数学物理方法第一章

1、2021-10-291第一章复变函数论基础复变函数论基础 2021-10-292简介基本内容：基本应用：重 点：难 点：复数、复变函数及其导数、解析函数、解析的充要条件、解析函数的几何意义、复变函数积分、柯西定理、柯西公式C-R条件的应用、Cauchy公式及其与定理的联合应用已知解析函数的实部（或虚部）求该解析函数 、Cauchy公式及其与定理的联合应用解析函数（是本章的重点，也是本篇的重点）2021-10-2931.1复数复数2021-10-294实部实部Rez=x 虚部虚部Imz=y yxzi1i）或1i(2（一）复数的定义（代数式）（一）复数的定义（代数式）复数z=x+iy虚数单位虚数单

2、位:z的共轭复数共轭复数:z*或2021-10-295（二）复数的几何意义（复平面与复矢量）（二）复数的几何意义（复平面与复矢量）一个复数复平面上的一个点复矢量复矢量复平面复平面横轴为实轴，纵轴为虚轴的平面2021-10-296)sini(coszie22yxz)20(00n20（三）三角式及指数式（三）三角式及指数式（尤拉公式，证明见第三章）幅角幅角 Argz=arctg(y/x),具有不唯一性不唯一性为Arg z的主值，则（多值函数的多值性与幅角的不唯一性有密切关系）模模取在复平面上取极坐标，则P5,例题例题12021-10-297)( i)(212121yyxxzz, 1i2)( i)(

3、1221212121yxyxyyxxzz22222zzzyxzz222121zzzzz,)( i212121ezz)( i212121ezznnnezi)2(1ii0knnnnneez加加减:实、虚部分别相加减乘除: 利用 采用指数形式更方便乘方: (k=0,1,2，n-1)是n值函数.（四）代数运算（四）代数运算开方:2021-10-298无限远是一点无限远是一点复数复数0和和的幅角无意义的幅角无意义.复平面上模为无穷大的点规定为一点，叫无穷远点复平面上模为无穷大的点规定为一点，叫无穷远点两种不同的理解方式：两种不同的理解方式：复球面和复球面和=1/z（五）无穷远点（五）无穷远点作业：作业：

4、1.2， 1.6， 2.4， 2.5，42021-10-2991.2 复变函数复变函数2021-10-2910复变函数复变函数：当当z=x+iy在复平面上变化时，如果对于在复平面上变化时，如果对于z的每一个值，的每一个值，都都有一个或多个复数值有一个或多个复数值w与之与之对应，则称对应，则称w为为z的函数，的函数， w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，z称为宗量称为宗量. 单值单值 多值多值（一）复变函数定义（一）复变函数定义0zz的点也有的邻域中有边界点及邻域外点及邻域内点：EEzEzEzEzzz000000复平面上的复平面上的区域（复平面上的点集）区域（复平面上的点集） z0的邻域

5、：（是任意小的正数）点集组成的折线连起来内任两点都可由内点具有连通性内点）属于集合（圆心的一个充分小的圆它为内的每一个点，都有以在BbDaB)(开)区域区域 2021-10-2911境界线正向约定境界线正向约定：沿正向前进，区域始终在左手一侧及以上多连通：境界线在两条单连通：境线只有一条区域的区域的连通阶数连通阶数P10,例例1（二）复变函数的几何意义（二）复变函数的几何意义实变函数 一条平面上的曲线复变函数 映射(一个平面映射到 另一个平面)P11，例，例2闭区域闭区域:区域B连同其境界线构成的点集B2021-10-29122izzee2cos,i 2siniiiizzzzeezeezzz

