2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研测试数学试题(解析版)

1、2020届江苏省南通市、泰州市高三上学期第一次联合调研测试数学试题一、填空题1 .已知集合 A= 1,0, 2 , B = 1, 1, 2,则 AAB=.【答案】1,2【解析】根据交集的定义求解即可【详解】由题，A B 1,2 ,故答案为：1,2【点睛】本题考查交集的运算，属于基础题2 .已知复数z满足1 i z= 2i,其中i是虚数单位，则z的模为.【答案】2【解析】利用复数的除法法则可得 z 1 i,进而求得模即可【详解】2i 2i 1 i 2i 2由题，z1 i,1 i 1 i 1 i 2所以 |z ，12 12&,故答案为：,2【点睛】本题考查复数的模，考查复数除法法则的应用，

2、属于基础题3 .某校高三数学组有 5名党员教师，他们一天中在 学习强国”平台上的学习积分依次 为35, 35, 41, 38, 51,则这5名党员教师学习积分的平均值为 .【答案】40【解析】 根据平均数的公式计算即可【详解】由题,则平均值为135 35 41 38 5140,5故答案为：40【点睛】本题考查求平均数，考查运算能力，属于基础题4 .根据如图所示的伪代码，输出的a的值为：While 0： .:(J*fl+lI;i 什 I:!EndWhile：!；Prima：_ - - *1【答案】11【解析】根据已知中的语句可知，该程序的功能是循环计算 a并输出满足条件的a的值, 模拟程序的运行

3、过程，即可得答案【详解】当 a 1 时，i 1 4,则 a 1 1 2,i 1 1 2 4,则 a 224,i 2134,贝Ua 437,i 3 1 4 4,则 a 7 4 11,i 4 1 5 i,所以输出a 11,故答案为：11【点睛】本题考查循环结构和算法语句，当程序的运行次数不多时，采用模拟程序运行结果的办法进行解答即可5.已知等差数列 an的公差d不为0,且a1，a2, a4成等比数列，则 a1的值为. d【答案】1【解析】由等比中项可得a22 a1 a4,再根据等差数列 an可得21一 、， 一a1da1al 3d ，即可求得a1与d的关系【详解】由d 0的等差数列 an ,2.2

4、因为4e2e4成等比数列，则a2aia4,即a1da1a13d可得a d,则 1, d故答案为：1【点睛】本题考查等差数列定义的应用，考查等比中项的应用，属于基础题6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现 2次正面向上的概率为先求得正面向上的概率，再求得恰好出现2次正面向上的概率即可第15页共17页1设芷面向上为事件A,则P A,则P A2所以恰好出现2次正面向上的概率为p C；3故答案为：3本题考查独立重复试验求概率，属于基础题A1 BB1C1的体积为7 .在正三棱柱 ABC A1B1C1中，AA1 = AB=2，则三枝锥【解析】根据正三棱柱的性质可得各棱长均为2,则VA1 BB1c

5、lVb A1B1c1 ,进而求解即可因为正三棱柱 ABC A1B1C1,则BB1 底面A B1C1, A1B1C1是等边三角形又因为AA1 AB 2,则三棱柱各棱长均为2,则 V$ BBC1 Vb A1B1C1 ; g 22 sin60 2,323故答案为：2_!33【点睛】本题考查三棱锥的体积的计算，考查正三棱柱的性质应用，考查转化思想8 .已如函数f (x) sin x (0).若当*= 一时，函数f x取得最大值，则36的最小值为.【答案】5【解析】 根据当x 能取到最大值可得 一一 一 2k k Z ,则663 25 12k k Z，由0,k赋值，即可求解【详解】由题，至-2k k Z

6、，即 5 12k k Z ,因为0,则当k 0时，5,故答案为：5【点睛】本题考查正弦型函数对称性的应用，属于基础题9.已知函数fx=m2x2 m8xm R是奇函数.若对于任意的x R,关于x的不等 式f x2 1 f a恒成立，则实数 a的取值范围是 .【答案】a 1【解析】先由奇函数可得m 2 ,代回解析式则可判断函数单调递减，进而可将f x2 1 f a恒成立转化为x2 1 a恒成立，从而求解即可【详解】因为f x是奇函数，所以222f x f x m 2 x m 8 x m 2 x m 8 x 2 m 2 x 0,则m 2 ,所以f x6x,所以f x在R上单调递减，22因为f x 1

