高中数学人教A版必修5《2.6等比数列的前n项和2》课件

1、1111(1)(1)111nnnnaqnSqqaaSqqq 等等比比数数列列的的前前 项项和和这这个个公公式式还还可可以以写写成成1= ,1nnakSkk qq 如如果果设设那那么么这这个个式式子子说说明明什什么么问问题题呢呢？2nnnSkk qqq说说明明的的系系数数与与常常数数项项是是的的，其其中中的的互互为为相相反反数数就就是是公公比比 233,2nnnanSkkq 等等比比数数列列的的前前 项项和和很很容容易易得得出出：公公比比性性质质一一32322,mmmmmSSSSSdm d 我我们们知知道道，在在中中有有以以下下性性质质：也也成成等等差差等等差差数数列列数数列列公公差差 请请把把

2、这这条条性性质质经经过过类类比比，推推广广到到等等比比数数列列 232,nnmmmmmanSSSSSS等等比比数数列列设设的的前前 项项和和为为则则有有：也也成成等等比比数数列列证证明明这这个个结结论论！性性质质二二43070S 答答案案：51162ma 答答案案：， 10203010,=30naSSS 例例1 1. .等等比比数数列列中中，求求 5.31,nnnanSmma例例2 2 等等比比数数列列的的前前 项项和和求求的的值值以以及及 的的值值. . 5 110103020101.,2,2(21)0.nnnaanSSSSa 例例3 3 设设正正项项等等比比数数列列首首项项前前 项项和和为

3、为且且求求的的通通项项公公式式 34,2,14,nnnnnanSSSS 练练习习：各各项项均均为为正正的的等等比比数数列列的的前前项项和和为为若若求求1( )2nna 答答案案：430nS 答答案案：6等等 差差 数数 列列 等等 比比 数数 列列 定定义义 一般地一般地,如果一个数列从第如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差那么这个数列就叫做等差数列这个常数叫公差数列这个常数叫公差 一般地，如果一个数列从一般地，如果一个数列从第第2项起，每一项与它的前项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，一项的比

4、等于同一个常数，那么这个数列就叫等比数那么这个数列就叫等比数列这个常数叫公比列这个常数叫公比 等差数列等差数列与与等比数列等比数列对比记忆表对比记忆表7数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列定义式定义式公差（比）公差（比）通项公式通项公式 推广形式推广形式公差公差(比比) an+1-an=dd 叫叫公差公差q叫叫公比公比 an= a1+(n-1)d an=a1qn-1 an=am+(n-m)d an=amqn-mmnaadmn mnmnaaq qaa1nn 等差数列等差数列与与等比数列等比数列对比记忆表对比记忆表8数数 列列等等 差差 数数 列列等等 比比 数数 列列前前n项和

5、项和公公 式式性性 质质中中 项项 构造三数构造三数 构造四数构造四数 a，a+d，a+2da, aq, aq2或者或者 a-d，a，a+daqaqa，或或a-3d，a-d，a+d， a+3d33aqaqqaqa，m+n=p+q an+am=ap+aqm+n=p+q anam=apaq2cabcb,a, 则等差中项则等差中项成等差数列，成等差数列，若若acb cb,a, 则等比中项则等比中项成等比数列，成等比数列，若若等差数列等差数列与与等比数列等比数列对比记忆表对比记忆表910数列求和介绍求一个数列的前 n 项和的几种方法：1、运 用 公 式 法2、错 位 相 减 法3、裂 项 相 消 法4

6、、分组求和 法5、倒序相加 法11一、运用公式法一、运用公式法 运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解运用公式法主要是使用已经证明，并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和。如：等差数列的求和公式：如：等差数列的求和公式：dnaS2)1n(n12)aa(nnn1 等比数列的求和公式：等比数列的求和公式：nS1naq1)q1(an1 )1q( )1q( 还有一些常用公式：还有一些常用公式：2333322222)1n(nn321;6)1n2)(1n(nn321;2)1n(nn321 2333322222)1n(nn321;6)1n2)(1n

