2013-2014学年高中数学321复数代数形式的加减运算及其几何意义教案新人教A版选修1-2(DOC)

1、13. 2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义敷空教法分析阴漏赫方築解读观“數法戶聲鲁号（教师用书独具）三维目标1知识与技能掌握复数加减运算的法则及运算律，理解复数加减运算的几何意义.2. 过程与方法在问题探究过程中，体会和学习类比、数形结合等数学思想方法，感悟运算形成的基本 过程.3. 情感、态度与价值观通过探究复数加减运算法则的过程，感悟由特殊到一般的思想， 同时由向量的加减法与复数的类比，理解复数加减的运算法则，知道事物之间是普遍联系的哲学规律.重点难点重点：理解和掌握复数加减运算的两种运算形式及加法运算律，准确进行加减运算， 初步运用加减法的几何意义解决简单问题.难点：复数加减法的几

2、何意义及其应用.2授古略流程细踌同較 ”教案设计区I教学建议（教师用书独具）3建议本节课采取自主探究式教学，这节课主要是复数的加减法运算，学生可以类比实数的加减法运算理解复数的加减法运算，让学生自主探讨例题 1 及变式训练的解法，总结规律方法.在讨论复数加法的几何意义时，引导学生联想向量的加法并运用平行四边形法则来进行运算，复数减法的几何意义， 可联想向量的减法运用三角形法则来进行运算.教学中应让学生对复数的加法与向量的加法是怎样联系起来并得到统一的过程做出探究.对于一些简单的问题让学生动手去做，让学生起到主体作用，教师起到主导作用.教学流程创设问题情境，引出问题，引导学生思考两个复数的和与差

3、的运算.让学生自主完成填一填，使学生进一步了解复数加减运算的方法，及其满足的运算律.由学生自主分析例题 1 的运算方法并求解， 教师只需指导完善解答疑惑. 并要求学生独立完成变式训练.学生分组探究例题 2 解法，通过引导学生画图， 认识复数与向量的对应关系，联想向量运算的几何意义，求出Z1+Z2，完成互动探究.完成当堂双基达标，巩固所学知识及应用方法并进行反馈矫正.归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节所学知识，强调重点内容和规律方法.学生自主完成例题 3 变式训练，老师抽查完成情况，对出现问题及时指导.让学生自主分析例题 3，老师适当点拨解题思路，学生分组讨论给出解法老师组织解法展示，引导学生

4、总结解题规律.1.熟练掌握复数的代数形式的加减法运算法则.（重点）2理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.（难点）1心1复数代数形式的加减运算【问题导思】已知复数Z1=a+bi ,Z2=c+di（a,b,c,d R）.1多项式的加减实质是合并同类项，类比想一想复数如何加减？【提示】 两个复数相加（减）就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加（减），即（a+bi） 土（c+di） = （ac） + （bd）i.2复数的加法满足交换律和结合律吗?理数材 白毬白测 固”基咄”自主学习恆I课标解读4【提示】 满足.5运算法则：设zi=a+bi ,Z2=c+di(a、b、c、d R)，则

5、1zi+Z2=(a+c)+ (b+d)i ,2zi-Z2= (ac) + (bd)i.(2)加法运算律：交换律Zi+Z2=Z2+Z1结合律(Zi+Z2) +Z3=乙 + (Z2+Z3). J复数加减法运算的几何意义【问题导思】如图，OiZ,OiZ分别与复数a+bi ,c+di 对应.1.试写出OZ,OZ及OZ+OZ, OZOZ的坐标.【提示】OZ= (a,b),OZ= (c,d),OZ+OZ= (a+c,b+d),OZ-OZ= (ac,bd).2向量OiZ+OiZ,OiZOZ对应的复数分别是什么？【提示】OiZ+OiZ对应的复数是a+c+ (b+d)i ,OiZ(对应的复数是ac+ (bd)i

