第7章 非正弦电路

1、 第第7 7章章 非正弦周期电流电路非正弦周期电流电路目 录7-1 非正弦周期量7-2 非正弦周期信号的谐波分析7-3非正弦周期波的有效值、平均值、功率7-3 非正弦周期波的有效值、平均值、功率概述：概述： 实际工程中我们还经常会遇到非正弦信号。例实际工程中我们还经常会遇到非正弦信号。例如：通信技术中，由语言、音乐、图象等转换过如：通信技术中，由语言、音乐、图象等转换过来的信号，自动控制以及电子计算机、数字通信来的信号，自动控制以及电子计算机、数字通信中大量使用的脉冲信号，都是非正弦信号。中大量使用的脉冲信号，都是非正弦信号。 教学内容教学内容 非正弦周期信号的基本概念、非正弦信号产生原因、非

2、正弦波的合成与分解、谐波的概念及非正弦周期波的有效值、平均值。 教学要求教学要求 1.掌握非正弦波的基本概念，了解非正弦波产生的原因。 2.理解非正弦波的合成与非正弦周期函数分解为傅立叶级数的公式和方法谐波分析法。 3.能熟练应用非正弦周期信号的有效值和平均功率的公式进行计算。教学重点和难点教学重点和难点 重点：重点：有效值和平均功率的计算。 难点：难点：谐波分析法。 7-1 非正弦周期量 一、常见非正弦信号 (a)方波(b)尖脉冲(c)锯齿波(d)半波整流(e)脉冲(f)单个方波(g)单个尖脉冲图7-1 非正弦信号 二、产生原因二、产生原因1.1.电源电压为非正弦电压电源电压为非正弦电压脉冲

3、信号发生器产生矩形脉冲电压。放大电路中，电源提供的是直流电压，输入信号是正弦电压，合成一个非正弦电压。 +VCCus2.2.电路中存在非线性元件电路中存在非线性元件铁心线圈接通正弦电压时，线圈中的电流也是非正弦的。 利用二极管的单向导电性，进行半波整流。7-2 7-2 非正弦周期信号的谐波分析非正弦周期信号的谐波分析 一、非正弦波的合成0 0uu3u1tuu0 0u1tuu5t0 0uu3u1u图7-4 方波的合成二、非正弦波的分解 kTtftf,k21任一周期函数，若满足狄里赫利条件，都可以展开为一个收敛级数，即)sin()(10kkmktkAAtf)sin(11tAm基波或一次谐波)sin

4、(kkmtkAk次谐波)2sin(22tAm二次谐波非正弦周期波直流分量恒定分量零次谐波tkbtkaatfkkkksincos2)(110直流分量余弦项正弦项 2020200)()sin()(1)()cos()(1)()(21tdtktfbtdtktfatdtfakk 对满足狄里赫利条件的非正弦周期函数，应用下式对满足狄里赫利条件的非正弦周期函数，应用下式求出求出a0、ak、bk便可得到原函数便可得到原函数f（t）的展开式。的展开式。 将一个非正弦周期函数分解为直流分量和无穷多个频率不同的谐波分量之和，称为谐波分析。 谐波分析有两种方法：谐波分析有两种方法： 计算法计算法 应用公式或来进行计算

5、 查表法查表法 直接对照其波形查出展开式 (表7-1列出了电气电子工程中常见的几种典型信号的傅立叶级数展开式)常见信号的傅立叶级数展开式常见信号的傅立叶级数展开式 见教材见教材 P169P169表表7-1 7-1 三、周期信号的频谱三、周期信号的频谱, 4 , 3 , 2 , 1sin13sin312sin21sin2)(ktkktttAAtfmm锯齿波TmI)(tft时域周期性函数时域周期性函数 2 3 4 5k02mImI2mI3mI4mI5mI锯齿波的频谱图 频域离散谱线频域离散谱线四、非正弦波的对称性四、非正弦波的对称性 1.1.奇函数奇函数 f（t）= -f（-t），原点对称，其展开

6、式不包含直不包含直流分量和余弦分量。流分量和余弦分量。tkaatfkkcos2)(10tkbtfkksin)(12.2.偶函数偶函数 f（t）=f（-t），纵轴对称，其展开式不包含正不包含正弦分量。弦分量。,.)5 , 3 , 1()sincos()(1ktkbtkatfkkk2Tt 3.3.奇谐波函数奇谐波函数 f（t）=-f 。平移f（t）波形的后半波半个周期后，与原函数波形对称于横轴，其展开式不含直不含直流分量和偶次谐波分量。流分量和偶次谐波分量。 ,.)6 , 4 , 2()sincos(2)(20ktkbtkaatfkkk2Tt4.4.偶谐波函数偶谐波函数 f（t）=f 。平移f（t