6、cos,sin2cosiiyyyzeez)2( iln)ln(ln0inez)20(0（三）初等函数（三）初等函数： 纯虚周期2i无界，如无限多值，除0、外都有对数.coshz=(ez+e-z)/2； sinhz=(ez-e-z)/2coshz=cos(iz); sinhz=-isin(iz)周期性：2i； 奇偶性；平方差公式；和角公式（1）（2）（3）（4）名称、形式与实初等函数相同，但其性质却有不同,如：2021-10-2913（四）复变函数的极限和连续性：说明：说明：极限存在与否与在极限存在与否与在z0点有无定义无关；极限值与趋近方式无关。点有无定义无关；极限值与趋近方式无关。连续性：连

7、续性： 设在复平面的某一区域内定义了一个函数设在复平面的某一区域内定义了一个函数w=f(z)。如果自变。如果自变量量z在这区域内以任何方式趋于一点在这区域内以任何方式趋于一点z0时，时，f(z)都以都以f(z0)为极限，为极限，则称则称f(z)在在z0连续，如果连续，如果f(z)在区域内的所有点上都连续，就称在区域内的所有点上都连续，就称它在区域内连续。它在区域内连续。极限： 设w=f(z)是z0的无心邻域中有定义的单值函数，并且对于任意给定的正实数，总能找到正实数，使得当0|z-z0| 时，有|f(z)-w0| ，那么常复数w0就称为f(z)当z趋于z0时的极限。作业：作业：1.1，1.6，

8、2.2，3，4.2，5.1，6.21.3 复变函数的导数和解析性复变函数的导数和解析性 保角映射保角映射2021-10-29142021-10-2915zzfzzfz)()(lim0zzfzzfzfzfZ)()(lim)(dd0若f(z)在z单值连续，且存在，zczczczc212212sin)cos(1)定义形式与实变函数的导数同定义形式与实变函数的导数同实变函数的求导法则及实初等函数的导数实变函数的求导法则及实初等函数的导数公式均适用于复变函数的导数公式均适用于复变函数的导数,例2)实变函数导数：比值的左、右极限存在且相等; 复变函数导数：比值极限应比值极限应与与z00的方式无关，或的方式

9、无关，或z沿沿 一切可能方式一切可能方式0的极限都存在且相等的极限都存在且相等。显然复变函数导数存在的条件比实变函数严格的多。则称f(z)在z可导，该极限称为f(z)在z点的导数，记作（一）复变函数的（一）复变函数的导数导数 C-R条件条件1.导数的定义导数的定义2021-10-2916),(i),()(yxvyxuzf),(i),(vuxvyuyvxuvuvu11在z点可导C-R条件条件或2.函数可导的条件函数可导的条件必要条件必要条件2021-10-2917, xz zfz0limxyxvyxuyxxvyxxux),(i),(),(i),(lim0 xvxui,iyz zfz0limyyx

10、vyxuyyxvyyxuyi),(i),(),(i),(lim0iii1yvyuiiiezez不变沿横向不变沿径向据导数定义，沿实轴和虚轴的比值极限都存在且相等，即二者相等C-R条件二比值极限相等C-R条件.类似在极坐标系中xvyuyvxu2021-10-2918yxyxvvuu,充要条件充要条件存在、连续（可微）且满足存在、连续（可微）且满足C-R条件条件(证明：详见P20).a)初等单值初等单值函数在其定义域上均可导，其导数公式与实变初等 函数的相同c）若f(z)可导, f*(z)则不可导，如：f=z可导， f*=z*不可导.nzz，lnz和的导数在后面再介绍；多值函数b)奇点奇点：函数不

11、可导的点；注注：2021-10-29193.复变函数导数的几何意义复变函数导数的几何意义导数的模：导数的模：函数平面上过函数平面上过w0=f(z0)点的无穷小线段与宗量平面点的无穷小线段与宗量平面上过上过z0点的无穷小线段的长度之比，也叫伸缩比。点的无穷小线段的长度之比，也叫伸缩比。导数的辅角：导数的辅角：过过w0和和z0两点的切线与实轴的夹角之差。两点的切线与实轴的夹角之差。2021-10-2920v通常我们所说的“某解析函数”，严格说，应是在某个区域上的解析函数v在在z0点解析点解析：在z0点及其邻域内可导.在z0点解析， 则在z0 点必可导，反之则不然.v区域区域B上的解析函数上的解析函