6、.6(1)复数加法的几何意义如图 3 2 1:设复数zi,Z2对应向量分别为OZ,OZ,四边形OZZZ为平行四边形,则与Zi+Z2对应的向量是OZ(2)复数减法的几何意义7如图 3 2 2 所示，设OZ,OZ分别与复数zi=a+bi ,Z2=c+di 对应，且OZ,OZ不 共线，则这两个复数的差ziZ2与向量OZOZ(即NZi)对应，这就是复数减法的几何意义.这表明两个复数的差乙一Z2(即OZOZ)与连接两个终点Zi,乙,且指向被减数的向量对应(1)(2 ,3i) + ( . 2 + #i) + 1 ;i 1 i 1(2)(23)(32)+i；(3)原式=(5 2 3) + 6+ ( 2) 3

7、i = 11i.I规律方法I复数的加减法运算就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加减.亜武 am已知复数z满足z+ 1 + 2i = 10 3i，求z.【解】z+ 1 + 2i = 10 3i ,【思路探究】解答本题可根据复数加减运算的法则进行.【自主解答】(1)原式=(.2 .2) + ( ,3+2)i + 1= 1-i.(5 6i) + ( 2 2i) (3 + 3i).1 1 11 1锯总互动探究顽垠难师生至动找“期竝. .*复数的加减运算例计算下列各题:13+2)+(23+1)i=6+6i.原式=(8 z= (10 3i) (2i + 1) = 9 5i.9复数加减法的几何意义例设

8、OZ及0Z分别与复数Z1= 5 + 3i 及复数 乙=4 + i 对应，试计算Zi+Z2,并在复平面内作出OZ+OZ.【思路探究】利用加法法则求Z1+Z2,利用复数的几何意义作出OZ+OZ.【自主解答】TZ1= 5+ 3i ,Z2= 4+ i ,zi+Z2= (5 + 3i) + (4 + i) = 9+ 4i OZ= (5,3) ,OZ= (4,1),由复数的几何意义可知，OZ+OZ与复数 乙+Z2对应,OZ+OZ= (5,3) + (4,1) = (9,4).作出向量OZ+OZ=OZ如图所示.1根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算.2禾 U 用向量进行复数的加

9、减运算时，同样满足平行四边形法则和三角形法则.3复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.在题设不变的情况下，计算Zi-Z2,并在复平面内作出Oz-OZ.【解】Zi-Z2= (5 + 3i) (4 + i) = (5 4) + (3 1)i = 1+ 2i.OZOZ=Z2Z1,故OZOZ即为图中Z2Z1.10复数加减法的综合问题例 已知|z+ 1 i| = 1，求|z 3+ 4i|的最大值和最小值.【思路探究】利用复数加减法的几何意义，以及数形结合的思想解题.【自主解答】法一一设w=z 3+ 4i , z=w+ 3 4i , z+ 1 i =w+ 4 5i.又 |z+1

10、i| = 1, - |w+ 4 5i| = 1.可知w对应的点的轨迹是以(一 4,5)为圆心，1 为半径的圆.如图所示，|可-=0+1,网min=411.(1)(2)法二由条件知复数z对应的点的轨迹是以(一 1,1)为圆心，1 为半径的圆,而|z 3 + 4i| = |z (3 4i)|表示复数z对应的点到点(3 , 4)的距离， 在圆上与(3 , 4)距离最大的点为 A,距离最小的点为B,如图 所示，所以 |z 3 + 4i|max=y41+ 1 , |z 3+ 4i|min= ! 41 1.I规律方法I|Z1Z2|表示复平面内Z1,Z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为

11、复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.娈武训塔设Z1,Z2 C,已知 |Z1| = |Z2| = 1, IZ1+Z2| =2，求 |Z1Z2|.【解】 法一 设Z1=a+bi ,Z2=c+di(a,b,c,d R).由题意，知a2+b2= 1,c2+d2= 1.(a+c)2+ (b+d)2= 2,- 2ac+ 2bd= 0.2 2 2|Z1Z2| = (ac) + (bd)2222=a+c+b+d 2ac 2bd= 2.|Z1Z2| = 2.11法二 设复数Z1,Z2,Z1+Z2分别对应向量OZ,OZ,OZ12TIZi|=|Z2|=1,|Zi+Z2|=

