初一数学绝对值知识点与经典例题

1、绝对值的性质及化简【绝对值的几何意义】 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离 . 数 a 的绝对值记作 a . （距离具有非负性）【绝对值的代数意义】一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0.注意： 取绝对值也是一种运算，运算符号是“| | ”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0 . 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：号，绝对值是 5 .5 符号是负【求字母 a 的绝对值】a

2、( a0)a (a0)a( a0) a0( a0) a0) a0)a(a0)a (aa(a利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小.绝对值非负性：|a|0如果若干个非负数的和为0 ，那么这若干个非负数都必为0.例如：若abc0 ，则a0 ， b0 ， c0【绝对值的其它重要性质】（ 1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即 aa ，且 aa ；（ 2） 若 ab ，则 ab 或 ab ；（ 3） abaa0) ；a b ；(bbb（ 4） | a |2| a 2 | a 2 ；（ 5） |a|-|b| |a ±b| |a|+|b|a 的几何

3、意义： 在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离ab 的几何意义： 在数轴上，表示数a b 对应数轴上两点间的距离【去绝对值符号】基本步骤，找零点，分区间，定正负，去符号。【绝对值不等式】（ 1）解绝对值不等式必须设法化去式中的绝对值符号，转化为一般代数式类型来解；（ 2）证明绝对值不等式主要有两种方法：A）去掉绝对值符号转化为一般的不等式证明：换元法、 讨论法、 平方法；B）利用不等式： |a|-|b| |a+b| |a|+|b|，用这个方法要对绝对值内的式子进行分拆组合、添项减项、 使要证的式子与已知的式子联系起来。【绝对值必考题型】例 1：已知 |x 2| |y 3| 0，求 x+y 的值

4、。解：由绝对值的非负性可知x 2 0 ， y 3 0；所以 x+y=5判断必知点：相反数等于它本身的是0倒数等于它本身的是±1 绝对值等于它本身的是非负数即： x=2，y =3；【例题精讲】（一）绝对值的非负性问题1. 非负性：若有几个非负数的和为0 ，那么这几个非负数均为 0.2.绝对值的非负性；若abc0 ，则必有 a0 ， b0 ， c0【例题】 若 x3y1z50，则 xyz总结：若干非负数之和为0 ，。【巩固】 若 m 3 n72 2 p 1 0 ，则 p2n 3m _2【巩固】 先化简，再求值： 3a 2 b2ab22(ab3 a2 b) 2ab 2其中 a 、 b 满足

5、 a 3b1 (2a4)20 .（二）绝对值的性质【例 1】若 a 0 ，则 4a+7|a| 等于（）A 11aB-11aC-3aD 3a【例 2】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（）A 1 ， 0B正数C非正数D非负数【例 3】已知 |x|=5 ，|y|=2 ，且 xy 0 ，则 x-y 的值等于（）A 7 或-7B7 或 3C3 或-3D-7 或-3x【例 4】若1，则 x 是（）xA 正数B 负数C非负数D 非正数【例 5】已知： a 0， b 0，|a| |b| 1，那么以下判断正确的是（）A 1-b -b 1+a aB 1+a a 1-b -bC1+a 1-b a -bD 1

6、-b 1+a -b a【例 6】已知 a b 互为相反数，且|a-b|=6 ，则 |b-1| 的值为（）A2B2 或 3C4D2 或 4【例7】 a 0，ab 0 ，计算 |b-a+1|-|a-b-5|，结果为（）A 6B -4C-2a+2b+6D 2a-2b-6【例8】若 |x+y|=y-x，则有（）A y 0 ， x 0B y 0 ， x 0Cy 0 ，x 0D x=0， y 0或 y=0， x 0【例9】已知： x 0 z，xy 0 ，且 |y| |z| |x| ，那么 |x+z|+|y+z|-|x-y|的值（）A 是正数B 是负数C是零D 不能确定符号【例 10 】给出下面说法：（ 1

