一元二次方程压轴题

1、一元二次方程21（北京模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x2pxq10 有一个实数根为 2（1）用含 p 的代数式表示 q；2（2）求证：抛物线 y1x2pxq 与 x 轴有两个交点；22（3）设抛物线 y1x2pxq的顶点为 M，与 y 轴的交点为 E，抛物线 y2x2pxq1的 顶点为 N，与 y 轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于 2，求 p 的值222设关于 x的方程 x25xm210 的两个实数根分别为 、，试确定实数 m的取值范围， 使| | | 6成立23（湖南怀化）已知 x1，x2是一元二次方程 （ a6）x22axa0的两个实数根（1）是否存在实数 a，使 x1

2、x1x24x2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说 明理由；（2）求使 （ x1 1）（ x21） 为负整数的实数 a 的整数值2 4（江苏模拟）已知关于 x 的方程 x2（ ab1）xa0（b0）有两个实数根 x1、x2，且 x1x2（1）求证： x11 x21（2）若点 A（1，2），B（2，1），C（1，1），点 P（ x1， x2）在 ABC 的三条边上运动，5问是否存在这样的点 P，使 a b 4 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由5（福建模拟）已知方程组y24x有两个实数解y 2xbx x1x x2和y y1y y2且 x1x2 0， x1 x21）求

3、b 的取值范围；112）否存在实数 b，使得 x11 x12 1？若存在，求出 b的值；若不存在，请说明理由6（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足 abc0，abc8，求 c的取值范围x y 3a 1 7（四川某校自主招生）已知实数x、y 满足 2 2 2 ，求 xy的取值范围x y 4a 2a 22 2 2 8（福建某校自主招生）已知方程 （ ax1）2a2（1x2） （ a> 1）的两个实数根 x1、x2满足 x1 <x2，求证：1< x1< 0<x2<1（答案）21（北京模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x2pxq10 有一个实数根为 2

4、 （1）用含 p 的代数式表示 q；2（2）求证：抛物线 y1x2pxq 与 x 轴有两个交点；22（3）设抛物线 y1x2pxq的顶点为 M，与 y 轴的交点为 E，抛物线 y2x2pxq1的 顶点为 N，与 y 轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于 2，求 p 的值2解：（1）关于 x的一元二次方程 x2pxq10 有一个实数根为 222 2pq 10，整理得： q 2p52 2 2 2（2） p 4qp 4（ 2p5）p 8p20（ p4） 42无论 p 取任何实数，都有 （ p4） 202无论 p 取任何实数，都有 （ p4） 2 4>0，> 02抛物线 y1x

5、pxq 与 x 轴有两个交点22（3）抛物线 y1x2pxq与抛物线 y2x2pxq1 的对称轴相同， 都为直线 x p2 ，且开口大小相同，抛物线y2 x pxq 1 可由抛物线 y1 x2 px q 沿 y 轴方向向上平移一个单位得到 EFMN，EFMN1 四边形 FEMN 是平行四边形 由题意得 S四边形 FEMN EF·| 2| 2，即| 2| 2 p ± 4222（安徽某校自主招生）设关于x的方程 x 5xm 1 0的两个实数根分别为 、，试确定实数 m 的取值范围，使 | | | | 6 成立2 2 2 解： 524（ m21） 4m22122 不论 m 取何值

6、，方程 x2 5x m21 0 都有两个不相等的实根2 2 2 x 5xm 1 0， 5， 1m2 2 2| | | 6， 2| | 36，即（ ） 22| | 36 22252（1m2）2|1m2| 362 当 1m20，即1m1 时， 25 36成立 1m 122 当 1m2<0，即 m<1 或 m>1 时，得 254（ 1m2）36 解得 215 m 215 215 m< 1 或 1<m 215综合、得： 215 m 21523（湖南怀化）已知 x1，x2是一元二次方程 （ a6）x22axa0 的两个实数根 （1）是否存在实数 a，使 x1x1x24x2