12、2,平行四边形0ZZZ2为正方形.| 乙一Z2| = | 乙乙| = |OZ=2.理思路硏甄禱法由”技巧”数形结合思想在复数中的应用典例复平面内点A, B, C对应的复数分别为 i,1,4 + 2i ,由g 4C-D按逆时针顺序作?ABCD贝 U |BD|等于（）A. 5B. 13C. 15D. 17【思路点拨】出点D的坐标.首先由A、C两点坐标求解出AC的中点坐标，然后再由点B的坐标求解y叫） （1,0）工【规范解答】3如图，设D（x, y）,F为？ABCD勺对角线的交点，则点F的坐标为（2 ,） ,即X=3,y=3.所以点D对应的复数为z= 3 + 3i ,所以BD= OD 0B=3+ 3

13、i 一 1 = 2 + 3i ,所以 |BD= ,13.【答案】 B思维启迪数与形是数学中两个最古老、也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化.数形结合，不仅是一种重要的解题方法， 而且也是一种重要的思维方法.本章中有关复 数的几何意x+ 1 = 4,所以y+ 0 = 3,13义包括三个方面： 复数的表示（点和向量）、复数的模的几何意义及复数运算的几14何意义.复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法, 研究代数问题.解决此类问题的关键是由题意正确地画出图形，然后根据三角形法则或平行四边形法则借助复数相等即可求解.1复数代数形式的加减法满足交换律、结合律，复数的减法是加

14、法的逆运算.2复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则复数减法的几何意义就是向 量减法的三角形法则.当 童AZ基达标陡堂镰生生工动达”赵标1. (2013潍坊市高二检测)(2 2i) ( 3i + 5)等于()A. 2 iB. 3+ iC. 5i 7D. 2 + 3i【解析】(2 2i) ( 3i + 5) = (2 5) + ( 2+ 3)i = 3+ i.【答案】B2.在复平面内，点A对应的复数为 2+ 3i，向量寸应的复数为一 1 + 2i，则向量A对应的复数为()A. 1+ 5iB. 3 + iC. 3 iD. 1 + i【解析】EBA=OA-OB BA 寸应的复数为(2 + 3

15、i) ( 1 + 2i) = (2 + 1) + (3 2)i = 3+ i.故选 B.【答案】B3._ 实数x,y满足(1 + i)x+(1 i)y= 2，贝 Uxy的值是_即通过几何图形来15【解析】/ (1 + i)x+ (1 i)y= 2,/xy= 1.【答案】14.设z1= 2+bi ,Z2=a+ i，当Z1+Z2= 0 时，求复数a+bi.【解】T乙 +Z2= 0, (2 +a) + (b+ 1)i = 0,2+a= 0,a= 2,b+1 = 0,b= 1.一、选择题1 .设复数Z1= 2+ i ,z2= 1+ 2i，则复数z1Z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第

16、二象限C.第三象限D.第四象限【解析】 乙一Z2= ( 2+ i) (1 + 2i) = ( 2 1) + (i 2i) = 3 i，故Z1z对应点的坐标为(一 3, 1)在第三象限.【答案】 C2.向量OZ对应的复数是 5 4i，向量OZ对应的复数是一 5+ 4i，则OZ+OZ对应的复数是()A. 10+ 8iC. 0【解析】 由题意可知OZ= (5 , 4) ,OZ= ( 5,4), OZ+OZ对应的复数是 0.【答案】 C3.复数满足 1 z+ 2i (3 i) = 2i，贝Uz=()X+y= 2,xy= 0.解得 e xy= i.复数i.a+bi靜方知能检测潯下測自我评怙捉“老麻B.

17、10 8iD. 10 + 8i0Z+0Z= (5 ,4) + ( 5,4) = (5 5, 4+ 4) = (0,0)16A. 1 iC. 2+ 2i【解析】z= 1 + 2i 3+ i 2i = 2 + i.【答案】B4.已知复平面内的平面向量OA云B表示的复数分别是一 2+ i,3 + 2i，则向量3断表示 的复数的模为( )A. 5B. 13 C. 10 D. 26【解析】OB= OAFAB向量OB寸应的复数是(一 2+ i) + (3 + 2i) = 1 + 3i，且 |1 + 3i| = 1 + 9= 10.【答案】C5.复数Z1=a+ 4i ,Z2= 3 +bi，若它们的和为实数，

