极值点偏移问题的两种常见解法之比较

1、极值点偏移问题的两种常见解法之比较浅谈部分导数压轴题的解法在高考导数压轴题中，不断出现极值点偏移问题，那么，什么是极值点偏移问题？参考陈宽宏、邢友宝、赖淑明等老师的文章，极值点偏移问题的表述是：已知函数是连续函数，在区间内有且只有一个极值点，且，若极值点左右的“增减速度”相同，常常有极值点，我们称这种状态为极值点不偏移；若极值点左右的“增减速度”不同，函数的图象不具有对称性，常常有极值点的情况，我们称这种状态为“极值点偏移”.极值点偏移问题常用两种方法证明：一是函数的单调性，若函数在区间内单调递增，则对区间内的任意两个变量，；若函数在区间内单调递减，则对区间内的任意两个变量，. 二是利用“对数

2、平均不等式”证明，什么是“对数平均”？什么又是“对数平均不等式”？两个正数和的对数平均数定义：对数平均数与算术平均数、几何平均数的大小关系是：，（此式记为对数平均不等式）下面给出对数平均不等式的证明：i）当时，显然等号成立 ii）当时，不妨设， 先证，要证，只须证：，令，只须证：设，则，所以推荐精选在内单调递减，所以，即，故再证：要证：，只须证：令，则只须证：，只须证设，则所以在区间内单调递减，所以，即，故综上述，当时，例1（2016年高考数学全国理科第21题）已知函数有两个零点（）求的取值范围；（）设是的两个零点，证明：解：（）函数的定义域为，当时，得，只有一个零点，不合题意；当时，当时，由

3、得，由得，由得，故，是的极小值点，也是的最小值点，所以又，故在区间内存在一个零点，即由又，所以，在区间存在唯一零点，即，故时，存在两个零点；推荐精选当时，由得，若，即时，故在上单调递增，与题意不符若，即时，易证故在上只有一个零点，若，即时，易证，故在上只有一个零点综上述，（）解法一、根据函数的单调性证明由（）知，且令，则因为，所以，所以，所以在内单调递增所以，即，所以，所以，因为，在区间内单调递减，所以，即解法二、利用对数平均不等式证明由（）知，又所以，当时，且，故当时，又因为即所以所以所以推荐精选所以 下面用反证法证明不等式成立因为，所以，所以假设，当，,与矛盾；当时,与矛盾，故假设不成立所

4、以例2 （2011年高考数学辽宁卷理科第21题）已知函数（）讨论函数的单调性；（）若曲线与轴交于两点，中点的横坐标为，证明：解：（）函数的定义域是当时，在区间内恒成立，即在区间内单调递增当时，由>0，得函数的递增区间，由<0，得函数的递减区间（）解法一、根据函数的单调性求解设点的横坐标分别为，则，且由（）知，当时，因为函数有两个不同的零点，所以，所以要证，只须证，即证令则，所以在内单调递增推荐精选所以，即因为，所以，所以又，且在区间内单调递减所以，即，故解法二、利用对数平均不等式求解设点的坐标分别为，则由（）知，当时，因为函数有两个不同的零点，所以，所以因为，所以所以，即所以，所以

5、所以，所以.例3 （2014年高考数学湖南卷文科第21题）已知函数（）求函数的单调区间；（）当时，求证：解：（）函数的定义域为R 由，得，由，得函数的递增区间，由，得函数的递减区间，所以（）解法一、利用函数的单调性求解推荐精选令，则令则，则由得，故在内单调递增故，故在内单调递增故，故，故在上单调递减所以，由（1）及知，故所以，所以，又在上单调递增所以，即解法二、利用对数平均不等式求解因为时，时，所以，所以，所以，所以，所以，所以，因为，所以下面用反证法证明，假设推荐精选当时，与不等式矛盾当时，所以，与不等式矛盾.所以假设不成立，所以例4 （2014年江苏省南通市二模第20题）设函数其图象与轴交

6、于两点，且.（）求实数的取值范围；（）证明：为函数的导函数）；（）略.解：（），当时，在R上恒成立，不合题意当时，易知，为函数的极值点，且是唯一极值点，故，当，即时，至多有一个零点，不合题意，故舍去；当，即时，由，且在内单调递减，故在有且只有一个零点；由令，则，故所以，即在有且只有一个零点.（）解法一、根据函数的单调性求解由（）知，在内递减，在内递增，且所以，要证，只须证，即证又，故只须证令，推荐精选则，所以在区间内递增所以，即所以，所以因为，且在区间内递增所以，即，故解法二、利用对数平均不等式求解由（）知，在内递减，在内递增，且所以，因为，即，所以所以，要证：，只须证，即故，所以，所以因为，所以，而所以成立，所以从以上四个例题可以看出，两种方法解决的问题相同，即若是函数的两个零点，而是函数的极值点，证明（或），根据函数单调性求解的步骤是：一、构建函数，二、判断函数的单调性，三、证明（或）即（或），四、故函数的单调性证（或）.根据对数平均不等式求解的步骤是：一、通过等式两边同取自然对数或相减等配凑出，二、通过等式两边同除以构建对数平均数，三、利用对数平均不等式将转化为推荐精选后再证明（或）. 两种方法各有优劣，适用的题型也略有差异，考生若能灵活驾驭这两种方法，便能在考场上发挥自如，取得理想的成绩.您好，