相似三角形存在性问题Word版

1、传播优秀word版文档 ，希望对您有帮助，可双击去除！因动点产生的相似三角形问题 例1 2015年上海市宝山区嘉定区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线yx2都经过点a(2, m) （1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点b(n, 2)，过点b的直线bc与直线yx2平行交y轴于点c，联结ab、ac，求abc的面积；（3）在（2）的条件下，设直线yx2与y轴交于点d，在射线cb上有一点e，如果以点a、c、e所组成的三角形与acd相似，且相似比不为1，求点e的坐标图1 动感体验请打开几何画板文件名“15宝山嘉定24”，拖动点e在射线cb上运动，可以体验到，ace与ac

2、d相似，存在两种情况思路点拨1直线ad/bc，与坐标轴的夹角为45°2求abc的面积，一般用割补法3讨论ace与acd相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答（1）将点a(2, m)代入yx2，得m4所以点a的坐标为(2, 4)将点a(2, 4)代入，得k8（2）将点b(n, 2)，代入，得n4所以点b的坐标为(4, 2)设直线bc为yxb，代入点b(4, 2)，得b2所以点c的坐标为(0,2)由a(2, 4) 、b(4, 2) 、c (0,2)，可知a、b两点间的水平距离和竖直距离都是2，b、c两点间的水平距离和竖直距离都是4所以ab，bc，abc90

3、76; 图2所以sabc8 （3）由a(2, 4) 、d(0, 2) 、c (0,2)，得ad，ac由于dacacd45°，aceacd45°，所以dacace所以ace与acd相似，分两种情况：如图3，当时，cead此时acdcae，相似比为1如图4，当时，解得ce此时c、e两点间的水平距离和竖直距离都是10，所以e(10, 8)图3 图4考点伸展第（2）题我们在计算abc的面积时，恰好abc是直角三角形一般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图5，作abc的外接矩形hcnm，mn/y轴由s矩形hcnm24，sahc6，samb2，sbcn8，得sabc8图5例

4、2 2014年武汉市中考第24题如图1，rtabc中，acb90°，ac6 cm，bc8 cm，动点p从点b出发，在ba边上以每秒5 cm的速度向点a匀速运动，同时动点q从点c出发，在cb边上以每秒4 cm的速度向点b匀速运动，运动时间为t秒（0t2），连接pq（1）若bpq与abc相似，求t的值；（2）如图2，连接aq、cp，若aqcp，求t的值；（3）试证明：pq的中点在abc的一条中位线上图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“14武汉24”，拖动点p运动，可以体验到，若bpq可以两次成为直角三角形，与abc相似当aqcp时，acqcdppq的中点h在abc的中位线ef上思路点

5、拨1bpq与abc有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程2作pdbc于d，动点p、q的速度，暗含了bdcq3pq的中点h在哪条中位线上？画两个不同时刻p、q、h的位置，一目了然满分解答（1）rtabc中，ac6，bc8，所以ab10bpq与abc相似，存在两种情况： 如果，那么解得t1 如果，那么解得图3 图4（2）作pdbc，垂足为d在rtbpd中，bp5t，cosb，所以bdbpcosb4t，pd3t当aqcp时，acqcdp所以，即解得图5 图6（3）如图4，过pq的中点h作bc的垂线，垂足为f，交ab于e由于h是pq的中点，hf/pd，所以f是qd的中点又因为bdcq4

6、t，所以bfcf因此f是bc的中点，e是ab的中点所以pq的中点h在abc的中位线ef上例3 2012年苏州市中考第29题如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点a、b（点a位于点b是左侧），与y轴的正半轴交于点c（1）点b的坐标为_，点c的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点p，使得四边形pcob的面积等于2b，且pbc是以点p为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点p的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点q，使得qco、qoa和qab中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求

7、出点q的坐标；如果不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点b在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点p到两坐标轴的距离相等，存在四边形pcob的面积等于2b的时刻双击按钮“第（3）题”，拖动点b，可以体验到，存在oqab的时刻，也存在oqab的时刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形pbc暗示了点p到两坐标轴的距离相等2联结op，把四边形pcob重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点q最大的可能在经过点a与x轴垂直的直线上满分解答（1）b的坐标为(b, 0)，点c的坐标为(0