7、(nn321;2)1n(nn321 12数例1 求数列 的前n项和，32116181412197531分析：由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1、公差为2的等差数列与一个首项为 、公比为 的等比数列的和数列。所以它的前n项和可看作一个等差数列的前 n项和与一个等比数列的前n项和的和。212111414133818155解：)12(53121814121nnSnnn21814121) 12(5312)121(nn2121211)1(n2nn211 归纳出：奇数列的前n项和2) 12531nn（2121列求和1分组求和 法13 , + n 1 练习练习1:求数列求数列 + 2 3 , +

8、 的前的前n项和项和 。 . , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 ncn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征分组求和法分组求和法的反思与小结：的反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一一个等比个等比22n n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公，另外要特别观察通项公式，如果通项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题。律解题。 练习练习2.求数列求数列2+3, 22 +32 , 23 +33 , , 2n +3n 的前

9、的前n项和。项和。 Sn=2 + -n+1n+1322714二、错二、错 位位 相相 减减 法法 错位相减法在推导等比数列求前错位相减法在推导等比数列求前 n项和时用过；项和时用过；它主要用于由一个它主要用于由一个等差数列等差数列与一个与一个等比数列等比数列的积数的积数列求和。列求和。求法步骤如下：求法步骤如下：1、在、在 的两边同时乘于的两边同时乘于公比公比qnnaaaS212、两式相减、两式相减 ；左边为；左边为 ，右边，右边q的同次式相减的同次式相减nSq)1（3、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的、右边去掉最后一项（有时还得去掉第一项）剩下的 各项组成等比数列，可用公式求和。

10、各项组成等比数列，可用公式求和。看以下例子看以下例子数数列列求求和和15例例2 求数列求数列 的前的前n项和项和 考一本第19课时nn212167854321，分析：分析：该数列可看作等差数列该数列可看作等差数列 等比数列等比数列 的积数列的积数列12 nn21这里等比数列的公比这里等比数列的公比 q =21解：解：n43221n227252321nS 1nn43221n223n2252321 nS21两式相减：两式相减：1nn43221n22222222221n21S)1( 所以：所以：n21S21211n21211)1 （1n21n2 运算整理得：运算整理得：nnnS2323数数列列求求和

11、和216例例3 设设 ,求数列求数列 的前的前n项和项和 0annaaaaa,4 ,3 ,2 ,432nS分析：分析： 这个数列的每一项都含有这个数列的每一项都含有a，而，而a等于等于1或不等于或不等于1，对，对数列求和有本质上的不同，所以解题时需进行分类讨论数列求和有本质上的不同，所以解题时需进行分类讨论解：解：1a若nSn3212) 1( nn1a若nnnaaaaS3232aqaaaann的积数列，且等比数列与，差数列此时，该数列可看作等,32132两边同乘两边同乘a:naS132) 1(2nnnaanaa两式相减：两式相减：132)1 (nnnnaaaaaSa所以：所以：nSa)1 (a

12、aan1)1 (1nna运算并整理得：运算并整理得： a1naa1)a1(an1nnS21n2n)a1(aa)1n(na 数数列列求求和和217cn=anbn(an为等差数列为等差数列,bn为等比数列为等比数列)项的特征项的特征二、二、错位相减错位相减求和法求和法 小结小结练习题练习题 考一本考一本P53 习题习题 n2naa2n2221 ,221 21 1 1nnn-1n22项和为多少？项和为多少？，则其前，则其前满足满足、数列、数列项和为多少？项和为多少？的前的前，、数列、数列 18三、裂三、裂 项项 相相 消消 法法 顾名思义，顾名思义，“裂项相消法裂项相消法”就是把数列的项拆成几就是把

13、数列的项拆成几项，然后，前后交叉相消为项，然后，前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和达到求和目的的一种求和方法。方法。求求 法法 步步 骤骤1、先分析数列的项的结构，把通项式、先分析数列的项的结构，把通项式“裂裂”成几项。成几项。（注意：裂开后的通项式当（注意：裂开后的通项式当n=k和和n=k+d时有相消为时有相消为0的情况出现才行）的情况出现才行）2、解题时；对裂开后的通项式令、解题时；对裂开后的通项式令n取取1，2，3，,n然后相加得然后相加得nS3、把和式中每一对相消为、把和式中每一对相消为0的式子除去，整理剩下的的式子除去，整理剩下的 式子即为和式。式子即为和式。请请 看看 下下 面

