算法大全第22章模糊数学模型

1、第二十二章模糊数学模型§1模糊数学的战本概念1.1模糊数学简介1965年，美国著名计算机与控制专家資徳(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并 在国际期刊Information and Control并发农了第一篇用数学方法研究模糊现象的论文 “Fuzzy Sets”(模糊集合)，开创了模糊数学的新领域。模糊是指*观M物差异的中间过渡中的“不分明性”或“亦此亦彼性”。如高个子 与議个子、年轻人与老年人、热水与凉水、环境污染严重与不严IE等。在决策中，也有 这种模糊的现象，如选举一个好干部，但怎样才算一个好干部？好干部与不好干部之间 没何绝対分明和尚定不变的界限。这些现象很难用经

2、典的数学来描述。模糊数学就是用数学方法研究与处理模糊现彖的数学。它作为门崭新的学科，它 是继经典数学、统计数学Z后发展起来的一个新的数学学科。经过短暂的沉默和争议Z 后,迅猛的发展起來了，而II应用越來越广泛。如今的模糊数学的应用已经遍及理、工、 农、医及社会科学的务个领域，充分的表现了它强人的生命力和渗透力。统计数学是将数学的应用范用从确定性的领域扩人到了不确定性的领域，即从必然 观彖到偶然现彖，而模糊数学则是把数学的应用范嗣从确定领域扩人到了模糊领域，即 从椅确现象到模糊现彖。实际中，我们处理现实的数学模型对以分成三人类：第一类是确定性数学模型，即 模熨的背駅貝冇确定性，对彖之间貝冇必然的

3、关系。第二类是随机性的数学模熨，即模 型的背景随机性和偶然性。第三类是模糊性模型，即模型的背景及关系只旳模糊性。1.2基本概念1.2.1模糊集和隶属换数定义1论域X到0J闭区间上的任意映射都确定X上的 个模糊集介力，“人叫做4的隶属函数，/4（x）叫做x对模糊集4的隶属度，记为:A = （x，d（x）|xwX使%=0.5的点忑称为模糊集A的过渡点此必最!I模糊性。显然，模糊集介4完全由隶属函数"a來刻画，当a（x） = 0,1时，A退化为一 个普通集。1.2.2模糊集合的表示方法当论域X为有限集时，记X=x1,x2,-.,xm,则X上的模糊集力冇下列三种常 见的表示形式。1） zad

4、eh表示法当论域X为有限集时，记X=x1,x2,-,x.则X上的模糊集4可以写成=如卫+ 迥 + . +吐J-259-#-注：“ y和“+”不是求和的意思，只是概持集介诸元的记号；“如勺2”不是分数，它表示点兀对模糊集力的隶属度是“八（兀）。io序偶表示法A = （不，“A （再），（兀，“A（XJ），,（心，“A （%） H1）向吊:表示法A = （“A （兀人Pa （心），"人（心）肖论域X为无限集时 X匕的模糊集A可以写成"3X注：“ f ”也不是表示积分的意思，“如巴2”也不是分数。J兀例 1 设论域 X =应(140)£(150),心(160),兀(17

5、0),氐(180),兀(190)(单位:cm)表示人的身高，X上的一个模糊集“待个子”(A )的隶属*1数“4(X)nf定义为/、140/.(X)=4190-140用Zadeh表示法，人 00.20.40.60.81人x2耳兀x5x6用向吊表示法，4 = (0.020.4.060.&1)例2设论域X = 0J, Fuzzy集A衣示“年老S B表示“年轻S Zadeh给出4、ri1+(三与厂的隶属度函数分别为0 < x < 5050<x<1000<x<2525<x<100A(70)« 0.94 ,即“70岁”属J： “年老”的程度

6、为0.94 o 乂易知A(60)q08.3(60)002可认为"0岁”是“较老的”。“年4空J50X、冲严屮¥门B = “年轻” =(_+ ( 5Jo X 如X1.2.3模糊集的运算常用取人7和取小7算子來定义Fuzzy集0间的运加定义2对丁论域X上的模糊集A, B ,其隶屈函数分别为/4(x) ,oI) 若对任意xe X ,有“8(x)M“O,则称A包含，记为BaA：II) 若AqBUBqA,则称A与相等，记为A=B.定义3对J 论域X上的模糊集A , B,1) 称 Fuzzy 集C = AUB , D = ACB 为 4 与B 的并(union)和交(mtersecti