7、成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说 明理由；（2）求使 （ x1 1）（ x21） 为负整数的实数 a 的整数值2 解：（1）x1，x2是一元二次方程 （ a6）x22axa0 的两个实数根a60a 6 2 即4a 4a（ a6）0a 0假设存在实数 a 使 x1 x1x2 4 x2 成立，则 4（ x1x2） x1x2 042aa6aaa6 0，得 a24a 24 满足 a 0 且 a 6存在实数 a24，使x1x1x24x2 成立2）（ x11）（x21）（ x1 x2） x1x212aa6 a6 1a6要 使（ x11）（ x21）为负整数，则只需 a为 7， 8， 9， 1

8、224（江苏模拟）已知关于 x 的方程 x2（ ab1）xa0（b0）有两个实数根 x1、x2，且x1x21）求证： x11 x212）若点 A（1，2），B（ 2 ，1），C（1，1），点 P（ x1， x2）在 ABC 的三条边上运动，5问是否存在这样的点 P，使 a b 4 ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由解：（ 1）由根与系数的关系得： x1x2ab 1，x1x2a ax1x2，b x1x2x1x2 1 b 0， x1 x2 x1x2 1 01 x1 x2x1x2 0（ 1 x1）（ 1 x2） 0 又 x1 x2， 1x10， 1x2 0即 x1 1， x2 1x1

9、1x22）x1x2ab1，ab 45 ，x1x2 94当点 P（ x1， x2）在 BC 边上运动时则 12 x11， x2 199x1 4 x2 451 54 >1故在 BC 边上不存在满足条件的点 P当点 P（ x1， x2）在 AC 边上运动时 则 x11， 1x22取 x2 54 ，则 x1x2 49 ，即 a b故在 AC 边上存在满足条件的点 P（1，5 ）4 当点 P（x1，x2）在 AB 边上运动时1则 2 x1 1，1 x2 2，易知 x2 2x19 3 3x1x2 4 ， x1 4 ， x2 25（福建模拟）已知方程组y 4x有两个实数解y2xbx x1x x2和y

10、y1y y2且 x1x2 0，x1 x2（1）求 b 的取值范围；11（2）否存在实数 b，使得 1？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由 x1 x22 2 2解：（ 1）由已知得 4x（ 2xb） ，整理得 4x （4b4）xb 022x1x2，> 0，即（4b4）216b2>0，解得 b< 2 2 2（ 3a1）2（ 4a22a2）22又 x1x2 0， b4 0， b 01综上所述， b< 12 且 b 04（ 1b）1得2b 1 1 x1 x2 （2）x1x21b，x1x2 4， x x 1x x 24x1 x2x1x22b24b4 0，解得 b 2&#

11、177; 2 2122 22（ 21）>2 ，b22 2不合题意，舍去b 22 26（成都某校自主招生）已知a，b，c为实数，且满足 abc0，abc8，求 c的取值范围8 解： ab c0， abc 8， a， b， c 都不为零，且 abc，abc a，b 是方程 x2cx 80 的两个实数根c28 c 4× 0 c当 c<0 时，c24× 8 0 恒成立c当 c>0 时，得 c332，c 23 4故 c 的取值范围是 c< 0 或 c 23 4x y 3a 1 7（四川某校自主招生）已知实数x、y 满足 2 2 2 ，求 xy的取值范围x y

12、4a 2a 22 2 2解： （xy）20， x2y22xy2 2 22（x y ）（xy）222（ 4a22a2） （3a1）22即 a 2a3 0，解得 1a 31 2 2 2xy 2（ xy） （x y ）12 2（5a 4a 1）5（a2）292 5 1029当 a 5 时， xy 有最小值 10 ；当 a 3 时有最大值 169 xy16102 2 28（福建某校自主招生）已知方程（ ax1）2a2（1x2） （ a> 1）的两个实数根 x1、x2满足 x1<x2，求证：1< x1< 0<x2 <1证明：将原方程整理，得 2a2x2 2ax1a20令 y2a2x22ax1a2，由于 a> 1，所以这是一条开口向上的抛物线 2当 x 0 时， y1a < 0，原方程有一个正根和一个负根又 x1< x2， x1<0< x2222又当 x1 时， y2a22a1a2（a1）2>0222当 x1时， y