7、 f a恒成立，所以x2 1 a恒成立，则a x 1 min 1,故答案为：a 1【点睛】本题考查已知函数奇偶性求参数，考查利用函数单调性解不等式恒成立问题10.在平面直角坐标系 xOy中，已知点A, B分别在双曲线 C : x2 y2=1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点.若点A的横坐标为2,则点B的横坐标为-1【答案】-2【解析】先得到渐近线方程为 y x,则可设a为2, 2 , B x,x , AB的中点为C中，解得x即为所求2 x 2 x,，再将中点坐标代入双曲线22由题，双曲线C的渐近线方程为：y x,因为点A的横坐标为2,则设a为2, 2 ,B x,x则AB的中点为22所

8、以3_x-2xi，解得x222则点B的横坐标为, 2,1故答案为：12本题考查双曲线渐近线方程的应用，考查中点公式的应用11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E （单位:焦耳）与地震里氏震级 M之间的关系为lgE=4.81.5M . 2008年5月汶川发生里氏 8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的 倍.【答案】1000【解析】由题意分别求得 M 6和8时的能量 巳进而求得能量的比【详解】由题，当 M8 时,lgE 4.8 1.5 8,则 e 1016.8；当 M 6时，lgE 4.

9、8 1.5 6 13.8，则 e 1013.8,1016.8所以鼻103101000,故答案为:1000本题考查对数的运算性质的应用，考查阅读分析能力-22 ,进而 cosA i 1443x2.9x4则BD2为关于x的函数，利用换元法和导函数求得最值即可uuvuuiv12 .已知AABC的面积3,且AB = AC .若CD 2DA ,则BD的最小值为【解析】由题可设AD x,则AB AC 3x,利用余弦定理可得22222BD AB AD 2AB AD cosA 10x 6x cosA,再根据二角形面积公式可11 _ _得 S AB AC sin A 3x 3x sin A 3,则 sin A【

10、详解】由题，设ADx,则 AB AC 3x,所以BD2AB2AD2 2ABAD cos A3x 2 x2 23x22x cosA 10x 6x cosA因为S1-AB AC sinA 21 c c3x 3x sin A 3,所以 sin A20,1 ,因为大边对大角，所以令A为锐角，则cos A J1 。,所以2_ 2_ 2BD 10x 6x49x410x22.9x4 4田10t 2、9t2 4,所以18tt 10,9t2-50,则 t6则f (t)在上单调递减，在56,上单调递增，所以t min102f I163所以BDmm16 4出33故答案为:4_33本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角

11、形，考查利用导函数求最值，考查运算能力13 .在平面直角坐标系 xOy中， 已知圆Ci : x2 y 2=8与圆C2 : x2 y 2 2x y a=0相 交于A, B两点.若圆Ci上存在点P,使得4ABP为等腰直角三角形，则实数 a的值组 成的集合为.【答案】 8,8 2、5,8 2.5【解析】先求得直线AB为：2x y 8 a 0,再分别讨论 PAB 90或PBA 90和 APB 90的情况，根据几何性质求解即可【详解】由题,则直线AB为：2x y 8 a 0,当 PAB 90或 PBA 90时，设C1到AB的距离为d ,因为 ABP等腰直角三角形，11所以 d -ABd 48 d2,所以

12、 d 2, 228 a ,一l所以2 d 2,解得 a 8 25/5,22 12当 APB 90时，AB经过圆心C1,则8 a 0,即a 8,故答案为：8,8 2 ,5,8 2.5【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查分类讨论思想和数形结合思想14.已知函数f(x)六,x 0x 1,若关于x的方程f 2 x2af x 1 a2= 0有五个不相等的实数本则实数 a的取值范围是【答案】1,1 -.3【解析】画出图像，令tf x，由5个不相等的实根可得t10,1 ,t21,，则可列出不得关系，进而求得参数范围即可【详解】由题，画出f x的图像，设t f X，则方程t