7、on),C = (A U B)(x) = niaxA(x), B(x) = A(x) v B(x)D = (API B(x) = minA(x), B(x) = A(x) a B(x)他们相应的隶属度“cG)，“o(x)被定义为/c(x) = max/A(x),/(x)ii) Fuzzy集Ac为A的补集或余集(complement), Jt隶属度“A(x) = l-d(x)例3已知X= 1,2,345,6,78,人 0.3 0.5 0.8 0.4 0.11 2345° 0.203 0.9 0.5D =+,3456则令4U"牛+耳+竺+空+兰+空+F2 3456“口 0.20

8、30.13 45H 0.70.50.20.60.9111123456781.2.4隶属函数的确定方法模糊数学的基本思想是隶属度的思想。应用模糊数学方法建立数学模型的关键是建 立符介实际的隶屈函数。如何确定-个模糊集的隶属怖数至今还是尚未解决的问题。这 里仅仅介绍几种常用的确定隶属幣数的方法。(1) 模糊统计方法模糊统计方法是一种客观方法，主耍是基模糊统计试验的某础上根据隶屈度的客 观存在性來确定的。所谓的模糊统计试验包含以卜四个耍索：1)论域X ；11) X中的一个固定元素no x中一个随机变动的儿何/V (普通集)；IV)X «|'-个以"作为弹性边界的模糊集人，

9、对4*的变动起着制约作用。其中 x0 g A*,或者心住致使X。对A的关系是不确定的。假设做次模糊统计试验，则可计算出.A位w打亠人 e人的次数x0对A的隶屈频率=n实际I:,当"不断増人时，隶爛频率趋于稳定，其频率的稳定值称为入对A的隶屈度, 即xo 6 Z*的次数"2)= lmin指派方法-265-指派方法是-种上观的方法，它上要依据人们的实践经验來确N東些模糊集隶属函 数的一种方法。如果模糊集定义在实数域R上,则模糊集的隶屈函数称为模糊分布。所谓指派方 法就是根据问题的性质主观地选用某些形式地模糊分布，再根据实际测吊数据确定氏屮 所包含地参数，常用的模糊分布如表1所示

10、。实际屮，根据问题对研究对彖的描述來选择适当的模糊分布： 偏小型模糊分布-般适介丁描述像“小，少，浅，淡，冷，疏，青年”等偏小 的程度的模糊现彖。 偏人型模糊分布-般适介丁描述像“大，多，深，浓，热，密，老年”等偏大 的程度的模糊现彖。 中间型模糊分布-般适合J：描述像“中，适屮，不人多，不太少，不太深，不 太浓，暧和，中年”等处J：中间状态的模糊现象。但是，表I给出的隶屈函数都是近似的，应用时需耍对实际问题进行分析，逐步修 改进行完善，iii/ufy到近似程度更好的隶加函数。(2) K它方法在实际应用中，用來确定模糊集的隶属隨数的方法爪多种多样的，主耍根据问题的 实际意义來确定。悸如，在经济

11、管理、社会管理中，可以借助J记右的“客观尺度”作 为模糊集的隶属度。卜面举例说明。如果设论域X表示机器设备,在X上定义模糊集A = “设备完好”,则可以用“设 备完好率”作为A的隶属度。如采X表示产品，在X上定义模捌集力一“质尿稳定”, 则町以用产胡的“止品率”作为A的隶属度。如果X表示家庭，在X上定义模糊集A =“家庭贫困”，则可以用“Engel系数=食品消费/总消费”作为A的隶属度.另外，对J：有些模糊集而言，肖接给出隶屈度白时是很闲难的，但可以利用所谓的 “二元对比排的公”來确泄，即首先通过两两比较确泄两个尤索相应隶属度的人小排出 顺序，然厉用数学方法加工处理得到所需的隶屈函数。农1能用

12、的模糊分布类 型偏小型中间型偏大型矩 阵 型1, x<aPa =fl, a<x<b O、 x < aider > b“41, x>a0, x <a梯形型Aa =1,x<ab-x.,a<,x<bh-a0,x>btox-a.,a<x <bb-a1,b 5 x S cd-x.,c<x<dd-c0、x < ci. x > dQx <ax-a.,a <x<bb-aLx>bk 次 抛 物Lx<a(?-7, a*bb-a0.x>bPa =<to尸r, a<x&