12、数：在B内所有点解析或可导.在 区域B上解析可导(二二) 复变函数的解析性复变函数的解析性1.定义：函数定义：函数f(z)在区域在区域D内处处可导内处处可导2021-10-29212. 解析函数的充要条件解析函数的充要条件定理定理：如果f(z)在区域D内有定义，则解析的充要条件是实部和虚部在D内可微，且满足C-R条件. 显然解析函数的实部和虚部间由C-R条件将其紧密地联系在一起.解析函数是从一般的复变函数中加上很强的条件后挑选出来的一类特殊的复变函数yyvxxvyxvdd),(dyxuxyudd应用应用：已知解析函数f(z)的u(或v)求该解析函数利用该全微分可将v确定至只差一个积分常数例已知

13、u, 则xvyuyvxu2021-10-2922xxvd)(dycxyu)(),(ycyxF)(d)(dycxuyycyFyv1)凑全微分法凑全微分法：运用全微分法则，作全微分的逆运算再对y求偏导 或先保持x不变再对x求偏导.若在极坐标系中可作类似处理. 先保持y不变3)不定积分法不定积分法：2)曲线积分曲线积分：全微分的曲线积分仅与起、止点有关，与具体路径 无关，选取路径尽可能使积分简单，且有意义.v的求法的求法：P24：例题：例题1（三）保角映射（三）保角映射2021-10-2923设w=f(z)是区域上D内的解析函数，且满足) 1 ( 0)(0 zf解析函数所代表的映射具有保持两曲线间夹

14、角不变的性质)2(121211222021-10-2924思考与讨论题:1.复数辐角的主值是如何选取的？辐角主值的规定是否唯一？为什么？z=0和z=的辐角有无意义？2.复变初等函数与实变初等函数的基本性质有哪些区别？3.若z1与z2为复数域中的两个数是否能比较大小？4.f(z)在z0点解析与在z0点可导有无区别？在区域内解析与在区域内可导有无区别？5.解析函数必满足C-R条件，为什么？6.已知解析函数的实部(或虚部)求该解析函数的方法有哪些？各自要注意的要点是什么？作业：3.1 、4、5.1、5.32021-10-29251.4 复变函数的积分复变函数的积分 柯西定理柯西定理2021-10-2

15、926（一）复变函数积分（一）复变函数积分nkkkzzfk10maxlimlzzfd)(kkkzz1lllxvyuyvxuzzf)dd(i)dd(d)(定义：在分段光滑曲线l上的连续函数f(z)沿l的积分，定义为其中为该积分相应于两个实函的路径积分 其定义与实函在平面上的曲线积分是相似的，故有与实函积分所相似的一般性质.小段上的任意一点，2021-10-2927性质性质,)(MzfMlzMzzflldd)(1)常数因子可移到积分号外；常数因子可移到积分号外；(2)和的积分和的积分= =积分之和；积分之和；(3)全路径上的积分全路径上的积分= =各部分路径上的积分之和；各部分路径上的积分之和；(

16、4)反转积分路径积分变号；反转积分路径积分变号；则则(5) f f( (z z) )在在l l上有界，即存在上有界，即存在2021-10-2928（二）柯西（二）柯西定理定理 它是关于复变函数回路积分的定理，解析函数积分与路径无关的定理.单通区域与复通区域单通区域与复通区域对于一个区域对于一个区域D D，如果，如果D D内的任意一条闭合曲线在收缩为一点的过程中，内的任意一条闭合曲线在收缩为一点的过程中，该曲线上的所有点都在该曲线上的所有点都在D D内，则称内，则称D D为单通区域，否则称为复通区域。为单通区域，否则称为复通区域。2021-10-2929D0d)(lzzflllyuxvyvxuz