7、）互为相反数的两数的绝对值相等；（ 2）一个数的绝对值等于本身，这个数不是负数；（ 3）若 |m| m ，则 m 0 ；（ 4）若 |a| |b| ，则 a b，其中正确的有（）A（ 1）（ 2）（ 3）B（ 1）（ 2）（ 4）C（ 1）（ 3）（ 4）D（ 2）（ 3）（ 4）【例 11 】已知 a ，b ，c 为三个有理数，它们在数轴上的对应位置如图所示，则|c-b|-|b-a|-|a-c|= _-1 c0a 1 b【巩固】知 a、b 、c 、d 都是整数，且 |a+b|+|b+c|+|c+d|+|d+a|=2，求 |a+d| 的值。【例 12 】若 x-2 ，则 |1-|1+x|=_若

8、|a|=-a ，则 |a-1|-|a-2|= _11111【例 13 】计算13.2007=222006【例 14 】若 |a|+a=0 ， |ab|=ab ， |c|-c=0 ，化简： |b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|= _【例 15 】已知数 a, b,c 的大小关系如图所示，cb0 a则下列各式： b a ( c) 0 ； ( a)b c 0 ； a bca 0 ；1； bca bc a b c b a c2b 其中正确的有（请填写番号）abc【巩固】已知：abc 0M=，且，当 a， b ，c 取不同值时， M 有 _abc种不同可能当 a、b 、c 都是正数时， M= _

9、；当 a、 b 、 c 中有一个负数时，则M= _；当 a、b 、c 中有 2 个负数时，则M= _；当 a、b 、c 都是负数时， M=_ 【巩固】已知 a，b，c 是非零整数，且 aabcabcb c 0 ，求bc的值aabc（三）绝对值相关化简问题（零点分段法）零点分段法的一般步骤：找零点分区间定符号去绝对值符号【例题】阅读下列材料并解决相关问题：x x0我们知道x0 x0，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，x x0如化简代数式x1x2 时，可令 x10 和 x20 ，分别求得x1，x2 （称1，2 分别为 x1 与 x2 的零点值），在有理数范围内，零点值 x1 和 x2

10、可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3 中情况：当 x1 时，原式x1x22 x1当1 x2 时，原式x1x23当 x 2 时，原式x1x22x12x1 x1综上讨论，原式31 x22x1 x 2（ 1）求出x2 和 x4 的零点值（ 2）化简代数式x2x4解：（ 1）|x+2| 和|x-4|的零点值分别为x=-2 和 x=4（ 2）当 x-2 时， |x+2|+|x-4|=-2x+2；当 -2 x 4 时， |x+2|+|x-4|=6；当 x 4 时， |x+2|+|x-4|=2x-2【巩固】 化简1.x1x22.mm1m2 的值3.x52x34.(1) 2x1 ；变式5. 已知x3x2

11、 的最小值是a ， x3x2 的最大值为b ，求a b 的值。（四） ab 表示数轴上表示数a 、数 b 的两点间的距离【例题】（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4 与2，3 与 5，2与6 ，4与 3.并回答下列各题：(1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：.(2)若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为1 ，A则与 B 两点间的距离可以表示为.(3)结合数轴求得|x-2|+|x+3|的最小值为，取得最小值时x 的取值范围为.(4)满足 x1x43 的 x 的取值范围为.(5)若 x1x2x3x2008 的值为常数，试求x 的取值范围（五）、

12、绝对值的最值问题例题 1: 1 ）当 x 取何值时， |x-1| 有最小值，这个最小值是多少？2) 当 x 取何值时， |x-1|+3 有最小值，这个最小值是多少？3) 当 x 取何值时， |x-1|-3 有最小值，这个最小值是多少？4）当 x 取何值时， -3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？例题 2： 1 ）当 x 取何值时， -|x-1| 有最大值，这个最大值是多少？2) 当 x 取何值时， -|x-1|+3 有最大值，这个最大值是多少？3) 当 x 取何值时， -|x-1|-3 有最大值，这个最大值是多少？4）当 x 取何值时， 3-|x-1| 有最大值，这个最大值是多少？若想很