7、）波形的后半波半个周期后，与原函数波形完全重合。其展开式不不含奇次谐波分量。含奇次谐波分量。1.因为傅立叶级数收敛，所以kAkm，k，Akm0，工程上根据精度要求，取有限项进行计算，一般取35项。2A0为f(t)在一个周期T内的平均值，所以在一个周期内正面积=负面积时，A0=0，反之A00。 说明：3.非正弦周期信号的函数奇偶性不仅与该函数的波形有关还与波形计时起点（坐标系、原点）的选择有关。例例7-1 7-1 由波形的对称性特点判断图7-7中各波形的傅立叶级数展开式中不存在的项，并写出各波形的傅立叶级数展开式。 f(t)t02T2TTf(t)0t2TTf(t)0t2T2TTf(t)0t2T（

8、a） （b） （c） （d） 非正弦周期信号的波形 （a）图的周期波波形与纵轴对称，为偶函数，它的展开式不包含正弦分量。偶函数的展开式为 解解: :tkaatfkkcos2)(10（b）图的周期波波形特点是：将函数f（t）波形中的后半个周期波形平移半个周期后，负半波恰好是正半波的镜像，为奇谐波函数。它的展开式不包含直流分量和偶次谐波分量。奇谐波函数的展开式为 ,.)5 , 3 , 1()sincos()(1ktkbtkatfkkktkbtfkksin)(1（c）图的周期波波形与原点对称，为奇函数，它的展开式不包含直流分量和余弦分量。奇函数的展开式为（d）图的周期波波形特点是：将函数f（t）波形

9、中的后半个周期波形平移半个周期后，与原函数波形完全重合，为偶谐波函数。它的展开式不包含奇次谐波分量。偶谐波函数的展开式为,.)6 , 4 , 2()sincos(2)(20ktkbtkaatfkkk7-3 非正弦周期波的有效值、平均值和功率 一、有效值 定义 dttiTIT201电流的傅立叶展开式 )sin(10kkmktkIIidttkIITITkkkm2010sin1上式根号内的积分展开，得四项： 200201IdtITT（1） 1221022121sin1kkkmkTkkmkIIdttkIT（2）0sin21010dttkIITTkkmk（3）0sinsin21011 dttqtkIIT

10、qTkkqqmkm（4）（kq）推导出电流的有效值有效值为 .22222120222120IIIIIIImm 非正弦周期电流的有效值等于各次非正弦周期电流的有效值等于各次谐波分量有效值平方和的平方根值谐波分量有效值平方和的平方根值 同理，电压和电动势的有效值电压和电动势的有效值分别为222120UUUU222120EEEE 例例7-27-2 求非正弦周期电压V)51942cos(6 .61)30314sin(7 .70100ttu的有效值。解解: : 因为222120UUUU所以V120V26 .6127 .701002U二、平均值二、平均值TavdtiTI0|1定义 同理 TavdtuTU0

11、|1TavdteTE0|1若)(sin10kkkmtkIIi则其平均值为：则其平均值为：正弦量的平均值为正弦量的平均值为000|1IdtiTITav直流分量直流分量例例7-3 7-3 求函数u（t）= 的平均值。TtTVTtV404012TavdtuTU0|1 V301121440TTTavdtTdtTU解解: :因为所以三、平均功率三、平均功率定义TpdtTP01iup)sin()(10ukkkmtkUUtu)sin()(10ikkkmtkIIti因为将u、 i和p代入平均功率定义式，得下列五项：000001IUdtIUTT（1）kkkmkmikTukkmkmkIUdttktkIUT 101

12、cos21sinsin1kkkkIU1cos（5）0sin1010dttkIUTTikkmk（2）0sin1010dttkUITTukkmk（3）0sinsin1011 dttqtkIUTiqTukqmkmkq（4）（kq）得kkkkIUIUP100cos22211100coscosIUIUIUP= P0+ P1 +P2 + 视在功率视在功率.222120222120IIIUUUUIS平均功率平均功率结论：结论：平均功率平均功率= =直流分量的功率各次谐波的平均功率直流分量的功率各次谐波的平均功率视在功率视在功率= =非正弦电压有效值非正弦电压有效值非正弦电流有效值非正弦电流有效值 例例7-4

13、 7-4 某非正弦电路的电压和电流V)05sin(216)303sin(230)50sin(24060tttu试求该电路吸收的功率。55533311100coscoscosIUIUIUIUP V)455sin(28)603sin(215)10sin(22030ttti解解: :应用公式所以P =6030+4020cos60+3015 cos（-30） +168cos（45） =（1800+400+389.7+90.5）W =2680.2W小结小结1. 产生非正弦波周期波的两种原因 电源电压为非正弦电压； 电路中存在非线性元件。2.非正弦周期信号（满足狄里赫利条件）可以分解为傅立叶级数谐波分析。

14、3.非正弦周期函数分解为傅立叶级数时，利用波形的对称性可使计算简化。4.非正弦周期波的 有效值 平均值 功率222120IIII0IIav22211100coscosIUIUIUP第18教学单元7-4 非正弦周期电压作用下的线性电路 *7-5 滤波器 教学内容教学内容 非正弦周期电流电路的计算方法和滤波器的 工作原理。 教学要求教学要求 1.熟练掌握非正弦周期电流电路的计算方法。 2.理解滤波器的工作原理。教学重点和难点教学重点和难点 重点：重点：非正弦周期电流电路的计算方法。 难点：难点：含串联谐振和并联谐振的非正弦周期电流电路的计算。+ +u u(t)(t)- -线线性性无无源源二二端端网