17、zf)dd(i)dd(d)(DDyxyvxuyxyuxvddidd0条件RCDCauchy定理一定理一：设设f(z)是由境界线是由境界线l所围闭单通域所围闭单通域上的解析函数，则上的解析函数，则证明：条件可放宽为：在在上连续，在上连续，在D内解析内解析.推论一：推论一：在单通区域内解析函数的曲线积分仅与曲线端点的位置有关、与具体形状无关在单通区域内解析函数的曲线积分仅与曲线端点的位置有关、与具体形状无关.只要保持两端点固定，积分曲线可以在闭区域内只要保持两端点固定，积分曲线可以在闭区域内连续变形连续变形而积分保持不变。而积分保持不变。DlyxyPxQyyxQxyxPd)d(d),(d),(实二

18、元函数路径积分的Stokes公式DP、Q是在以l为边界的闭域上具有连续偏导数的二元函数.2021-10-29第二章301l), 3 , 2(nklk 0d)(0nklkzzf2d)(lzzfnlzzfd)(为外境界线、为外境界线、围成的闭复通域上单值解析的函数围成的闭复通域上单值解析的函数f(z),有有证明：如图作辅助线，将复通区域 单通通域,应用单通区域Cauchy定理 辅助线上的积分进、出抵消,即得证定理.Cauchy定理二定理二：在在为内境界线为内境界线（积分沿约定的路径正向）zzfTTd)(220d)(zzfnnTT 1d)(lzzf推论二推论二：nkllkzzfzzf2d)(d)(1

19、(所有积分都沿逆钟向或顺钟向)推论三推论三：设f(z)为闭域(单通或复通域)上的解析函数，D内的任一条曲线或闭曲内的任一条曲线或闭曲线在线在D内内连续变形连续变形(不闭合曲线保持端点不动不闭合曲线保持端点不动)积分值不变积分值不变lzzfd)(或 积分路径在被积函数的解析区域上连续变形积分路径在被积函数的解析区域上连续变形(端点不动端点不动)积分不变积分不变.lzzfd)(不变). 2021-10-29第二章31zzzzfzF0d)()()()(zfzF)()(d)(1221zFzFzzfzzczF)(定理定理：设设f(z)是单通域是单通域D内的解析函数内的解析函数,z0是是D内的一个定点内的

20、一个定点，则在则在D内定义的函数在D内也解析,且对D内任二点z1和z2 称F(z)为f(z)的一个原函数，（c为任意复常数）是f(z)的原函数族或不定积分原函数族或不定积分.（三）不定积分（三）不定积分2021-10-29第二章32lnzzId)(nz)(znlnzzzzd)(d)(20iidi een201)i(1dinne) 1( 0) 1( ii) 1( i220)1( i1nnennn内）不在但或内在且lnlnzznln1), 1( 0, 1( i2d)(例(n为整数，该结果有重要应用，应掌握).2)2)柯西定理推论三：若在l内 亦可按P26上原函数的概念作.解：1)在l外，则在l围成

21、闭域上解析I=0l2021-10-29第二章331.5 柯西公式柯西公式2021-10-2934（一）（一） 柯西公式柯西公式lzfzfd)(i21)(lzzfzfd1i21)()(lzzfd)(i21llzfzfzfd)()(i21d)(i21zcl:d)()(d)()(cczzffzzffczffd1)()(max)()(max2zff0)()(maxzff定理定理:设设f(z)是闭单通区域上的解析函数是闭单通区域上的解析函数,l为境界线为境界线, ,则对区域任一点则对区域任一点z, ,有有证明：f(z)- f()在l包围区域上解析,Cauchy定理推论3,可任意小，则该结果与无关，f(z)解析，则必定连续，当0时，注意1)该公式亦适用于复通域，l 理解为所有境界线，积分沿境界线的约定正向理解为所有境界线，积分沿境界线的约定正向； 2)应用该公式时，要切记适用条件切记适用条件.，证毕.(积分沿约定正向）z lCP3