13、好的解决以上2 个例题，我们需要知道如下知识点：、1 ）非负数： 0 和正数，有最小值是02）非正数： 0 和负数，有最大值是 03）任意有理数的绝对值都是非负数，即-|a|a| 0，则4）x 是任意有理数， m 是常数，则|x+m| 0 ，有最小值0是，- |x+m| 0有最大值是 0（可以理解为x 是任意有理数，则x+a依然是任意有理数，如|x+3| - |x+3|0 ，0或者 |x- 1| 0 ，-|x- 1| 0 ）5 ）x 是任意有理数，m 和 n 是常数，则|x+m|+n n ，有最小值n是- |x+m|+n n ，有最大值是n( 可以理解为 |x+m|+n是由 |x+m| 的值向

14、右 (n>0) 或者向左（ n<0) 平移了 |n| 个单位，为如 |x- 1| 0 ，则|x- 1|+3 3 ，相当于|x-1| 的值整体向右平移了3 个单位， |x- 1| 0 ，有最小值是0，则 |x-1|+3的最小值是3）总结：根据3 ）、4) 、5 ）可以发现，当绝对值前面是“+ ”号时，代数式有最小值，有“ - ”号时，代数式有最大值.例题解：1 ：1 ) 当 x 取何值时， |x-1| 有最小值，这个最小值是多少？2 ) 当 x 取何值时， |x-1|+3有最小值，这个最小值是多少？3 ) 当 x 取何值时， |x-1|-3有最小值，这个最小值是多少？4） 当 x 取

15、何值时， -3+|x-1|有最小值，这个最小值是多少？1）当 x-1=0时，即 x=1 时， |x-1| 有最小值是02 ）当 x-1=0时，即 x=1 时， |x-1|+3有最小值是33 ）当 x-1=0时，即 x=1 时， |x-1|-3有最小值是 -34 ）此题可以将 -3+|x-1|变形为 |x-1|-3 ，即当 x-1=0时，即有最小值是 -3x=1时，|x-1|-3例题 2 ：1 ）当 x 取何值时， -|x-1| 有最大值，这个最大值是多少？2 )当 x 取何值时， -|x-1|+3有最大值，这个最大值是多少？3 ) 当 x 取何值时， -|x-1|-3有最大值，这个最大值是多少

16、？4）当 x 取何值时， 3-|x-1| 有最大值，这个最大值是多少？解： 1 ）当 x-1=0时，即 x=1时， -|x-1|有最大值是 02）当 x-1=0时，即 x=1时， -|x-1|+3有最大值是 33）当 x-1=0时，即 x=1时， -|x-1|-3有最大值是 -34 ) 3-|x-1| -|x-1|+3可变形为 -|x-1|+3有最大值是3可知如 2）问一样，即：当（同学们要学会变通哦x-1=0 ）时，即x=1时，思考：若x 是任意有理数，a 和 b是常数，则1 ）|x+a| 有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时2 ）|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时3

17、) -|x+a|+b有最大（小）值？最大（小）值是多少？此时x 值是多少？x 值是多少？x 值是多少？例题 3 ：求 |x+1|+|x-2| 的最小值，并求出此时x 的取值范围分析： 我们先回顾下化简代数式|x+1|+|x-2|的过程：可令 x+1=0 和 x-2=0 ，得 x=-1 和 x=2 （-1 和 2都是零点值）在数轴上找到 -1 和 2 的位置，发现 -1 和 2 将数轴分为 5个部分1 ） 当 x<-1时，x+1<0，x-2<0，则 |x+1|+|x-2|=- （x+1）-(x-2)=-x-1-x+2=-2x+12 ） 当 x=-1时， x+1=0， x-2=-