15、网络络i i+ +U U0 0- -+ +u u1 1- -+ +u u2 2- -+ +u u3 3- -线线性性无无源源二二端端网网络络i iI I0 0+ +U U0 0- -线线 性性无无 源源网网 络络+ +u u1 1- -i i1 1线线 性性无无 源源网网 络络i i2 2+ +u u2 2- -线线 性性无无 源源网网 络络i i3 3+ +u u3 3- -线线 性性无无 源源网网 络络分析思路：分析思路：7-4 非正弦周期电压作用下的线性电路 图7-8 计算线性非正弦电路的基本原理分析计算步骤：(1) 给出展开式u=U0+ u1+ u2+ u3+，具体计算时，一般取谐波3

16、5项；(2) 分别计算U0、 u1、 u2、 u3、单独作用于电路时的谐波阻抗Zk。注意频率对元件电抗的影响，XLk=kL，XCk=1/kC 。对直流，电感相当于短路；电容相当于开路。(3) 算出电流I0、 i1、 i2、 i3、，叠加I0+ i1+ i2+ i3+得总电流i。 对于非正弦周期信号作用下的线性电路，其分析和计算方法的理论基础是傅立叶级数傅立叶级数和叠加原理叠加原理。例例7-5 7-5 某电压u=40+180sint +60sin（3t+ 45）V接于R-L-C串联电路，已知：R=10，L=0.05H，C=50F，=314rad/s。试求电路中的电流i。解解: :i+u(t)-+

17、U0-+u1-+u3-RLC（1）直流分量U0 作用，电容隔直所以，I0 =0。 求U0、 u1、 u3、单独作用于电路时的谐波阻抗Zk，算出电流I0、 i1、i3。 （2）基波u1=180sin(t)V作用VUm01801基波阻抗基波阻抗2 .7849)1050314105.0314(10)1(61jCLjRZAZUImm2 .7867.32 .78490180111三次谐波阻抗9 .687 .27)10503143105.03143(10)313(63jCLjRZAAZUImm9 .2317.29 .687 .274560333 （3）三次谐波u3=60sin(3t +45)V作用，VUm

18、45603（4）由I0 、 i1 、 i3 叠加求得总电流。 I0 =0AAIm2 .7867.31 i1=3.67sin(t+78.2)AAIm9 .2317.23i3=2.17sin(3t-23.9)A得得 i= 0+3.67sin(t+78.2)+ 2.17sin(3t-23.9)A注意：注意： 电路的阻抗与频率有关。电路的阻抗与频率有关。k k次谐波时次谐波时 最后结果只能是瞬时值迭加，不同频率正弦量不最后结果只能是瞬时值迭加，不同频率正弦量不能用相量相加。能用相量相加。CkXCk1LKXLk滤波器的作用：让某些频率的分量通过而抑制另一些频率的分量的电路称为 。1CLX,X如：串联谐振

19、(Z最小），并联谐振（Z最大）* *7.5 7.5 滤波器滤波器)(fZ 电路原理：利用阻抗的频率特性实现滤波。滤波器的有关概念滤波器的有关概念: :（1 1）频带）频带上下两个频率之间的频率段。上下两个频率之间的频率段。（2 2）通带）通带让信号中的有用成分顺利通过的频带。让信号中的有用成分顺利通过的频带。（3 3）阻带）阻带阻止信号中的无用成分和干扰成分。阻止信号中的无用成分和干扰成分。（4 4）截止频率）截止频率通带和阻带的交界点频率。用通带和阻带的交界点频率。用fC表表示。示。理想的滤波器应具有以下特性：理想的滤波器应具有以下特性：（1 1）让有用信号顺利通过而无任何损耗和失真。）让有

20、用信号顺利通过而无任何损耗和失真。（2 2）将无用信号和干扰完全滤除。）将无用信号和干扰完全滤除。 一、低通滤波器滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。滤掉输入信号的高频成分，通过低频成分。当当f 很低时，很低时，L短路，短路，C开路，开路，uo= ui，信号顺利通过。，信号顺利通过。当频率当频率f 时，时， L开路，开路， C短路，短路，uo= 0，信号被截止。，信号被截止。以以fC为界为界 对高频感抗大、容抗小；对高频感抗大、容抗小； 对低频感抗小、容抗大。其频率特性如图。对低频感抗小、容抗大。其频率特性如图。 OUiULCL1 Cf21f0频率特性1CLX,X二、高通滤波器滤掉输入信号的低频成分，通过高频成分。OUiUCCLCLLOUiU当当f 很高时，很高时， C 短路，短路， L 开路开路 uo= ui，信号顺利通过。，信号顺利通过。当频率当频率f