数列解答题专练含答案版

1、数列高考真题汇编1.已知等差数列an的公差为2,前n项和为Sn,且Si, S?, S4成等比数列.(1) 求数列an的通项公式；彳 4n(2) 令bn= ( - 1)n-1，求数列bn的前n项和Tn.anan+12 x 1解析 (1)因为 S1 = a1, S2 2a1 + x 2= 2a + 2,4X 3八S4 4a1 + -x2 4a1+ 12, (3分)一 2 一由题意得(2a1 + 2) a1 (4a1 + 12),解得 a1 1.所以 an 2n-1.(5分)4nn 1 4nn 1加=(-1)-着=(-1)-2n- 12n+ 1(-1)n-11 1+gn 1 2n+ 1 y(6分)当

2、n为偶数时,Tn 11 11+3 3+5 + +(1 1 、 gn 1 + 2n+ 1 尸1 -12n+ 12n2n+ 1当n为奇数时,Tn 1+3 - 3+i + 广 11gn-3 2n- 1 J'12n- 11 、2n+ 1 丿12n+ 12n + 2 不.(10分)n + n*2. 已知数列an的前n项和Sn 2 , n N .(1)求数列an的通项公式；设bn= 2an+ (- 1)nan，求数列bn的前2n项和.解析当n= 1时，ai = Si= 1;2 2n + n (n 1)+( n 1)当 n2 时，an= Sn Sn 1 = 2 2 n.故数列an的通项公式为an=

3、n.由知，an= n,故 bn= 2n+ ( 1)nn.记数列bn的前2n项和为T2n，则122nT2n= (21 + 22+ 2) + ( 1 + 2 3+ 4+ 2n).122n记 A= 2 + 2 +- + 2 ，B= 1+ 2 3+ 4+ 2n，2n则 A= - = 22n+1 2，1 2B= ( 1 + 2)+ ( 3+ 4)+ (2n 1) + 2n = n.故数列bn的前 2n 项和 T2n= A+ B = 22n+1 + n 2.3. 数列an满足 a1 = 1，nan +1 = (n+ 1)an+ n(n+ 1)，n N .(1) 证明：数列 賈是等差数列；设bn= 3n a

4、n，求数列bn的前n项和Sn.an+1 anan+1 an解析(1)证明：由已知可得=+ 1，即卩 一一=1.(4分)n+1 nn+1n所以数列an是以马=1为首项，1为公差的等差数列.(5分)(2) 解：由(1)得n = 1 + (n 1)1= n，所以 an= n2.从而bn= n 3【(7分)Sn= 1 x 31 + 2X 32 + 3X 33+ n 3n,3Sn= 1 X 32 + 2X 33 + + (n 1) 3n+ n 3n +1.=2 n3n + 1 =1 3一，得2Sn = 311n3 3+ 2n + 3一，得 2Tn= 1 + 3+ 孑+n_ 1 3n = 2 23n. +

5、 + 3n n 3n + 1 g戶.do分）n丄1所以升7.邈分）2 *4 .已知 Sn是数列an的前 n 项和，a1 = 2, Sn+1 = 3Sn+ n + 2（n N ），设 bn =an+ n.证明：数列bn是等比数列；n4（2）若Cn= &，数列Cn的前n项和为Tn,求证：Tn<&.解析 证明：因为a1 = 2，S+1 = 3Sn+ n2+ 2，所以当 n= 1 时，a1 + a2= 3a+ 12 + 2，解得 a2= 7.（2 分）由 Sn+1 = 3Sn+ n + 2 及 Sn= 3Sn 1 + （n 1） + 2（n2），两式相减，得an+1 = 3an+

6、 2n 1.故 an+1 + n+ 1 = 3（an + n）.即 bn+1 = 3bn（n2）. （4 分）又b1 = 3，b2= 9，所以当n= 1时上式也成立.故数列bn是以3为首项，3为公比的等比数列.（5分）（2）由知bn= 3n，所以cn =尹1 23n 1 n 金所以Tn= 3+ 32+亍+孑1 +卞，2 3n 1 n_八3Tn= 1 + 3 + 32+ + 3n2 + 3n 1.（7分）3 3 + 2n 所以 Tn= 4- 4 3n .(10 分)*3 + 2n因为n® ,显然有匸矿>0.3 44又4<5,所以 Tn<5.（12 分）15已知首项为2