18、3，则 |x+1|+|x-2|=0+3=33 ） 当 -1<x<2 时， x+1>0 ，x-2<0，则 |x+1|+|x-2|=x+1-(x-2)=x+1-x+2=34 ） 当 x=2时， x+1=3， x-2=0，则 |x+1|+|x-2|=3+0=35 ） 当 x>2时， x+1>0， x-2>0，则 |x+1|+|x-2|=x+1+x-2=2x-1我们发现：当 x<-1 时， |x+1|+|x-2|=-2x+1>3 当 -1 x 2 时， |x+1|+|x-2|=3当 x>2 时， |x+1|+|x-2|=2x-1>3所以

19、：可知 |x+1|+|x-2|的最小值是3，此时：解：可令x+1=0和 x-2=0 ，得 x=-1和 x=2-1（ -1x2和 2 都是零点值）则当 -1 x 2 时， |x+1|+|x-2|的最小值是3评：若问代数式 |x+1|+|x-2| 的最小值是多少？并求 x 的取值范围？一般都出现填空题居多；若是化简代数式 |x+1|+|x-2| 的常出现解答题中。所以，针对例题中的问题，同学们只需要最终记住先求零点值， x 的取值范围在这 2 个零点值之间，且包含 2 个零点值。例题4 ：求 |x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时x 的值？分析：先回顾化简代数式的过程可令x+

20、11=0，x-12=0，x+13=0得 x=-11，x=12，x=-13（-13 ，-11,12是本题零点值）1 ） 当 x<-13时， x+11<0，x-12<0，x+13<0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x-11-x+12-x-13=-3x-122 ） 当 x=-13时， x+11=-2，x-12=-25， x+13=0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=2+25+13=403 ） 当 -13<x<-11时， x+11<0， x-12<0 ， x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=-

21、x-11-x+12+x+13=-x+144 ） 当 x=-11时， x+11=0，x-12=-23， x+13=2，则|x+11|+|x-12|+|x+13|=0+23+2=255 ） 当 -11<x<12时， x+11>0， x-12<0 ， x+13>0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11-x+12+x+13=x+366 ） 当 x=12 时，x+11=23，x-12=0，x+13=25，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=23+0+25=487 ）当 x>12时， x+11>0， x-12>0 ，x+13>

22、;0，则 |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+11+x-12+x+13=3x+12可知：当 x<-13 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-3x-12>27 当 x=-13 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=40当 -13<x<-11 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=-x+14 ,25<-x+14 <27 当 x=-11 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=25当 -11<x<12 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=x+36 , 25<x+36<48当 x

23、=12 时|x+11|+|x-12|+|x+13|= 48当 x>12 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|=3x+12>48观察发现代数式|x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值是25 ，此时 x=-11解：可令x+11=0， x-12=0， x+13=0得 x=-11 ，x=12 ，x=-13 （-13 ，-11,12是本题零点值）将 -11,12 ， -13 从小到大排列为 -13<-11<12可知 -11处于 -13和 12 之间，所以当x=-11 时， |x+11|+|x-12|+|x+13|有最小值是 25。评：先求零点值， 把零点值大小排

24、列， 处于最中间的零点值即时代数式的值取最小值。例题 4 ：求代数式 |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值分析 : 回顾化简过程如下令 x-1=0,x-2=0,x-3=0,x-4=0 则零点值为 x=1 , x=2 ,x=3 ,x=4（ 1）当 x 1 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10（ 2）当 1 x 2 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8（ 3）当 2 x 3 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4（ 4）当 3 x 4 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-2（ 5）

25、当 x 4时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4x-10根据 x 的范围判断出相应代数式的范围，在取所有范围中最小的值，即可求出对应的x 的范围或者取值解：根据绝对值的化简过程可以得出当 x1 时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-4x+10 6当 1 x 2时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=-2x+8 4 2x+8 6当 2 x 3时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=4当 3 x 4时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|=2x-24 2x-2 6当 x 4时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4