13、2 2at 1 a2 0有5个不相等的实根由图可得,t10,1 ,t21,1 a2 0所以2，解得1 a 1 J3,1 2a 1 a2 0故答案为：1,1 3本题考查已知零点个数求参问题，考查数形结合思想二、解答题15.如图，在三棱锥 P ABC 中，PA 平面ABC, PC AB, D, E分别为BC, AC的中点.求证：（1） AB / /平面 PDE ;（2）平面PAB平面PAC .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）根据中位线的性质可得 AB/DE,进而得证;（2）先证得AB 平面PAC ,进而得证【详解】 证明：（1） Q D,E分别为BC, AC的中点，AB/D

14、E ,Q DE 平面 PDE,AB 平面 PDE,AB/平面 PDE(2) Q PA 平面 ABC, AB i 平面 ABC ,PA AB,Q PC AB, PAI PC P, PA, PC 平面 PAC,AB 平面PAC,平面PAB 平面PAC【点睛】本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查推理论证能力16 .在 4ABC 中，已知 AC = 4, BC=3, cosB =-.4求sin A的值； uv uuv (2)求BA BC的值.【答案】(1) M5 ； (2)1615 - 1、 一 口 ,二5，再根据正弦定理求得 sin A即可;4(2)根据余弦定理解得 AB 2,再由数量积

15、的定义求解即可 【详解】(1) Q cosB15 sin B ,4根据正弦定理可得3 .15 sin A 16(2)根据余弦定F即 42 AB2 32BCsin A3AC ，即 sin Asin B,AC2 AB2 BC223 一一AB,解得 AB 2,415 ,42AB AC cosB,【解析】(1)先求得sin Buuu uuini 3BA BC BA BC cosB 2 342【点睛】 本题考查利用正弦定理求角，考查向量的数量积运算，考查运算能力22x y一 一17 .如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E ：1 1(a b 0)的焦距为4,两a b条准线间的距离为 8, A, B分别为

16、椭圆E的左、右顶点(1)求椭圆E的标准方程;(2)已知图中四边形 ABCD是矩形，且BC = 4,点M, N分别在边BC, CD上，AM与 BN相交于第一象限内的点 P .若M, N分别是BC, CD的中点，证明：点P在椭圆E 上；若点P在椭圆E上，证明：叫为定值，并求出该定值.CNx2 y2【答案】(1) 一 匚 1 ; (2)证明见解析；证明见解析 842c 4【解析】(1)由2a2求得a,c,进而求得椭圆的方程；8 c(2)分别求得M ,N坐标，再求得直线 AM与直线BN方程，即可求得交点坐标，进而0，直线BP的方程为得证；分别设直线AP的方程为y k1 x 2 J2 kly k2 x

17、2,2 k2BM0，求得点M , N坐标，则一CNxJ21k1k2，利用斜22，2,所以胡4,率公式求证即可【详解】2c 4 c(1)由题，2a2，则 8 ac22所以椭圆E的标准方程为：土匕 184(2)证明：由(1)可得A 2厄0,B 2, 2,0 ,因为BC 4,且四边形ABCD是矩形，因为点M,N分别是BC,CD的中点，所以M 2.2,2,N则直线AM为:2.2222 2y 0-一，即2 0x 2 . 2y 2.2 0,直线BN为:所以因为2、2 0x 2 .2y2x 入2.24x2，即2x0，解得0.2y 4.2 0,6.25，即P 856.256 -2 25+8285，=14所以点

18、P在椭圆E上设直线AP的方程为yki2、. 2 ki 0 ,令 x 2收得 Vm 4V2ki,设直线BP的方程为yk2 xk20 ,令 y 4,得 xn 2.24k2 ,BMCNyMxn2>/2五|klk2 ,设 p %, y0xn2% 0, yq 0，则 82 No41,0y0 0一 y°k1k2x02五 x0 2.22y。2x02 x0x02 8BM.2CN 2【点睛】本题考查由几何性质求椭圆的方程，考查椭圆的定值问题，考查运算能力与推理证明能力18.在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将