14、面 例例 子子数数列列求求和和19例例4 求数列求数列 的前的前n 项和。项和。)1n3)(2n3(11071741411 ，分析：分析： 该数列的特征是：分子都是该数列的特征是：分子都是1，分母是一个以，分母是一个以1为首项，为首项，以以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子为公差的等差数列的相邻两项的乘积。只要分子变为公差变为公差3，就可以裂项了。，就可以裂项了。)13)(23(1nnna)13)(23(331nn)13)(23()23()13(31nnnn)13123131nn（解：解：) 13)(23(11071741411nnnS)13)(23(3107374341331nn)

15、13)(23()23()13(1077107447411431nnnn)1 (1312311017171414131nn)1 (13131n13 nn数数列列求求和和320例例5 求数列求数列 的前的前n项和项和)12)(12()2(7565343122222nnn，nS分析：分析： 该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项该数列的分子是偶数的平方，分母是奇数列相邻两项的乘积；从例的乘积；从例4的经验看：该数列求和使用的经验看：该数列求和使用“裂项相消法裂项相消法”的可能性较大，那就看分子能否化为常数。的可能性较大，那就看分子能否化为常数。注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没

16、有一次项；注意到该数列的通项公式的特征：分子、分母同次且没有一次项；所以使用处理分式函数的常用手段：所以使用处理分式函数的常用手段：“分离常数法分离常数法”即可把分子即可把分子化为常数。化为常数。变化如下：变化如下：)12)(12(1)12)(12(11)2()12)(12()2(122nnnnnnnnna)12)(12()12()12(21)12)(12(22111nnnnnn)(112112121nn数数列列求求和和321)(112112121nnna由解：)12)(12()2(7565343122222nnnnS)(1)1112112121513121311121nn（）（共 n 项)(

17、)()1(12112151313121nnn)1 (12121nn12)1(2nnn数列求和322（数列（数列an是等差数列）是等差数列）项的特征项的特征1111 11()nn nnnca ad aa 三、三、裂项相消裂项相消求和法求和法 小结小结注意注意裂项相消法裂项相消法的关键：的关键： 将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的将数列的每一项拆成二项或多项使数列中的项出现有规律的项出现有规律的抵消项抵消项，进而达到求和的目的。，进而达到求和的目的。23常见的拆项公式：1111.(1)1n nnn11112.()()n nkknnk 11115.()(21)(21)2 2121nnnn 111

18、16.(1)(2)2(1)(1)(2)n nnn nnn 117.()ababab 211111113.1(1)(1)1kkkkkkkkk 22111114.()1211kkkk 2128. 2(1)2(1)11nnnnnnnnn 练习：（求和）111(1).112123123nsn 111(2).12231nsnn 答案：答案：12221 .2()123(1)1nann nnn （ ）111112(1)()()2231nsnn 122(1)11nnn 1(2).11nnnn 213211 1nsnnn 25四、倒序相加法四、倒序相加法教材P40等差数列前n项的和公式推导即为此法！例例1 1：

19、已知：已知lg(xy)=a,lg(xy)=a,求求lgxlgxn n+lg(x+lg(xn-1n-1y)+lg(xy)+lg(xn-2n-2y y2 2)+lgy)+lgyn n与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可与首尾两项等距的两项之和等于首尾两项之和，则可先将先将S Sn n顺着写，再将顺着写，再将S Sn n倒着写，最后将两个倒着写，最后将两个S Sn n相加。相加。lgylgyn n+lg(xy+lg(xyn-1n-1)+lg(x)+lg(x2 2y yn-2n-2)+lgx)+lgxn n2 2lg(xy)lg(xy)n n+lg(xy)+lg(xy)n n+lg(xy)+