26、|=4x-10 6则可以发现代数式的最小值是4 ，相应的 x 取值范围是 2 x 3归档总结：若含有奇数个绝对值，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值， 处于中间 2 个零点值之间的任意一个数 （包含零点值） 都可以使代数式取最小值例题 5 ：求 |x+11|+|x-12|+|x+13|的最小值，并求出此时分析：在数轴上表示出A 点-13 ，B 点-11 ，C 点 12 设点x 的值？D 表示数x则 DA=|x+13| DC=|x+11| DB=|x-12|当点 C 在点 A 左侧如图DA+DB+DC=DA+DA+AB+DA+AB+BC =AC当点当点A 与点D 在点重合时，

27、 DA+DB+DC=AB+ACACAB 之间时，如图DA+DB+DC=DA+DB+DB+BCAC当点D 与点 B 重合时，DA+DB+DC=AB+AC=AC当点D 在 BC 之间如图DA+DB+DC=AB+BD+DB+DC=AC+BD AC当点 D 与点 C 重合时， DA+DB+DC=AC+BCAC当点 D 在点 C 右侧时 DA+DB+DC=AC+CD+BC+CD+CD AC综上可知当点 D 与点 B 重合时，最小值是AC=12- （-13 ）=25解：令 x+11=0x-12=0|x+13=0则 x=-11 x=12 x=-13将 -11 ，12 ，-13 从小到大排练为 -13 -11

28、 12当 x=-11 时， |x+11|+|x-12|+|x+13| 的最小值是点 A（ -13 ）与点 C（12) 之间的距离即 AC=12-(-13)=25【例题 6】|x-1| 的最小值|x-1|+|x-2|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+

29、|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|的最小值【解】：当 x=1 时， |x-1| 的最小值是 0当 1x2 时， |x-1|+|x-2|的最小值当x=2时， |x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值2=2+0当 2x3时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|的最小值 4=3+1当 x=3时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x

30、-4|+|x-5|的最小值 6=4+2当 3x4时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|的最小值 9=5+3+1当 x=4时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|的最小值 12=6+4+2当 4x5时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-6|+|x-7|+|x-8|的最小值 16=7+5+3+1当 x=5时， |x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|的最小值 20=8+6+4+2当 5x6时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-8|+|x-9|+|x-10

31、|的最小值 25=9+7+5+3+1【解法2】：捆绑法|x-1|+|x-2|+|x-3|+|x-4|+|x-5|+|x-6|+|x-7|+|x-8|+|x-9|+|x-10|= （ |x-1|+|x-10|）+ （|x-2+|x-9|）+ （|x-3|+|x-8|）+ （ |x-4|+|x-7|）+ （|x-5|+|x-6|）若|x-1|+|x-10| 的和最小，可知 x 在数 1 和数 10 之间|x-2+|x-9| 的和最小，可知数 x 在数 2 和数 9 之间|x-3|+|x-8| 的和最小，可知数 x 在数 3 和数 8 之间|x-4|+|x-7| 的和最小，可知数 x 在数 4 和数

32、 7 之间 |x-5|+|x-6| 的和最小，可知数 x 在数 5 和数 6 之间若想满足以上和都最小，数 x 应该在数 5 和数 6 之间的任意一个数 （含数 5 和数 6 ）都可以。总结：若含有奇数个绝对值时，处于中间的零点值可以使代数式取最小值若含有偶数个绝对值时，处于中间 2 个零点值之间的任意一个数（包含零点值）都可以使代数式取最小值或者说将含有多个绝对值的代数式用捆绑法求最值也可以若想求出最小值可以求关键点即可求出【例题 7】（1）已知 |x|=3 ，求 x 的值（ 2）已知 |x| 3 ，x求的取值范围（ 3）已知 |x| 3 ，求 x 的取值范围（ 4）已知 |x| 3 ，x求