13、lt;hb-aLb<x<c(4C<x<d d-c0.x<a. x> cl"八h0.x<aca)k, a<x<b b-a1,x>br 空Jl,xa"八十严丫 x>aPa = * (La)e x <a« 1,a<x <b严V x>bPa =0,x<ay-e'k<xax>a1E 态"心Lx <aexp<一 K x> a“Tvo,l-exp<wx<a-(b)宀“柯 两 型"人"(Lx<a1,x

14、> a l + a(x-a)fi0 > 0. 0 > 0),_ 11 + a(x-a)fi(a>0, 0为正偶数)Pa =<(0,x<a1,x>a l + a(x-a) °a > a 0 > o)1.3模糊关系、模糊矩阵267-1.3.1 基本概念定义4役论域，V,乘积空间上（/" = （“,训川WU上的一个模糊 子集R为从从集合到集介V的模糊关系。如果模糊关系R的隶属换数为Pr : xVt0,1,（x,y）“R（x,y）则称隶属度"具x,刃为（X, y）关模糊关系R的相关程度。这是一元模糊关系的数学定义，多元

15、模糊关系也可以类似定义。设 =兀,兀,兀”，卩=儿，儿,儿，/?为从从到V的模糊关系，K 隶属函数为R（x,y）,対任意的（兀,儿）e UxV /（兀,儿）=匚严0,1, 7 = 12"J = 12，“，记尺=（©）咖,，则/?就是所谓的模糊矩阵。卜面给出一 般的定义.定义5设矩阵R =（巾）2 且0,1,心1,2,/nJ = 1,2,/,则R称 为模糊矩阵。特别地，如果ryG 0,1,心1,2," = 1,2,/,则称/?为布尔（Bool）矩阵。 当模糊方阵/? = （/ ）的対角线上的尤素都为1时，称R为模糊自反矩阵。当m = 1或者n = 1时，相应地模糊矩

16、阵为或者 R，则分别称为模糊行向最和模糊列向最。例4设评定科研成果等级的指标集为=（比,兀,兀），兀表示为科研成果发 明或创造、革新的程度，疋表示安全性能，小表示经济效益，兀表示推广前景，兀表 示成熟性：V表示定性评价的评语论域U =（儿，儿,儿，儿），）1，儿，儿,儿分别表示很 好、较好、一般、不好。通过专家评审打分,按卜表给出UxV±每个有序对（兀,）指 定的隶属度。表2有序刈（兀）指定的隶属度Vyi很好2较好力一般八不好Xl0.450.350.150.05X20.300340.100.26A30.500.300.100.10X40.600.300.050.05<V50.5

17、60.100.200.14rh此确定一个从到V的模糊关系R 这个模糊关系的隶属度两数是一个5x4阶的矩阵,记为'0.450.350.150.05'030.340.10.26R =0.50.30.10.10.60.30.050.05,0.560.10.20.14,则/?为一个模糊关系矩阵。1.3.2模糊矩阵的运算及JI性质（1）模糊矩阵间的关系及并、交、余运算定义6 设A = a几皿,B = （b几J = 1冲J = 12M都是模糊矩阵,定义A = B O a = 1)寸:A<B<=> atj <btj ；I）相等：II）包含:III）并：-271-iv)

18、交;#-#-v)余:AClB = (ai.Ab.)mxn"=(1_知)”“#-#-例5AUB =r 1<04o.r0.9,070、,0.3 0.5,#-#-(2) 模糊矩阵的介成定义7设力=(©)炳“，称模糊矩阵AoB = Cjhz为A与B的合成，其中<k<s#-#-<0.4 0.70、0.7、例6设人=、B =0.40.6i 10.80.5/、00.3,则070.70.5、B o A =0.60.60.5.030303>#-#-两模糊炬阵合成的MATLAB Ph数如卜：function ab=synt(a r b);m=size(az1);n

