微观经济学题库之信息经济学：5计算题

1、1考虑Spence的signal模型。市场上有高能力和低能力两类工人，高能力的工人的生产效率为2，低能力的为1。而且高能力的工人接收y年教育的成本为y/2，低能力的工人接收y年教育的成本为y。假设雇主使工人达到底限效用为零，雇主不能观察出能力大小，认为每个工人为高能力或低能力的概率相同为。如果受教育的程度可以观察，求信号的分离均衡和混合均衡。（北大2005研）解：由本题所给条件可知：高能力工人接受y年教育后，收益，成本，低能力工人接受y年教育后，收益，成本，高能力和低能力工人的利润函数分别为：当高工资和低工资工人不通过教育发出信号时，雇主支付平均工资：。出现分离均衡的条件是： 解不等式得：。因

2、此，信号的分离均衡为：，混合均衡可能为y0.5或y1，又当y1，低能力者退出，不可能出现混合均衡，故所能实现的混合均衡为：0y0.5。6.一种产品有两类生产者在生产。优质产品生产者生产的每件产品值14美元，劣质产品生产者生产的每件产品值8美元。顾客在购买时不能分辨优质产品和劣质产品，只有在购买后才能分辨。如果消费者买到优质产品的概率是p，则买到劣质产品的概率为1p。这样，产品对于消费者的价值就是14p8（1p）。两类生产者的单位产品生产成本都稳定在11.50美元，所有生产者都是竞争性的。（1）假定市场中只有优质产品生产者，均衡价格应是多少？（2）假定市场中只有劣质产品生产者，均衡价格将是多少？

3、（3）假定市场中存在同样多的两类生产者，均衡价格将是多少？（4）如果每个生产者能自主选择生产优质产品或劣质产品，前者单位成本为11.50美元，后者单位成本为11美元，则市场价格应是多少？解：（1）若市场中只有优质产品生产者，生产者之间的竞争会使价格降到生产成本，即11.50美元。（2）若市场中只有劣质产品生产者，消费者只愿为每件产品支付8美元，而每件成本为11.50美元，因此，一件也卖不出去，不存在均衡价格。（3）在这种情况下，竞争会把价格定在11.50美元，而对消费者来说，可获得的平均质量的产品至少要值11.50美元，即必须满足14p8（1p）11.50满足此不等式的p7/12，而市场中存在

4、同样多优劣产品时的p0.5，于是有：14×0.58×（10.5）=74=11。1111.50，因此，消费者不会购买产品，不存在均衡价格。（4）由于市场是完全竞争的，每个生产者都会认为自己不会左右市场价格，都只会按统一的市场价格出售产品，因此，为了增加盈利，都只想选择成本为11美元的劣质产品生产。市场上只有劣质品，而消费者对劣质品只愿支付8美元，因而不可能有任何成交量。优质品和劣质品的生产都等于零，信息不对称破坏了市场效率。11工人或者具有高能力（），或者具有低能力（）。一项高质量的教育（）能够提高工人们的生产率（）；高能力的人受了此项教育之后的生产率为：；低能力的人受了此项

5、教育之后的生产率为：。假定消费与教育质量无关，所以我们抽象掉学费。为了获得这项教育，低能力（）的人要承受的非货币的成本为；而对高能力（）的人来说，该成本为，。对工人的报酬是；而企业则获得：。如果企业不知道工人们的生产率。只有工人知道自己的生产率，企业则只有把受教育当作信号来辨别H或L。假定企业相信，只有型的工人才会选择的教育，而型的工人则只会选择的教育，那么，值应等于多少才合适？解：设高能力工人（H）的工资，低能力工人（L）的工资H型工人只选择的教育 实际只选L型工人只选择的教育 实际只选0 又因为企业要实现： 即 由由12一个消费者的初始收入为，如果发生事故，他会损失，设出现事故的概率为；不

6、发生事故的概率为（）。消费者在不发生事故时不会有损失。消费者是严格讨厌风险的。保险公司是风险中立者，它要求消费者在投保时付费为，但保证在发生事故时赔偿。（1）写出投保人的EU；写出保险公司的期望利润。（2）如果保险公司要选择与，来确保 应该满足投保人什么样的“约束”？（3）解由（2）列出的数学规则，证明最优赔偿金应满足：。解：（1）（2）投保人要满足约束：即（3） 令 由得 代入得又消费者严格讨厌风险 单调递减13一种产品有两类生产者在生产，优质产品生产者生产的每件产品值14美元，劣质产品生产者生产的每件产品值8美元。顾客在购买时不能分辨优质产品和劣质产品，只有在购买后才能分辨，如果消费者买到