33、的取值范围（ 5）已知 |x| 3 ，求 x 的取值范围【分析】：绝对值的几何意义是在数轴上数x 到原点的距离，（ 1）若 |x|=3 ，则 x=-3或 x=3（ 2）数轴上 -3 和 3 之间的任意一个数到原点的距离都小于3 ，若|x| 3 ，-3则 x 3（ 3）若 |x| 3，则 -3 x 3（ 4）数轴上 -3 左侧和 3 右侧的任意一个数到原点的距离都大于3 ，若 |x|则3 ，x-3或 x 3（ 5）若 |x| 3，则 x -3 或 x3【解】：（ 1 ）x=-3或x=3(2) - 3 x 3(3 ) -3 x 3(5 ) x -3 或 x 3(4 ) x -3或 x 3【例题8】

34、（ 1）已知 |x| 3 ，则满足条件的所有x的整数值是多少？且所有整数的和是多少？（ 2）已知 |x| 3，则满足条件的 x 的所有整数值是多少？且所有整数的和是多少？【分析】： 从 -3 到 3 之间的所有数的绝对值都所以 3（ 1）整数值有 -3 ，-2 ，-1,0,1,2,3 ； 和为 0（ 2）整数值有 -2 ，-1,0,1,2 ；和为 0【解】：(1) |x|3 - 3 x 3 x 为整数 满足条件的 x 值为： -3 ， -2 ， -1,0,1,2,3 -3+-2+-1+0+1+2+3=0(2) |x| 3 -3 x 3 x 为整数 满足条件的 x 值为： -3 ， -2 ，-1

35、,0,1,2,3 -3+-2+-1+0+1+2+3=0【乘方最值问题】（ 1）当 a 取何值时，代数式（ a-3) 2 有最小值，最小值是多少？（ 2）当 a 取何值时，代数式 (a- 3)2+4 有最小值，最小值是多少？（ 3）当 a 取何值时，代数式 (a-3) 2-4 有最小值，最小值是多少？（ 4）当 a 取何值时，代数式 -（ a- 3)2 有最大值，最大值是多少？（ 5）当 a 取何值时，代数式 - (a- 3)2+4 有最大值，最大值是多少？（ 6）当 a 取何值时，代数式 -(a- 3)2-4 有最大值，最大值是多少？（ 7）当 a 取何值时，代数式 4- (a-3) 2 有最

36、大值，最大值是多少？分析：根据 a 是任意有理数时， a-3 也是任意有理数，则（ a-3) 2 为非负数，即（ a-3) 2 0，则 - （ a-3) 2 0可以进一步判断出最值解：（ 1）当a-3=0，即a=3时，（a-3) 2 有最小值是0（ 2）当 a-3=0 ，即 a=3 时，（ a-3) 2+4 有最小值是 4（ 3）当 a-3=0 ，即 a=3 时，（ a-3) 2-4 有最小值是 -4（ 4）当 a-3=0 ，即 a=3 时， - （a-3) 2 有最大值是 4（ 5）当 a-3=0 ，即 a=3 时， - （a-3) 2+4 有最大值是 4（6 ）当 a-3=0 ，即 a=3

37、 时， - （a-3) 2-4 有最大值是4(7 ) 4- （ a-3) 2 可以变形为 - (a-3) 2+4 ，可知如（ 5）相同，即当 a-3=0 ，即 a=3 时， 4- （a-3) 2 有最大值是 4（这里要学会转化和变通哦）评：很好理解掌握 a 2 即-a 2 的最值是解决本题的关键归纳总结：若 x 为未知数， a,b 为常数，则当 x 取何值时，代数式 (x+a) 2+b 有最小值，最小值是多少当 x 取何值时，代数式 - (x+a)2+b 有最大值，最大值是多少-【探究 1】某公共汽车运营线路AB 段上有 A 、D、C、B 四个汽车站，如图现在要在AB 段上修建一个加油站 M