8、, )（2）如图2，过点p作pdx轴，pey轴，垂足分别为d、e，那么pdbpec因此pdpe设点p的坐标为(x, x)如图3，联结op所以s四边形pcobspcospbo2b解得所以点p的坐标为()图2 图3（3）由，得a(1, 0)，oa1如图4，以oa、oc为邻边构造矩形oaqc，那么oqcqoa当，即时，bqaqoa所以解得所以符合题意的点q为()如图5，以oc为直径的圆与直线x1交于点q，那么oqc90°。因此ocqqoa当时，bqaqoa此时oqb90°所以c、q、b三点共线因此，即解得此时q(1,4)图4 图5考点伸展第（3）题的思路是，a、c、o三点是确定的

9、，b是x轴正半轴上待定的点，而qoa与qoc是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据qoa与qoc相似把点q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点b的位置如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点q呢？如果符合题意的话，那么点b的位置距离点a很近，这与ob4oc矛盾例5 2010年义乌市中考第24题如图1，已知梯形oabc，抛物线分别过点o（0，0）、a（2，0）、b（6，3）（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点m的坐标；（2）将图1中梯形oabc的上下底边所在的直线oa、cb以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点o1、a1、c1、b1，

10、得到如图2的梯形o1a1b1c1设梯形o1a1b1c1的面积为s，a1、 b1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)用含s的代数式表示x2x1，并求出当s=36时点a1的坐标；（3）在图1中，设点d的坐标为(1，3)，动点p从点b出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段bc运动，动点q从点d出发，以与点p相同的速度沿着线段dm运动p、q两点同时出发，当点q到达点m时，p、q两点同时停止运动设p、q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线pq、直线ab、x轴围成的三角形与直线pq、直线ab、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由 图1 图2动感体验

11、请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点i上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x2x1随s的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点q在dm上运动，可以体验到，如果gafgqe，那么gaf与gqe相似思路点拨1第（2）题用含s的代数式表示x2x1，我们反其道而行之，用x1，x2表示s再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y2y13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线ab与x轴的夹角不变，直线ab与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线pq的斜率，

12、因此假设直线pq与ab的交点g在x轴的下方，或者假设交点g在x轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线，解析式为，顶点为m（1，）（2） 梯形o1a1b1c1的面积，由此得到由于，所以整理，得因此得到当s=36时， 解得 此时点a1的坐标为（6，3）（3）设直线ab与pq交于点g，直线ab与抛物线的对称轴交于点e，直线pq与x轴交于点f，那么要探求相似的gaf与gqe，有一个公共角g在geq中，geq是直线ab与抛物线对称轴的夹角，为定值在gaf中，gaf是直线ab与x轴的夹角，也为定值，而且geqgaf因此只存在gqegaf的可能，gqegaf这时gafgqepqd由于，所以解得 图3 图

13、4考点伸展第（3）题是否存在点g在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例6 2009年临沂市中考第26题如图1，抛物线经过点a(4，0)、b（1，0)、c（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）p是抛物线上的一个动点，过p作pmx轴，垂足为m，是否存在点p，使得以a、p、m为顶点的三角形与oac相似？若存在，请求出符合条件的 点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线ac上方的抛物线是有一点d，使得dca的面积最大，求出点d的坐标,图1动感体验 请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点p

14、在抛物线上运动，可以体验到，pam的形状在变化，分别双击按钮“p在b左侧”、“ p在x轴上方”和“p在a右侧”，可以显示pam与oac相似的三个情景双击按钮“第(3)题”， 拖动点d在x轴上方的抛物线上运动，观察dca的形状和面积随d变化的图象，可以体验到，e是ac的中点时，dca的面积最大思路点拨1已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把dca可以分割为共底的两个三角形，高的和等于oa满分解答 （1）因为抛物线与x轴交于a(4，0)、b（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点c的 坐标（0，2），解得所以抛物线的解析式为（2）设点p的坐标为如图2，当点p在x轴上方时，1x4，如果，那么解得不合题意如果，那么解得此时点p的坐标为（2，1）如图3，当点p在点a的右侧时，x4，解方程，得此时点p的坐标为解方程，得不合题意如图4，当点p在点b的左侧时，x1，解方程，得此时点p的坐标