19、=size(bz2);for i«l:mfor j=l:nab(i,j)=max(min(a(i/：)；b(:,j)*)；end#-#-#-模糊方阵A = （u.）,nxm的峯定义为A2 = Ao A , Ak = Akl oA（3）模糊矩阵的转宣定义8设A =（讥和,/ = 1,2,/,; =1,2,/?,称屮=（町）仙为A的转 置矩阵，其中a； =6。（4）模糊矩阵的几-栽矩阵定义9设A =（旬）”冈，対任意的A e 0,1,i）令° J1'“"0, J < A则称A, = （a）mxtl为模糊矩阵A的A截矩阵。11）令则称A.=（矿）”旳为模糊

20、矩阵A的2强截矩阵。显然，对r任意的久wo.i,2截矩阵是布尔矩阵。，10.50.20、0.510.10.3例7设力=,则0.20.110.8、°0.30.81 >10 01100、A)5110 01101001 1，A> 3 =0011<001 10111>卜面给出模糊矩阵的一个性质。性质 设A = (®)”闻，i = 12，加,j = 1,2,是模糊自反矩阵(对角线上的兀素G都为1的模糊矩阵)，I SiH阶单位矩阵，则I <R<R2证：因为A = （t7.）mx是模糊自反矩阵，即有广产1,所以I 5R,又 max（«（Jl

21、a .）|1 </：</?> q 7= rti§2模糊模式识别本节我们假定论域为/ , U上的模糊集的全体记为F(U)02.1模糊集的贴近度 贴近度是对两个模糊集接近程度的-种度最。定义10设AB.CeF(/),若映射N :F(U)xF(U)0A满足条件：(1) N(A、B) = NlB、A)；(2) N(£4) = l, N(g)= 0,这里为空集：(3) 若AcBcC,则N(A,C)SN(A,B)/N(B,C)；则称N(A、B)为模糊集A与B的贴近度。N称为F0)上的贴近度函数。1. 海明贴近度若 =则当为实数域上的闭区间0上时,则冇| A（u）- b

22、（u） flu2. 欧儿里得贴近度若 =1“,心,则Ng 仝1 -£（畑）- （"，）'VH k 1=1当 = S，b时,则有若（f （他一如円"3. 黎曼贴近度若为实数域，彼枳函数为黎曼可积，11广义积分收敛，则(A(«) a B(u)duN、(A B)pX(A(w) v B(u)du2(4(") a B(ii)du“咕映+如例 8 设(/=ojoo, n-275-#-Q 0 < x < 20A(x)=x-204020 < x < 60,1、60 K100bI 0 5 x v 40QQ _ yB(x) = 2,

23、 40<x<8040(X 80 K 100-#-#-见图lo求黎曼贴近度NA.B）。-#-解 不难求得4（小利（x）的交点坐=50.是A(x) a B(x)= <x-204080-x4020<x<5050 < x < 80其它-#-#-A(x) v B(x)= <80-x40x-20401,0<x<4040 < x < 5050<x<6060<a <100flOO ,fN (A B)=轴0.2308£ (A(u)y B(u)du计算的MATLAB程序：i)编写定义函数A(A)aB(A)的M

24、ATLAB函数function f1=jixiao(x);f 1=(x>=20 & x<50).*(x-20)/40+(x>=50 & x<80)(80-x)/40;11)编写定义函数A(X)V(.V)的MATLAB函数function f2=jida(x);f2=(x>=0 & x<40)+(x>=40 & x<50)*(80-x)/40+(x>=50 &x<0).*(x-20)/40+(x>=60 & x<=100);hi)利用MATLAB的积分命令quadl计算Nl=q

25、uadl ( jixiao, 0 1100 ) /quadl ( 0 jida, 0,100 )例9设U = R （实数域），正态型隶属函数-#-#-A(x) = ex-a-#-求肖6S6时，N(A.H)(见图2)-277-#-解当 5 S 込 /xe R. A(x) < B(x)根据黎曼贴近度，仃N“)=N")=j A(x)dx + B(x)dx256 + 62.2格贴近度定义10设A.BeF(U),称A O = v (A(u) a B(u) uU为模糊集A,B的内枳。内积的对偶运算为外积。定义11设A,BwF()，称A®8= a (A(u)v B(u) iiU为模

