全等三角形与轴对称

1、. 几何知识点复习一、 三角形1、 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形2、 三角形任意两边之和大于第三边。三角形任意两边之差小于第三边。3、三角形三个内角的和等于180度（如图）。三角形外角和4、三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 5、三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 ；6、三角形分锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。7、三角形中的角平分线、中线、高线都是线段。8、定理1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ；定理2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 9、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等

2、于斜边的一半 10、直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 11、直角三角形的两个锐角互余 12、三角形中位线等于底边长的一半二、图形的全等1、 全等图形的形状和大小都相同。两个能够重合的图形叫全等图形。全等三角形：全等三角形的对应边、对应角相等。条件：SSS、AAS、ASA、SAS、HL。2、边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 3、角边角公理( ASA)有两角和它们的夹边对应相等的 两个三角形全等 4、推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 5、边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等 6、斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一

3、条直角边对应相等的两个直角三角形全等 三、等腰三角形1、等腰三角形的两个底角相等 (即等边对等角）2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 3、等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 4、等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 5、等边三角形的判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形 ；（2）有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 。_B_A_C_D四、适当添加辅助线，寻找基本图形1、基本图形一，如图1，在DABC中，AB=AC，B,A,D成一条直线，则ÐDAC=2Ð

4、;B=2ÐC或ÐB=ÐC=ÐDAC.图12、基本图形二，如图2，如果CO是ÐAOB的角平分线，DEOB交OA,OC于D,E，那么DDOE是等腰三角形，DO=DE.当几何问题的条件和结论中，或在推理过程中出现有角平分线，平行线，等腰三角形三个条件中的两个时，就应找出这个基本图形，并立即推证出第三个作为结论.即：角平分线+平行线等腰三角形.图23、基本图形三，如图10，如果BD是ÐABC的角平分线，M是AB上一点，MNBD，且与BP,BC相交于P,N.那么BM=BN，即DBMN是等腰三角形，且MP=NP，即：角平分线+垂线等腰三角形.当几

5、何证题中出现角平分线和向角平分线所作垂线时，就应找出这个基本图形，如等腰三角形不完整就应将基本图形补完整，如图11，图12.图11五、掌握用三角形全等的判定定理来解决有关的证明和计算问题，灵活运用三角形全等的三个判定定理来证明三角形全等。例1如图，已知ABBC，DCBC，E在BC上，AEAD，ABBC。求证：CECD。分析：作AFCD的延长线（证明略）评注：寻求全等的条件，在证明两条线段（或两个角）相等时，若它们所在的两个三角形不全等，就必须添加辅助线，构造全等三角形，常见辅助线有：连结某两个已知点；过已知点作某已知直线的平行线；延长某已知线段到某个点，或与已知直线相交；作一角等于已知角。 例

6、2如图，已知在ABC中，C2B，12，求证：ABACCD。分析：采用截长补短法，延长AC至E，使AEAB，连结DE；也可在AB上截取AEAC，再证明EBCD（证明略）。六、探索与创新：【问题一】阅读下题：如图，P是ABC中BC边上一点，E是AP上的一点，若EBEC，12，求证：APBC。证明：在ABE和ACE中，EBEC，AEAE，12 ABEACE（第一步） ABAC，34（第二步） APBC（等腰三角形三线合一）上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步的推理依据；若不正确，请指出关键错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程。略解：不正确，错在第一步。正确证法为：BECEEBCECB 又1

7、2ABCACB，ABACABEACE（SAS）34 又ABACAPBC【问题二】众所周知，只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等，你能想办法安排和外理这三个条件，使这两个三角形全等吗？请同学们参照下面的方案（1）导出方案（2）（3）（4）。解：设有两边和一角对应相等的两个三角形，方案（1）：若这个角的对边恰好是这两边中的大边，则这两个三角形全等。方案（2）：若这个角是直角，则这两个三角形全等。方案（3）：若此角为已知两边的夹角，则这两个三角形全等。（4）：若此角为钝角，则这两个三角形全等。（5）：若这两个三角形都是锐解（钝角）三角形，则这两个三角形全等。七、图形的轴对称1、轴对称：如果一

8、个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。2、轴对称图形：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。等腰三角形的“三线合一”。3、轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等、对应角相等。4、定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 逆定理： 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上5、线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 6、关于某条直线对称的两个图形是全等形 7、如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直

9、平分线；8、 两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上； 9、如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称10、在直角坐标系中，轴对称图形与坐标。八、题型专题一、轴对称的有关作图问题1、如图，在平面直角坐标系中，将四边形ABCD称为“基本图形”，且各点的坐标分别为A（4，4），B（1，3），C（3，3），D（3，1）.（1）画出四边形A1B1C1D1， 使它与“基本图形”关于x轴成轴对称并求出A1，B1，C1，D1的坐标.A1( ， )，B1( ， )，C1( ， )，D1( ， ) ；（2）画出四边形A2B2C2D2 ，使它与

10、“基本图形”关于y轴成轴对称；（3）画出四边形A3B3C3D3，使之与前面三个图形组成的图形是轴对称图形. 2、等距问题点到两点间距离-线段的垂直平分线点到两直线距离-角的平分线专题二、等腰三角形中的分类讨论思想1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则顶角度数为 45°或 1352、等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是 75°或 15°； 3、ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，底角B的度数为 70°或 20°； 专题三、等腰三角形中的计算和证明-注意应用方程的思想，基本图形专题四、利用轴对称构造等腰三角形1、（1）ABC中，B=35°，C=70°，AD是高，若DC=15，BD=35，求AC的长.（20） （2）ABC中，B=2C，AD是高，试确定CD、AB、BD之间的数量关系，并证明. (CD=AB+BD)提示：以高线为对称轴小结：高线保证等腰三角形的形成，角的倍半关系为等腰三角形的形成创造了条件。2、（1）ABC中，AD平分BAC，若B=20°，C=40&