18、差为纯虚数，则实数a,b的值 为()A.a= 3,b= 4B.a= 3,b= 4C.a= 3,b= 4D.a= 3,b= 4【解析】由题意可知 乙+Z2= (a 3) + (b+ 4)i 是实数，Z1Z2= (a+ 3) + (4 b)i 是纯虚数，故七+ 4 = 0,a+ 3 = 0,解得a= 3,b= 4.,4 bz 0,【答案】A二、填空题6._ 复数Z1、Z2分别对应复平面内的点M、M,且|Z1+Z2| = |Z1Z2|，线段MM的中点M对应的复数为 4 + 3i，则|乙|2+ |Z2|2等于=.【解析】根据复数加减法的几何意义，由|乙+Z2| = |Z1Z2|知，以OM OM为邻边的

19、平行四边形是矩形(对角线相等)，即/MOM为直角，M是斜边MM的中点，|OM=订 42+ 32= 5,|MM| = 10.| 乙|2+ |Z2|2= |3M2+ |OM|2= |2= 100.【答案】100B. 2+ iD. 2+ i17图 3 2 37. (2013大连高二检测)在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为ZO=0,ZA=2 +|i ,ZB=2a+ 3i ,ZC=b+ai，则实数ab为_ .18【解析】 因为OA+OC=OB所以 2 + 2i + ( b+ai) = - 2a+ 3i ,所以2b=2a,*a得ab= 4.尹a=3,【答案】 48.A B分别是复数Zi、Z2在

20、复平面上对应的两点，0是原点，若|zi+Z2I = |ziZ2I ,则厶AOB勺形状是_ .【解析】 由|zi+Z2| = |ziZ2|知，以OA OB为邻边的平行四边形是矩形，即OAL 0B故厶AOB是直角三角形.【答案】 直角三角形三、解答题9. 计算：(1) (1 + 2i) + (3 4i) (5 + 6i);(2) 5i (3 + 4i) ( 1 + 3i)；(3) (a+bi) (2a 3bi) 3i(a、b R .【解】(1)(1 + 2i) + (3 4i) (5 + 6i)=(1 + 3 5) + (2 4 6)i = 1 8i.(2) 5i (3 + 4i) ( 1 + 3

21、i) = 5i (4 + i) = 4 + 4i.(3) (a+bi) (2a 3bi) 3i = (a 2a) + b ( 3b) 3i=a+ (4b 3)i.10. 已知Z1= (3x+y)+ (y 4x)i ,Z2=(4y 2x) (5x+ 3y)i(x,yR)，设z=Z1乙=13 2i，求Z1,Z2.【解】Z=乙一Z2=(3x+y) + (y 4x)i (4y 2x) (5x+ 3y)i=(3x+y) (4y 2x) + (y 4x) + (5x+ 3y)i=(5x 3y) + (x+ 4y)i ,又Tz= 13 2i，且x,y R, Z1=(3X21)+(14X2)i=59i,Z2=

22、4X(1)2X25X2+3X(1)i= 87i.5x 3y= 13,x+ 4y= 2,解得x=2,y= 1,1911 .设f(z) =z 2i ,Z1= 3+ 4i ,Z2= 2 i，求：(1)f(Z1Z2)的值；(2)f(Z1+Z2)的值.【解】/ 乙=3 + 4i ,Z2= 2 i , Z1Z2= (3 + 4i) ( 2 i) = (3 + 2) + (4 + 1)i = 5 + 5i ,zi+Z2= (3 + 4i) + ( 2 i) = (3 2) + (4 1)i = 1 + 3i.-f(z)=z 2i ,- (1)f(ZiZ2)=乙一Z2 2i = 5 + 5i 2i = 5+ 3i ;(2)f(Z1+Z2) =Z1+Z2 2i = 1 + 3i 2i = 1 + i.敷申 fi?i果资源易拓展凶封施數爾“视弩戶蛊畏节（教师用书独具）签选题在厶ABC中，角A B C所对的边分别为a、b、c,设复数Z=COSA+ isinA且满 足 |z+ 1| =1.（1）求复数z；bc求讦的值.acus b U +C【思路探究】 本题主要考查复数的概念、代数运算及以复数为载体解三角形的知识.把复数z+ 1 的模转化为它对应的向量的模，从而求出A,第问利用正弦定理把边转化为