26、糊集的外枳。如果在闭区间0,1±定义“余”运算：X/ae0A, ae =l-a,那么仃性质1性质 1(A ® B)c = A OBC, (A0 B)e =® Bl。对 A g F(U),令-#-« = v A(u), « = a A(u) ueu_ ueuR和g分别叫做模糊集力的峰值和谷值。対模糊集A”,C,不难得到如卜性质。性质 2 A 0 B <a aF , A(Bf 8>avh.性质3 A0A=«, AA=a性质 4 v (A(z) B) =(i fa (A)B) = aBhU)Bh(U)一性质 5 AcB=>

27、 A Q)B = a , A®B = b性质6 A0 A S丄，A®B>丄2 2性质 7Ac=> AG)<0C,并且 AC<B)C由性质发现，给定模糊集A,让模糊集第近A,会使内积AG) 增人而外积 减少。换句话说，当较人H.A0B较少时，A与比较贴近。所以，采 用内枳与外积相结合的“格贴近度”來刻画两个模糊集的贴近程度。引理1设A,BwF(t/),令(A,) = (AOB)a(A®B)c,则下列结论成立:(1) O<(A,B)<1：(2) (A,B) = (B. A)；(3) (A,A) = a a (1-fl)：(4) A

28、c Bc C => (A,C) <(A.B)(8,C)特别当 a = , 2 = 0 时.(A，A) = 1“根据引理1和贴近度的定义，立即得到：定理1设A,wF(U),则(4)=(A 0 ) A.(力 & B)'是模糊集AB的贴近度，叫做AB的格贴近度。记为N(A. B) = (AOB)a(A® B)例10设论域/?为实数域模糊集的隶属函数为A(x) = eB(x) =tel-273-#-求 N(A、B)°解法I(格贴近度法)对上述函数，何若 A(x) < B(x) 则 AQB= v (A(x) a B(x) = v A(x) = B(x

29、)xeRxeR若 B(x) < A(x),则 AGB= v (A(x) a B(x) = v B(x) = A(x),v/fve/e可见，内积A©B是A(x)与相等时的值，这时x = x故可令A(x) = B(x).求得0*厲 + G 46 巧-#-#-其中兀不是最人值点,故选。于是AQB = A(xl) = e 叽丿ifiJAc 0BC= v (1- A(x) a(1- B(x) = 1 xR由格贴近度公式，得N(D =宀“丿解法II （黎曼贴近度法）其屮，</<«2,疋=也+叽(见解浓I)。巧+ 6求解式中各枳分非常麻烦，这里就不解卜去了。不过已经发现

30、求解此题，以选择 格贴近度法最好。2.3模糊模式识别原则模糊模式识别人:致冇两种方法，一是直接方法，按“最人隶屈原则” !/1类，主要应 用F个体的识别;另一是间接方法,按“择近原则”归类,一般应用F群体模型的识别。2.3.1瑕人隶属原则设g F(U) (i = l，2,/人对u0 eU 9若存在使Ao Wo)= max人(w0), A2 (u0 人，人(w0)则认为“0相对地隶属&,这是最人隶属原则。例11考虑人的年龄问题，分为年轻、中年、老年三类，分别对应三个模糊集人,人，人。设论域=(0,100,且対XE (0,100ii1, 0 < x < 20九(x) = 1_A

31、 20 )，20<x<30,30 <x <400. 40 vx5100 0, 0 < x < 50 2即,沁5, 60 < x < 701, 70 vx 51000, 0 < x < 20f v-20 V2 - , 20 < x < 30 20丿f x-4021-2 , 30vx <40A2(x) = l-Al(x)-Ai(x) = I 201, 40 vx <5050 < x < 6060<x<700, 70 vx <100某人 40 岁，根拥上式，(40) = 0 , A2(4

32、0) = 1,(40) = 0,贝UA2 (40) = maxA1 (40), A2 (40), A, (40) = 1按最人隶属原则，他应该是中年人。又如当 x = 35 时，九(35) = 0.125,血(35) = 0.875,九(35) = 0。可见 35 岁的人应该是中年人。23.2择近原则设(i = l,2,/),若存在g,使N (比,B) = maxN(£, B), N(A, B),N (力”,B)则认为B与&最贴近，即判定与&。为一类。该原则称为择近原则。例12现有五个等级的茶叶样品人,人，九,人4,人，待识别茶叶3。反映茶叶质 帚的因素冇六项指标，构

