数学建模论文基于AHPGM11的数学建模竞赛成绩评价与预测

1、基于ahp&gm(1,1)的数学建模竞赛成绩评价与预测摘要为了全面合理地评价数模成绩，本文通过在对基础数据进行统计分析的基础上，采用层次分析法对各院校竞赛成绩进行评价；针对数模成绩的特点，根据灰色理论的原理及特性，建立数模成绩灰色系统预测模型，预测未来各院校的建模成绩。对于问题一，（1）由于因素集中各等次奖项之间在主观上存在明显的重要性差别，各奖项指标难以直接量化，所以采用层次分析法计算各因素的权重分配。通过借助19尺度，构造成对比矩阵，计算矩阵的最大特征值，根据与saaty的随机一致性指标进行比较知，该矩阵通过一致性检验，然后利用matlab得到各指标所对应的权系数矩阵。由所给数据计

2、算得到该校每年所获各奖项比重的评价矩阵，通过m（,）算子计算得到综合评价集，然后便可以对高校十一五期间的建模成绩进行排序、分析。（2）该问题给出的原始数据是时间序列，数据波动性较大，符合灰色理论原理及特性，故采用灰色gm（1，1）来预测十二五该校的成绩。先对原数据进行级比检验，检验合格后对数据进行一次累加生成处理，计算模型的参数，写出预测模型，然后用相对残差检验、均方差比值及小误差概率对所建模型进行精度检验合格。运用该模型预测出该校十二五期间建模竞赛的获奖情况。对于问题二，运用excel软件通过对附表所给的数据进行统计和归纳，建立与问题一相同的层次分析模型，通过与问题一相似的方法得到综合评价集

3、并进行排序。采用与问题一相同的灰色预测方法预测出吉林赛区十二五规划期间的建模成绩。对于问题三、问题四，根据所给资料将全国院校分为本科组和专科组两个大组，运用spass软件分别统计归纳出18年来全国各院校的获奖情况。对两个组进行分别考虑， 通过层次分析法分别得出各组综合评价集，然后分别进行合理地排序。对于，根据问题三统计的数据，运用与问题一相同的灰色预测方法预测出全国各院校十二五期间的建模成绩。对于问题五，在问题1中将成功参赛和参赛总队数，同样赋予相应的权值，所得到的预测成绩的小误差概率，相较问题2、3、4中并没如此考虑所得的p和c值，有更高的精度等级。可以发现，除了国赛成绩和赛区成绩外，影响评

4、价和预测的因素还有：各院校的参赛总队数；该年度赛区或是国赛的参赛人数。关键词：成绩评价及预测 层次分析法 灰色预测gm（1,1） spass 1 问题重述近20年来，cumcm的规模平均每年以20以上的增长速度健康发展，是目前全国高校中规模最大的课外科技活动之一。2010年有33个省市、自治区及新加坡、澳大利亚的1197所院校的17317个队参加。2011 年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1251所院校、19490个队（其中本科组16008队、专科组3482队）、58000多名大学生报名参加本项竞赛。在数学建模活动开展20周年之际，有必要对以往的数学建模工

5、作进行总结及对未来的发展进行预测。完成以下任务：1. 通过附件1中某高校2006-2011年数学建模成绩，建立合理的评价模型，对该校十一五期间数学建模工作进行评价，并对该校十二五期间的数学建模成绩进行预测；2. 利用附件2中的数据，试建立评价模型，给出吉林赛区十一五期间各校建模成绩的科学、合理的排序；并给出吉林赛区各院校十二五期间的建模成绩进行预测；3. 利用附件3中的数据，给出全国各院校的自建模竞赛活动开展以来建模成绩的科学、合理的排序；4. 对全国各院校十二五期间的建模成绩进行预测； 5. 你认为如果科学、合理地进行评价和预测，除全国竞赛成绩、赛区成绩外，还需要考虑那些因素？2 问题分析本

6、题是一个典型的综合评价问题，在已有的各院校的数学建模的成绩的基础上，利用各档次赛绩，利用ahp对各大院校在数学建模方面的工作水平进行评价。再利用所得相关数据，通过gm(1,1)对各院校在十二五期间的建模成绩进行预测。2.1问题1的分析问题1中，根据该高校建模的各项成绩，利用ahp对各类成绩构造成对比较矩阵和权向量，通过saaty的1-9比较尺度分别给予赋权，并利用一致性检验，分析合理性，从而推导出赋权后的成绩排名。再通过gm(1,1)在十一五的基础上，对十二五期间的成绩进行预测。2.2问题2的分析在问题1的基础上，对问题2的数据进行统一处理，并对各类成绩和参赛队数赋权，构造新的权向量，综合5年