38、，为了使加油站选址合理，要求 A 、 B 、C 、D 四个汽车站到加油站 M 的路程总和最小，试分析加油站 M 在何处选址最好？探究：设点A、 B、 C、D 、M 均在数轴上，与之对应的数为a、 b 、 c、d 、x，使M到 A、B、C、 D 距离和最小。MA+MB+MC+MD=|x-a|+|x-b|+ lx-cl+|x-d|其中MA+MB=|x-a|+|x-b|，由绝对值的几何意义知当 a x b时， MA+MB 值最小，（汽车站 A、 B 到 M 得距离和 =AB ）当 d x c时， MC+MD 值最小，（汽车站 C、 D 到 M 得距离和 =CD ）综上所述，当d x c时， MA+

39、MB+ MC+MD的值最小，( 要使A、B、 C、D四个汽车站到加油站M 的路程总和最小)即加油站M 应建在线段上。【探究 2】如果某公共汽车运营线路上有A1 ， A2 ， A3 A4 ，A5 五个汽车站（从左到右依次排列），上述问题中加油站M 建在何处最好？探究：加油站M 应建在 A3 汽车站【探究 3】如果某公共汽车运营线路上有A1 ，A2 ，A3 ， An 共 n 个汽车站（从左到右依次排列） ，上述问题中加油站M 建在何处最好？探究：当n 为奇数时，加油站M 应建在汽车站处；当 n 为偶数时，加油站M 应建在线段上。 (即此两站之间 )【探究 4】根据以上结论，求|x-1|+|x-2|

40、+.+|x-616|+|x-617|的最小值。探究：根据绝对值的几何意义，就是在数轴上找出表示x 的点，使它到表示1 、2 、617 各点的距离之和最小。根据【探究3】的结论，当x=309时，原式的值最小。最小值是|309-1|+|309- 2|+ +|309-308|+0+|309- 310|+ +|309-617| =308+307+ +1+1+2+ +308=95172.-【课后练习】1. （ 1 ）当 x 取何值时， x 3 有最小值？这个最小值是多少？（2）当 x 取何值时，5x2 有最大值？这个最大值是多少？（3）求 x4x5 的最小值。（4）求 x7x8x9 的最小值。2 已知x

41、1, y1 ，设 Mxyy12 yx4 ，求 M 的最大值与最小值3 、若 | ab1| 与 ( ab1)2互为相反数，求 3a2b1的值。4 若 ab1与 (ab1) 2互为相反数，则a 与 b 的大小关系是 ()A a>bBa=bCa<bD a b5 . 利用数轴分析 |x-2|+|x+3|，可以看出，这个式子表示的是x 到 2 的距离与 x 到-3的距离之和，它表示两条线段相加：当 x>时，发现，这两条线段的和随x 的增大而越来越大；当 x<时，发现，这两条线段的和随x 的减小而越来越大；当x时，发现，无论x 在这个范围取何值，这两条线段的和是一个定值，且比、情况

42、下的值都小。因此，总结，|x-2|+|x+3|有最小值，即等于到的距离。6. 利用数轴分析 |x+7|-|x-1|，这个式子表示的是x 到-7的距离与 x 到 1的距离之差它表示两条线段相减：当 x时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值；当 x时，发现，无论x 取何值，这个差值是一个定值；当x时，随着 x 增大，这个差值渐渐由负变正，在中点处是零。因此，总结，式子 |x+7|-|x-1|当 x时，有最大值；当 x时，有最小值；7 设 a bc0 ， abc0 ， bc caab 则的值是（）A -3B 1C3abc或 -1D -3或 18 设 a、b、c 分别是一个三位数的百位、十位和个

43、位数字，并且abc，abbcca则可能取得的最大值是绝对值（零点分段法、化简、最值）一、去绝对值符号的几种常用方法解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号， 使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。1 利用定义法去掉绝对值符号x( x0)根据实数含绝对值的意义，即| x |=，有x(x0)cx c(c0)xc或 x c(c 0)x 0( c 0)| x |< c0)； | x |> c(cxR(c 0)2 利用不等式的性质去掉绝对值符号利用不等式的性质转化| x |< c 或| x |> c ( c >0)来解，如 | ax b |> c ( c >0) 可为 ax b > c 或 axb < c ；| axb |<