20、lg(xy)n+n+lg(xy)+lg(xy)n n (n+1)lg(xy)(n+1)lg(xy)n n n(n+1)lgxyn(n+1)lgxyn(n+1)a/2n(n+1)a/2项的特征项的特征a1+an=a2+an-1=a3+an-2=2612003( ),22,( 5)( 4)(0)(5)(6)xf xnfffff 2.2.（上海）设利用课本（上海）设利用课本中推导等差数列前 项和的方法 求中推导等差数列前 项和的方法 求的值为_.的值为_.111()(1)2222nnfnf n 11121221122222222nnnnnn 111(2 22)2212222222nnnn 2728练

21、习：练习： 1. 1. 求数列求数列 前前n n项和项和 2. 2. 求数列求数列 的前的前n n项和项和 3. 3. 求和：求和： 4. 4. 求和：求和：1 14+24+25+35+36+6+n n( (n n + 3)+ 3) 5. 5. 求数列求数列1 1，(1+(1+a a) )，(1+(1+a a+ +a a2 2) )， (1+(1+a a+ +a a2 2+a an n 1 1) )，的前的前n n项和项和. . 1, 4, 7, 10, ( 1) (32),nn 3232nn 222222(10099 ) (9897 )(21 ) 29学有所思举 一 返 三30四、通 项 分

22、 析 法 通项分析法就是根据前面学过的运用公式法、错位相减法、裂项相消法为基础，对数列的通项公式进行分析，从而决定使用那种方法求和。求 法 步 骤1、确定所求和数列的通项公式，必要时，注意使用由已 知数列的前几项，求这数列的一个通项公式的方法2、分析通项公式时，在确定首项、末项、及项数的同时 还要分析清楚是那些数列的和、差、积、商数列。 请 看 下 面 例 子数列求和31例7 求数列 的前n项和1222221221211n，分析：由数列的结构来分析，该数列的第k项应该是：12222121)21(112kkkka通过分析可知：该数列是以 为首项，以 为末项，共有n项的数列。12112n从通项公式

23、的结构来分析，该数列是一个以2为首项，以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列。所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前 n项和的差。通过这样分析，确定解题方向就方便了解：) 12() 12() 12(21nnS) 111 ()222(2nnn21)21(2221nn数列求和432例8 求和 1)2(3) 1(21nnnnS分析： 这个数列是数列1，2，3. . . n与它的倒序数列的积数列，共有n项，在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了。kknkknkak2) 1(k取从1到n的自然数）所以，该数列可以看作通项为 的三个数列的差、和数列kknk,2解：naaaa

24、S321)21 ()21 ()21 (222nnnnnnn2) 1(6)12)(1(nnn2)1(nn)2)(1(61nnn数列求和433例9 求数列 前n项和, 165434322aaaaaaaaa)0( aSn分析： 由 所求数列的每一项都是一个等比数列的和，其第k项 2211kkkkkaaaaa0akaak 时，当1011kaa时，当)(为偶数为奇数）kk时，当1|aaaakkka1121通项公式理解清楚后，现在可以就以上三种情况考虑求和了时当1a该数列是自然数列，求和容易。时，当1a2nnSn为偶数时n为奇数时21nnS1|a当)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS

25、,0, 1 ,0, 1 ,0, 1此时的和式，转化为求数列的通项公式解：时；当1akak)1(21nnSn时；当1a01ka)()(为偶数为奇数nn2)1(121nSnn时；当1|a)(12111kkakaaa)()()()1(12152311nnanaaaaaaaS)()1(12531211nnaaaaaaaa1)1(11112aaaaaann)1)(1(1)1()1(12nnaaaa数列求和434)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析：)2)(1(kkkak326kC( k 取1，2，3、n)所以：323534336666nnCCCCS)(632353433nCCCC1114433knknknCCCCC由436nC!4)1)(2)(3(6nnnn)3)(2)(1(41nnnn44C45C46C数列求和435)2)(1(54343232110nnnSn求和例分析：)2)(1(kkkak)2)(1() 1() 3)(2)