7、优质产品的概率是p，则买到劣质产品的概率为1p。这样，产品对于消费者的价值就是14p8（1p）。两类生产者的单位产品生产成本都稳定在11.50美元，所有生产者都是竞争性的。（1）假定市场中只有优质产品生产者，均衡价格应是多少？（2）假定市场中只有劣质产品生产者，均衡价格将是多少？（3）假定市场中存在同样多的两类生产者，均衡价格将是多少？（4）如果每个生产者能选择生产优质产品或劣质产品，前者单位成本为11.50美元，后者单位成本为11美元，则市场价格应是多少？解：（1）若市场中只有优质产品生产者，生产者之间的竞争会使均衡价格降到生产成本，即11.5美元。（2）若市场中只有劣质产品生产者，消费者只

8、愿为每件产品支付8美元，而每件成本为11.50美元，因此，一件也卖不出去，不存在均衡价格。（3）在这种情况下，竞争会把价格定在11.50美元，而对消费者来说，可获得的平均质量的产品至少要值11.50美元，即必须满足：14p8（1p）11.50解得：p712而市场中存在同样多优质产品时的p0.5，于是有：14×0.58×（10.5）7411因为1111.50，因此，消费者不会购买产品，不存在均衡价格。（4）由于市场是完全竞争的，每个生产者都会认为自己不会左右市场价格，都只会按统一的市场价格出售产品，因此，为了增加赢利，都只想选择成本为11美元的劣质产品生产，市场上只有劣质品。

9、而消费者对劣质品只愿支付8美元，因而不可能有任何交易量，优质品和劣质品的生产都等于零，信息不对称破坏了市场效率。15假定某汽车制造厂生产某一特定型号的轿车。该种轿车的质量由高到低分为A、B、C、D四个等级，四种质量的轿车各占轿车总量的1/4。假定该种轿车的潜在消费者分为I、两种类型。类型I消费者人数是类型消费者人数的3倍。对于每一种质量的轿车，类型I的消费者所愿意支付的价格都高于类型消费者所愿意支付的价格。假定每一位消费者只购买一辆轿车。四种质量的轿车与两种类型的消费者愿意支付的价格如下表所示。轿车质量不同类型消费者愿意支付的价格（万元）类型I 类型A2018B1817C1516D1112假定

10、新车的价格是16万元，并假定消费者追求期望效用最大化，而且消费者收入的边际效用不变。消费者在购进新车后可以随时出售给他人。如果消费者购买新车后在三个月之内转售他人，我们仍视之为新车，而忽略三个月之内的折旧。（1）假定消费者在交易前只知道所交易的轿车的平均质量，只有在购进轿车后才知道所购进车的质量。请分析一下三个月内轿车的市场交易情况（包括购进新车后立即转手的交易）。什么样的轿车会成交，按照什么价格成交？（2）如果买者与卖者都知道每一辆二手车的质量，消费者的状况是否比问题（1）中所处的状况要好些？解：（1）一辆新车对于类型消费者的期望使用价值是16（万），对于类型的期望使用价值是15.75（万）

11、，由于新车价格是l6万，类型I消费者购新车，类型消费者不购新车。若有个类型的消费者，则有个类型的消费者。二手车的需求（类型消费者）与供给（类型I消费者）可以由表11.1与图11.7给出：表11.1价格供给所提供的车对于类型消费者的平均价值需求11<<121212<<1512015<<1814018<<2015020<P160 价格 20 18 15 12 11 1/4N 1/3N 1/2N 3/4N N 汽车数量图11.7 二手车的供给的级质量车以l2万价格进行交易。类型的所得为万元，而类型消费者仅仅支付他们打算为级质量车支出的最大数额。

12、需要注意的是这一问题的解存在多个其他特征。当级车以12万价格出售时，一辆新车对于类型I消费者的期望价值是16.25万元（20+18+15+12）÷4）。因此，类型I的消费者肯定要买新车。不过类型的消费者仍旧将新车评价为15.75万元，因为级车对于他们的使用价值是12万元。因此，以16万元的价格购买一部新车对于类型I的消费者事实上产生期望所得是2500元。如果卖一辆车，他们期望能够再进入这一新市场，他们将会以每辆车低于上表2500元的价格出售每一辆各种等级的车。不过，很容易发现，这仍旧产生12万元的价格，而在这一价格上的供给为辆等级的车。这一解不会随时期的变化而变化。三个月后，的类型I