33、成论域，其中U = 坷(条索),兀(色泽)，兀3(净度),斗(汤色),兀5(香气)，兀(滋味)设五个等级的样品对6项指标的数值为：人=(0.5,0.4,03,0.6,0.5,0.4)A2 = (0.3,0.2,0.2,0 丄 0.2,0.2)-275-A3 =(0.2,0.2,0.2,0.1,0.1,02)A4 =(0.0.1,0.201,0 丄 0.1)A5 =(001,0 丄 0.1,0 丄 0.1)待识别茶叶的各项指标值为B = (0.4,0.2,0.1,0.4,0.5,0.6)确定B的属类。解利用格贴近度公式计算可得N(B, I) = 0.5 . N(B、U) = 0.3, N(B,

34、HI) = 0.2 ,N(B,IV) = 0.2, N(B,V) = 0.1按择近原则，可以将定为一级茶叶(与九同属一类).计算的MATLAB程序如卜：a-0.5 0.4 0.3 0.6 0.5 0.40.3 0.2 0.2 0.1 0.2 0.20.2 0.2 0.2 0.1 0.1 0.20 0.1 0.2 0.1 0.1 0.10 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1;b=0.4 0.2 0.1 0.4 0.5 0.6;for i=l:5x=a(i,:);b;t(i)-min(max(min(x) l-min(max(x);end t§3模糊聚类分析方法在工程技术和经济管理屮

35、，常常盂耍对菜些指标按照一定的标准(相似的程度或亲 疏关系等)进行分类处理。例如，根据生物的某些性态对其进行分类，根据空气的性质 对空气质彊进行分类，以及工业上对产品质届的分类、工程上对工程观模的分类、图像 识别中对图形的分类、地质学中对土壤的分类、水资源中的水质分类等等。这些对客观 M物按一定的标准进行分类的数学方法称为聚类分析，它是多元统计“物以聚类”的一-276-种分类方法。然仏 在科学技术、经济管理屮仃许多事物的类与类之间并无清晰的划分, 边界具冇模糊性，它们之间的关系更多的是模糊关系。对-这类爭物的分类，一般用模 糊数学方法、我们把应用模糊数学方法进行的聚类分析，称为模糊聚类分析。3

36、. 1预备知识3. 1. 1模糊等价矩阵定义12设R = (rij)nKn是"阶模糊方阵，212=/是阶单位方阵，若R满足 自反性：/</?(<=> z;7=l)： 対称性：疋=R (o q = rjf)； 传递性：R2 <R (O max/A a akiL<k </?> rtj)；则称/e为模糊等价矩阵。定理2设R = Wj)mS 阶模糊等价方阵，则V2 G 04, R,是H阶等价布尔 矩阵.定理3设/? = (©)加是阶模糊等价矩阵，则VO<2</<1, 所决定的分 类屮的每一个类足尺彳所决定的分类屮的某个了集

37、。这就是说，如果兀，七按/?“分在一类，则按&(O<A</<1)也必分在一类，即 尺“所决定的分类中的每-个类是所决定的分类小的某个了集。定理3表明：当久v“时，/?“的分类是心分类的加细，当2由1变成0时，心 的分类由细变粗，形成一个动态的聚类图，称Z为模糊分类。-277-例 13 设 X =xrx2,xx4,x590.410.40.40.4R =0.80.41050.50.50.40.510.610.4 0.8 0.5 0.5、(05 0.4 0.5 0.61容易脸证，R为模糊等价矩阵。当几=1时.& =(000、00 01 00 10 00 00 00

38、00 0得到的分类是兀,*,*,£,£:<1010001000当几=0.8时，/?os =1010000010000010 1丿,得到的分类是XOX3,X2,JC4,；V 00 110000、0当2 = 0.6时,Rg =1010000011、00011>U011r01000当2 = 0.5时，凡5 =10111101110111>得到的分类是得到的分类是xnx3,x4,x5,x2；-279-Il1当 2 = 0.4 时,Rq5= 1111111111111 1)1 11 11 11 k得到的分类是x15x2,x3,x4,x5o-281-3.1.2模糊郴似

