; (2) 其间断点均为右连续的; (3) 其间断点即为X的可能取值点; (4) 其间断点的跳跃高度是对应的概率值.xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1第11页/共19页);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFx

5、F 证明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 3.分布函数的性质(单调不减性), 0)(lim)()3( xFFx; 1)(lim)( xFFx第12页/共19页,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo证明,越越来来越越小小时时当当 x,的的值值也也越越来来越越小小xXP 有有时时因因而而当当, x.),(,(,内必然落在时当而的值也会增大增大时当同样XxxXxXPx. 1lim)(lim xXPxFxx所以第13页/共19页).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一

6、分布函数处处右连续. 反过来,如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.v X 的分布函数. 也就是说，性质(1)-(4)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.第14页/共19页.,00, 00,)(,3的值求常数为常数其中函数为其分布在整个实轴上取值已知随机变量例BAxxBeAxFXx.,)(.)(11001 BABAFAF于于是是有有由由分分布布函函数数的的右右连连续续性性由由分分布布函函数数的的性性质质知知解解第15页/共19页例4 一个靶子是半径为2米的圆盘,设击中靶上任一同心圆盘上的点的概率与该圆盘的面积成正比,并设射击都能中靶,以X表示弹着点与圆心的距离.试求随机变量 X 的分布函数.解,0时时当当 x,是不可能事件是不可能事件xXP ,20时时当当 x.,02是常数是常数kkxxXP , 120 XP由由, 14 k得得.41 k即即.402xxXP 因而因而; 0)( xXPxF于是于是第16页/共19页于是)(xXPxF ,2时时当当 x故 X 的分布函数为 . 2, 1, 20,4, 0, 0)(2xxxxxF0 XP0 xXP