13、消费者将重新进入该市场寻求新车。此外，两种类型的消费者将保有其拥有的汽车，直至该车辆对其不再有用。因此，他们会再进入市场。市场的这一动态特征表明该市场不会因时期变化而改变问题的解。（2）,。当消费者知道每辆车的质量时，级车与级车都是可交易的。假定，类型消费者认为两种质量的汽车是无差别的（类型消费者购买任一质量的车所获得的净所得都是1万元）。在这一价格水平，所提供的车的总量是，而会被购买。出售者没有积极性进一步削减车价，因为如果这样做，车辆价值会远远低于车辆对出售者的使用价值（按11与15的价格出售，新车对于类型I消费者的期望价值是16，因此，此时不存在进一步削价以进入新市场的积极性）。若任一等

14、级的车价提高（单独提价或同时提价），出售者的竞争将使价格降到，。这些是最终的均衡价。与（1）相比，类型消费者获得的剩余，类型I消费者损失，净所得为，不是所有消费者都受益。16阿克尔洛夫（Akerlof，1970）旧车市场的均衡解。假设某旧车市场有一辆能够正常使用的旧车，假设该旧车的真实价值为v，其真实价值均匀的分布于0与10 000之间。问买主如何给该旧车定价。解：买主如何给该旧车定价涉及到买主对该车的质量的期望值。而在决定该车的质量的期望值时候需要考虑卖者的背景。假设卖者分为两种：一种为因为某些原因不得不卖掉旧车的卖主，不管买者出多少钱，他们都必须把车卖掉，他们所占的比例为q；一种为希望通过

15、卖车获利的卖主，只有在p>v时候，他们才出售旧车，他们所占的比例为（1q），p为旧车的价格。在这种情况下，买者购得此车的概率为：q+（1q）Pr obvpq+（1q）Q（户）因为真实价值均匀的分布于0与10 000之间，所以，概率函数Probvp。 这样就可以估计旧车真实价值的期望值了。首先，对于q比例的卖主来说，旧车真实价值v均匀的分布于0到l0 000之间，旧车价值的期望值为5 000。然后，对于希望通过卖车获利的卖主，其旧车的价值必然是小于等于p的。由于旧车的价值是服从均匀分布的，所以，对于这部分卖主来说，旧车价值的期望值为：例如当买者出价为0，则Q（0）q，则Ev（0）5 000

16、。在出价为0的情况下，只有不得不卖车给买者的人出售其旧车，旧车的真实价值的期望值就是旧车真实价值的平均值5 000。这种情况下，买者有剩余：Ev（0）05 000。 如果买者出价10 000，那么Q（10 000）1，则：Ev（10 000）q×5 000+（1q）×5 000此时买者有负剩余，即亏了：Ev（10 000）10 0005 00010 0005 000那么买者该如何出价呢？理论上，买者应该满足pEv（P），因为出价低，买不到车；出价高，买者吃亏。在本题中，这样，买者的最优价格取决于买者对于市场上不得不卖掉旧车的卖家的比例的判断。如果q0，所有的卖家都是希望骗人

17、的，那么此时最优价格也为0，市场完全萎缩，与阿克尔洛夫的逆向选择的结果一致。如果买者判断q1，即没有骗人的卖家，最优解变成的形式，运用微积分的罗比塔法则，最后可以得到5 000，为旧车市场正常条件下的平均真实价值。17代理人对委托人的贡献为：ya+，N（0，） 其中：y为代理人对委托人的贡献；a为代理人的努力程度。委托人和代理人都是风险中立。代理人的努力成本函数为：C（a）m，m>0 （1）如果委托人与代理人签订一个线性合约s+by。代理人会采取怎样的努力程度，m和b的变化如何影响代理人的努力？ （2）现在假定代理人是风险回避型的，其效用函数为，证明在最优线性契约中，激励系数必满足。解：（1）代理人的问题 （2）问题为：（b）为激励系数为b时的最优的努力程度a；c（a）为努力程度为a时的成本。 委托人的利益最大化： 的解由（1）知是b/2m，而对于委托人，无论b如何选择，s必然选择可以选择的最小值，因为a的选择只与b相关，而与s无关。因此，在满足式的条件下，必然有：18在二手车市场中，卖主的效用函数为，买主的效用函数为。其中：和分别是卖主和买主的全部收入；q是二手车的质量：p是二手车的价格：n是二手车的数量。卖主对车的信息充分，买主对车的信息充分（不知道每辆车的质