39、矩阵定义13设R =(g)”x”是"阶模糊方阵，心12，加J = 12,打，/是阶单位方阵，若/?满足/ </?(»/ =1)； 自反性： 対称性：则称R为模糊柑似炬阵。宦円 没/?为心同和似护旳炖代金 个最小的il然实* (A- </).付专川为吨糊等价矩阵,且对一切大于R的自然数/,恒有证明从略。定义13定理4中的”称为/?的传递闭包矩阵，记为t(R).宙定理4可以紂到将"阶模糊相似矩阵R改造成阶模糊等价矩阵的方法:从”阶模糊相似矩阵A出发，依次求平方：RtRrJ，ri到为止，则/? oR2 = R2 (21 </,/< log, n)

40、-#-#-/(/?)=/? o-#-例14设0.10.2、R =0.110.3、0.20.31 >容易脸证，R为模糊相似矩阵，用平方法求其传递闭包/(/?)。(10.102< 10.102(10.202、RoR =0.110.3O0.110.3=0.210.33031Z1 0.20.31J /,0.20.31/=R20.20.2、< 10.20.2)10.20.2、0.210.300.210.3=0.210.30.2031Z<0.20.31Z、020.31 z=R2R。R=故传递闭包0.20.2、RR)=R、=0.210.3,0.2031丿容易验证.传递闭包f(R)是模

41、糊等价炬阵。3.2模糊聚类分析法的基本步骤Stepl：数据标准化(1) 获取数据设论域X =几耳,，兀为被分类的对象，每个对象乂由加个指标表示其性态, 即兀=兀】，兀2 , ，兀”, (/ = 1,2,，")是可以得到原始数据矩阵A =(七)”5(2) 数据的标准化处理在实际问题中，不同的数据可能冇不同的性质和不同的駅纲，为了使原始数据能够 适合模糊聚类的要求，石耍将原始数据矩阵A作标准化处理，即通过适当的数据变换,-280-将其转化力模糊雉阵。常用的方法仃以卜两种;平移一标准差变换兀;= (； = 1,2,/!, y = 1,2,/?)J nJ n丄兀=一工兀八巧=一工(®

42、;-兀)汗> () = 12") “ /!/"1屮移一极差变换如果经过半移一标准差变换后还有某些对0J,则还需对其进行半移一极差变 换.即x -inuix xa => (丿=12，曲)maxx. - nunx.l<i<n J <i<n J显然所冇的x/7 e 0J, fl也不存在吊纲因素的影响.从而可以得到模糊炉阵Step2:建立模糊相似矩阵设论域x =心心,£，兀=x,x”,x爲（i = 1.2丿），即数据矩阵人=（叼）仙。如果召与心的相似程度为"RE） 则称之为相似系数。确定相 似系数匚右卜列方法。（1）数量积法对

43、 J -兀=xa，兀2,Xim，令 M = inax( xik xik),则取显然k|wOl，若出现某些rtj <0,可令石=苓1则有力0。也可以用平移一极差变换将其斥缩到0上.可以得到模糊相似矩阵R =。(2) 夹角余弦法-281-#-(3) 相关系数法-#-#-指数相似系数法3(xik xjkY4 -#-#-其中I n書0一J，(一1，2，加-#-#-(5) 蝕人垠小值法m工(心7)宇，(X,. > 0, /J = 1,2,/?)A-1(6) 算术平均值法XU* AX.J5=，(£>0, /J = 1,2,/?)茫(H)厶JIM(7) 几何平均值法工(心八Xjj

44、*=1(8) 绝对值倒数法其屮M为使得所仃r, e 0,1 (zj = 12/)的确定帘数。(9) 绝对值指数法m% =exp-”心 一x(门=1,2,)(10) 海明距离法© =_H dgXj)d(T)= »S_JE其屮H为使得所冇© g 0J (i,j = 12/)的确定常数。(11) 欧氏距离法© =lEd(x“Xj)-283-#-其屮E为使得所仃© g 0J (/； j = 12/)的确定常数。-#-#-(12)切比雪夫距离法|=1-0心,厂)p/(x,.,xy)= vjx/Jt- Xjk英屮！2为使得所有© 6 04 (i,