19、边长为a的正三角形ABC绕2其中心O逆时针旋转到二角形AiBiCi,且 0, .顺次连结A, Ai, B, Bi, C,第i2页共i7页Ci, A,得到六边形徽标 AAiBBiCCi .当=一时，求六边形徽标的面积;6(2)求六边形徽标的周长的最大值.一一 3 o一【答案】一a ； (2) 2J3a42【解析】i连接OB,则 AQB ，由等边三角形 ABC的边长为a,可得3OA3OB a，再利用三角形面积公式求解即可;3(2)根据三角形的对称性可得AAi2OAsin 一22 .3 asin ,32AB 2OBsin 3 22:3-3 i .- a cos- -sin-，则周长为关于的函数，进而

20、322 22求得最值即可【详解】(i) Q等边三角形ABC的边长为a,OA OB 立 a,3 2连接 OB , AOB 23S 3 1OA2 sin sin 23亘sin2当一时,六边形徽标的面积为6(2)在 VAOAi 中，AA1 2OAsin 2Glasin-,在 VBOA1 中，A1B 2OBsin 3 22.3.3a cos21sin-设周长为f (q)，则f3 AA A1B2,3asin0,i当且仅当，即2 32一时，f3max 2 3a本题考查三角形面积的应用，考查正弦型函数的最值问题，考查三角函数在几何中的应用考查数形结合思想19.已知数列an满足：a1=1,且当n 2时，an

21、an1 ( 1)n-(R)(1)若=1,证明数列a2n 1是等差数歹(2)若=2.设 bna2n2一,求数列bn的通项公式;3设Cn2na,证明:1对于任意的p, m N ,当p m,都有CpCm.【答案】(1)证明见解析;(2) bn 2 4n3证明见解析【解析】(1)分别可得2n+111a2n+1a2na2n1，a2na2n2n11a2n，二者求和可得a2 n 1a2n 11,进而得证;(2)分别可得a2n 22a2n 12n 2112a2 n2n 12a2n 1,二者整理第13页共17页可得a2n 24a2n2,即可证明bn是首项为8，公比为34的等比数列，进而求得通项公A；先求得a2n

22、与a2n1的通项公式，则2naia1i 1a3a2na2a4La2n4n 1n，则Cnn 34n 134n 1 3n 43n 1,进而利用数列的单调性证明即可(1)证明：当1 时,an2n+11an 1a2n+1a2na2n1,2n1a2na2n 1a2n 1则得 a2n 1a2n 11 时，a11,a2n 1是首项为1,公差为1的等差数列(2)当2 时,an 2an1a2n2 时，a222a2n12a2n 一2al2,2n 2112n 112 得 a2n 24a2 na22a2n1 ,2a2 n，即 bn 14bn,第21页共17页bn是首项为8，公比为4的等比数列3bn4n4n第25页共1

23、7页一一2 n由（2）知a2n 4n3,a2n 12a2n1 一/口,同理由可得a2n i4a2n 1 1 ,a2 n2a2n 1114当 n1 时,a11-,33314a2n 1一是首项为一,公比为4的等比数列33a2n 1171nda2n 13 41a2 a4 La2n2naiaa3 La2n 1i 14 14n8 1 4n3 n 31 431 4n 1c 144Cnn _ nn 3n33-4n94n4n 14n 1 3n 4n 3n 1Cn1Cn4n 2 3 n 1 4 4n 1 3n 4n 1 3n 2n 3n 1n 2n 1n 43 n 143 n 1 4 3n 4n on 2n 1

24、 n 3n 12-n 3 4 6n 6n 8n 12）n 2n n 1 3n 12-n 3 4 6n 14n 12._ n 2n n 1 3w c c 2 16 6 14 12 八当 n 1 时,C2 C1 % 0;2 33当 n 2时,C2 C164 24 28 12 0；2 3 33当 n 3时,Cn 1 Cn 0,对于一切n N，都有Cni Cn,故对任意p,m N ,当P m时,Cp Cm【点睛】本题考查等差数列的证明，考查等比数列通项公式的应用，考查等比数列求和公式的应用考查运算能力与推理论证能力-120.设函数f(x) ax a e (a R ,其中e为自然对数的底数. x(1)当a= 0时，求函数f (x)的单调减区间；(2)已知函数f (x)的导函数f (x)有三个零点