几何证明选讲高考题汇编新课标

1、i几何证明选讲高考题汇编1(2009新课标全国卷) 如图，已知abc中的两条角平分线和相交于，b=60，在上，且。（i）证明：四点共圆；（ii）证明：ce平分def。2.(2010新课标全国卷) 如图，已知圆上的 弧ac和 弧bd长度相等，过c点的圆的切线与ba的延长线交于e点，证明：（i）acebcd；（ii）bc2be×cd.3.(2011新课标全国卷)如图，d，e分别为的边ab，ac上的点，且不与的顶点重合已知ae的长为m，ac的长为n，ad，ab的长是关于x的方程的两个根（i）证明：c，b，d，e四点共圆（ii）若，且求c，b，d，e所在圆的半径4.(2012新课标全国卷)如

2、图，d，e分别为abc边ab，ac的中点，直线de交abc的外接圆于f，g两点，若cf/ab.证明： ()cd=bc； ()bcdgbd5.(2013新课标全国卷)已知如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于点。（）证明：；（）设圆的半径为，延长交于点，求外接圆的半径。6.(2013新课标全国卷) 如图，cd为abc外接圆的切线，ab的延长线交直线cd于点d，e，f分别为弦ab与弦ac上的点，且bc·aedc·af，b，e，f，c四点共圆（）证明：ca是abc外接圆的直径；（）若dbbeea，求过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的

3、比值7.（2013辽宁高考）如图，为的直径，直线与相切于, 垂直于，垂直于，垂直于，连接.证明： ;8.（2013江苏高考）如图,ab和bc分别与圆o相切于点d,c,ac经过圆心o,且bc=2oc.求证:ac=2ad.几何证明选讲高考题汇编参考答案1解：（）在abc中，因为b=60°，所以bac+bca=120°.因为ad,ce是角平分线，所以hac+hca=60°，故ahc=120于是ehd=ahc=120°.因为ebd+ehd=180°，所以b,d,h,e四点共圆。（）连结bh，则bh为的平分线，得30°由（）知b，d，h，e四点

4、共圆，所以30°又60°，由已知可得，可得30° 所以ce平分2. 解: （）因为弧ab,cd长度相等，所以.又因为与圆相切于点，故所以. 5分（）因为,所以,故. 即 . 3解:（i）连接de，根据题意在ade和acb中， ad×ab=mn=ae×ac， 即.又dae=cab，从而adeacb 因此ade=acb 所以c，b，d，e四点共圆。（）m=4， n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12. 故 ad=2，ab=12. 取ce的中点g，db的中点f，分别过g，f作ac，ab的垂线，两垂线相交于h点，连接dh.因为

5、c，b，d，e四点共圆，所以c，b，d，e四点所在圆的圆心为h，半径为dh. 由于a=900，故ghab， hfac. hf=ag=5，df= (12-2)=5.故c，b，d，e四点所在圆的半径为54解5. 解: (1)证明：连结de，交bc于点g.由弦切角定理得，abebce.而abecbe，故cbebce，bece.又因为dbbe，所以de为直径，dce90°，由勾股定理可得dbdc.(2)解：由(1)知，cdebde，dbdc，故dg是bc的中垂线，所以bg.设de的中点为o，连结bo，则bog60°.从而abebcecbe30°，所以cfbf，故rtbcf

6、外接圆的半径等于.6.解：(1)因为cd为abc外接圆的切线，所以dcba.由题设知，故cdbaef，所以dbcefa.因为b，e，f，c四点共圆，所以cfedbc，故efacfe90°.所以cba90°，因此ca是abc外接圆的直径(2)连结ce，因为cbe90°，所以过b，e，f，c四点的圆的直径为ce，由dbbe，有cedc，又bc2db·ba2db2，所以ca24db2bc26db2.而dc2db·da3db2，故过b，e，f，c四点的圆的面积与abc外接圆面积的比值为.7解由直线与相切于,得由为的直径，得，从而又垂直于，得，从而由垂直

7、于，得又垂直于，为公共边，所以，所以同理可证，所以又在中, ,所以综上，8证明：连结od.因为ab和bc分别与圆o相切于点d,c,所以ado=acb=90°.又因为a=a,所以rtadortacb.所以,又bc=2oc=2od,故ac=2ad.几何证明选讲-知识点总结1、平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。推理1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理2、平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。推论：平行

8、于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。3、相似三角形的判定：定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）。由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形：4、相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。5、预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与三角形相似。6、判定

9、定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。7、判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。8、判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。9、引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。10、定理：（1）如果两个

10、直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。11、定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。12、相似三角形的性质：（1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比；（3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。13、直角三角形的射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。1

11、4、圆周定理圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理16、定理1：圆的内接四边形的对角互补。17、定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。18、圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理。19、切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。20、切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质21、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段