7、的等比数列an是递减数列，其前n项和为Sn,且Si + ai, S2 + 32, S3+ a3成等差数列.（1）求数列an的通项公式； 若bn= an log23n，数列bn的前n项和为Tn.1解析（1）设等比数列an的公比为q,由题知a1 =，又1S1 + a1, S2 + a2, S3+ a3 成等差数列，'2(9 + a2)= S1 + a1 + S3+ a3.'S? S1 + 2a2= a1 + S3 S2+ a3,即 3a2= a1 + 2a3.31212q=2+q，解得 q= 1 或 q=2"分)1又an为递减数列，于是q = 2.°an = a

8、1qn 2 = (q)n.(6 分)(2)°bn= anlog2an= 1 1 1 1Tn= 1 x+ 2X(2)2+_ + (n 1)(2)n 1+ nx Qn.于是2Tn= 1 x (2)2+ + (n 1)(2)n + nx g)n+1. (8 分)1 1冷Z、"/曰 11121n1n +11X 1 (M两式相减，得？Tn 2+(2)+ +(2) nX (?) 1+n+ 1 nx + .1 nTn= (n+ 2)(2)-2,6. 已知首项都是1的两个数列an , bn(bnM 0, n N *)满足anbn+1-an+ ibn + 2bn+ lbn= 0.(1) 令

9、cn= g,求数列cn的通项公式；(2) 若 bn= 3n-1，求数列an的前n项和Sn.解析 因为 anbn + 1 an+ 1bn+ 2bn+ 1bn= 0, bn 0(n CN ),an + 1 an所以b = 2,即 Cn+ 1 Cn = 2.(4 分)bn+1 bn所以数列Cn是以首项C1= 1,公差d = 2的等差数列，故Cn= 2n 1.n 1n 1(2)由 bn = 3 ，知 an = cnbn= (2n 1)3 .于是数列an的前n项和012n 11 3 + 3 3 + 5 3 + + (2n 1) 3 ,3Sn= 1 3 + 3 3所以an的通项公式为an=尹+ 1.+ (

10、2n 3) 3n 1 + (2n 1) 3n,相减得一2Sn= 1 + 2 (31 + 32 + + 3n 1) (2n 1) 3n= 2 (2n 2)3n.所以 Sn= (n 1)3n+ 1.7. 已知an是递增的等差数列，a2, a4是方程x2 5x+ 6= 0的根.(1) 求an的通项公式；(2) 求数列 器的前n项和.解析 方程x2 5x + 6= 0的两根为2,3，由题意得a2= 2, a4= 313设数列an的公差为d,则a4 a2 = 2d,故d= 2，从而a1=设anI勺前n项和为Sn,由(1)知|S=需，则34n+1 n+ 22n+15Sn = 2+ 戸+ 2n +134n+

11、12$=于+ 24+ +n + 22n+1 + 2n+2.两式相减，得132看4+1 n+ 2311 n+ 2+ + 1)_ ?n + 2 4+ 4(1 _1)_ ?n + 2.n + 4所以2_尹.8. 已知an是各项均为正数的等比数列，且 a1 a2= 2, a3 a4 = 32.(1)求数列an的通项公式;也=an+1_ 1(n N*)，求数列bn的(2)设数列bn满足¥+号+冒+ 2n_ 1前n项和.解析 设等比数列an的公比为q,由已知得ia2q= 2, a1q5= 32.又.a1>0, q>O,.Tj* 2.2n_1.由题意，可得b1 b2 b3bnn1 +

12、3+ 5"+ 2；_? 2_ 1.bn丁 1_ 1+2n_ 1bn=2n_ 1( n2),叫=2n_1.2n_ 1n 1bn= (2n 1)2 tn2).当n= 1时，bi= 1,符合上式，n 1*bn= (2n 1) 2 (n6 ).设 Tn= 1 + 3X21 + 5X22 + + (2n 1) 2n 1,2Tn= 1 X 2 + 3X 22 + 5X 23+ + (2n 3) 2n 1+ (2n 1) 2n,两式相减，得一Tn 1 + 2(2+ 2 + 2 ) (2n 1) 2 = (2n 3) 2 3. 6= (2n 3)2n+ 3.1 1 19. 已知数列an是a3 筋，公比q 4的等比数列设 bn + 2 3log4an(n N )，数列 Cn满足 Cn anbn.(1) 求证：数列bn是等差数列；(2) 求数列Cn的前n项和Sn.解析(1)证明：由已知，可得an a3qn-3 (J)n.1 1 nJ则 bn + 2 3log4(4)n 3n, /bn 3n 2.bn+ 1 bn 3, bn为等差数列.1由(1)知 Cn anbn (3n 2)(4)n,11 1 10= 1