45、j = 1,2,-,/?)的确定常数。(13)主观评分法设仃N个专家组成专家组戸，卩2，/，让每一个专家対所研究的对象兀与心相似程度给出评价，并对自己的自信度作出评估。如果第R位专家Pk关J：対象兀与 厂的相似程度评价位讥),对自己的自信度评估为勺(R),(门=1,2,/),则相 关系数定义为£ (绻伙)©()m伙)*1Step3:聚类所谓聚类方法就是依据模糊矩阵将所研究的对彖进行分类的方法。对J：不同的直信 水平A G 0J,町以得到不同的分类结果，从而形成动态聚类图。常用的方法如卜:(1) 传递闭包法从Step2屮求出的模糊相似矩阵R出发，来构造一个模糊等价矩阵R H方

46、法就是用平方法求出/?的传递闭包/(/?),则t(R) = R然后,由人到小取一&Ue0J, 确定相应的人截矩阵，则可以将梵分类，同时也可以构成动态聚类图。(2) 布尔矩阵法设论域x=52,，兀, /?是x上的模糊柑似矩阵，对j确定的几水平耍求X屮的尤素分类。首先，由模糊相似矩阵作出其兄截矩阵$=（©（&）,即殘为布尔矩阵；然后,依据&中的1尤索可以将其分类。如果心为等价矩阵，则/?也是等价矩阵，则可以育.接分类。若尺不是等价矩阵，则1T先按i定的规则将尺,改造成-个等价的布尔矩阵，再 进行分类。（3）ft接聚类法此方法是直接由模糊相似矩阵求出聚类图的方法，具

47、体步骤如下:1）取人=1（垠人值），对J每个兀作相似类：兀h=®b=l,即将满足=1 的兀与厂视为一类，构成相似类.相似类和等价类冇所不同，不同的相似类可能有公共元素，实际中对J这种情况可 以合并为一类。2）取儿a<a）为次人值，从尺中直接找出相似程度为人的尤素对（兀宀）, 即匚=2,并相应地将对应1-=1的等价分类中兀与®所在的类介并为一类，即可 得到入水平上的等价分类。3）依次取人人 >人 > ，按第2）步的方法依次类推，直到合并到X成为一类 为止，最后可以得到动态聚类图。3.3模糊聚类分析应用案例例15某地区内有12个气線观测站，10年來各站测得的年

48、降水起如表3所示. 为J'廿省开支，想耍适当减少气象观测站，试问减少哪些观察站町以使所得到的降水横 信息仍然足够人？衷3年降水（mm）站1站2站3站4站5站6站7站8站9站10站11站121981276.2324.51586412.5292.82584334.1303.2292.9243.2159.7331.21982251.5287.3349.5297.4227.8453.6321.5451.0466.2307.5421.1455.11983192.7433.2289.9366.3466.2239.1357.4219.7245.7411.1357.0353.2-285-1984246

49、2232.4243.7372.54604158.9298.7314.525663270296 5423.01985291.73110502.4254.0245.6324.8401 0266.5251.3289.9255.4362.11986466.5158.9223.5425.1251.4321.0315.4317.4246.2277.5304.2410.71987258.6327.4432.1403.9256.6282.9389.7413.2466.5199.3282.1387.619884534365.53576258.1278.8467.2355.2228.5453.6315.6456.

50、3407.21989158.2271.04102344.22500360.73764179.4159.2342.4331.2377.719903248406.5235.7288.81926284.9290 5343.7283.4281.2243.7411.1解 我们把12个气彖观测站的观测值看成12个向彊组，山J：本题只给出了 10年 的观测数据，根据线性代数的理论可知，若向岚组所倉向尿的个数人J：向吊的维数，则 该向帚纽必然线性相关。是只耍求出该向杲组的秩就可确定该向最组的最人无关组所 含向届的个数，也就是碍保阳的气彖观测站的个数。由J：向届组屮的其余向彊都町由极 人线性无关组线性衷示，因此，可以使所得到的降水信息蹴足够人。用 i = 1,2,0 分别表示 1981 年，1982 年，1990 年。( / = 1,2,-,10 ,j = L2,-,12)表示第丿个观测站第i年的观测值，记A = (a,y)10xl2o利用MATLAB可计算出矩阵A的秩nA) = 10, H任意10个列向杲组成的向最组 都是极人线性无关组，例如，我们选取前10个气彖观测站的规测值作为极人线性无关 组，则第11, 12这两个气彖观测站的降水届数据完全可以宙前10个Y彖观测站的数据 表示。设兀(/ = 1,2<-.,12)表