7、的赋权成绩取其均值，与其它各大院校进行对比，推导出成绩排名。并利用灰色预测，再次推导出十二五期间的前10名院校的建模成绩进行预测。2.3问题3、问题4的分析在问题3、问题4中，先对附录3中的数据进行预处理，再利用问题2的模型，对十一五期间各院校的工作进行评价，和十二五期间的成绩进行预测。2.4问题5的分析在问题5中，对除国赛成绩和赛区成绩的考虑外，其它因素对各院校的评价与预测影响，可在原有的考虑内容中，以问题1中的高校做为例子，添加或减少增加项并赋权，观察问题1的结果与问题5中的差别，进一步讨论其它因素对评价与预测的影响。3 模型假设假设1：各年度成绩对高校的建模评价影响程度相同；假设2：各院

8、校从十一五到十二五期间没有大的实力突变；假设3：各院校的参赛队员实力相当，学校建模实力为主要影响因素；假设4：在预测中的各大院校，在十二五期间正常运作，不存在突变；假设5：各年度建模数据及所选取的建模数据，能充分代表学校建模水平。4 符号说明模型建立过程中，ahp为层次分析法英文简写，gm(1,1)为一阶灰色预测法。主要参与模型运算的符号，如表1所示：表1模型符号说明符号 符号说明 符号 符号说明n 影响因素的个数ci 影响因素 aij ci与cj的比较尺度 ci 一致性指标 ri 随机一致性指标 a aij的正反矩阵 a的最大特征根 cr 一致性比率 e(k) 相对残差xo(n) 建模原始数

9、据x1(n) 原始数据的一次累加b 数据处理矩阵y 原始数据矩阵 估值矩阵c 后验差比值p 小误差概率x 均值e(i) 残差w a的特征向量s 方差其中，个别符号间满足以下关系： 一致性指标：，ci 越大，不一致性越严重。5模型的建立与求解5.1问题1的模型建立与求解5.1.1问题1 ahp评价模型的建立与求解从分析中，首先对高校评价与建模成绩利用层次分析法，根据该高校2006-2011期间的建模成绩，进行合理的分层，可得到如图所示的院校评价层次结构图：图a院校评价的层次结构图在假设1的条件下，不考虑年度不同对高校评价的影响，从层次结构图中，利用saaty所广泛选用的1-9比较尺度，对各类奖项

10、的影响程度构造成对比较矩阵。其中，比较尺度如表2所示：表2saaty的1-9比较尺度表比较尺度13579ci与cj的影响相同ci比cj的影响稍强ci比cj的影响强ci比cj的影响明显的强ci比cj的影响绝对的强2,4,6,81,1/2,1/9ci与cj的影响之比在上述相邻等级之间cj与ci的影响之比为上面aij的互反数利用上述比较尺度，可以得到各类成绩和参赛队数和成对比较矩阵如下：其中，c1c7依次表示建模成绩的国一、国二、参赛队数、省一、省二省三。并利用层次分析法中的和法求解上述成对比较矩阵的特征向量与最大特征根。其中，层次分析法的和法步骤如下：a. 将a 的每一列向量归一化得；b. 对按行

11、求和得；c. 将归一化, 即为近似特征向量；d. 计算，作为最大特征根的近似值。利用matlab对院校的成绩进行运算，得到表3所示的特征向量与最大特征根、一致性指标、随机一致性指标相应的值。表3院校评价层次分析计算结果c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7w（权向量）(最大特征根)0.4030 0.2481 0.1472 0.0915 0.0552 0.0337 0.02147.5428ci（一致性指标）ci=(7.5428-7)/(7-1)=0.09136根据如表4所示的随机一致性指标ri，可以求解得到在此成对比较矩阵下的一致性检验结果，其中表4如下：表4随机一致性ri检验指标n12345

12、67891011ri000.580.901.121.241.321.411.451.491.51可知当时，ri=1.32得到的一致性比率cr为：cr=/1.32=0.0692<0.1可知一致性检验通过，权向量w 可以表示为各类成绩的相应权重。将各年成绩与相应权重相乘，得到各年份该高校的成绩排序，如表5所示：表5各年度建模成绩表国一国二队总数省一省二省三成功参赛综合分200600.02750.14720.0100.01830.00930.00350.2162200700.04510.14720.01660.00500.00610.00770.227820080.02680.04960.14

13、720.01210.01280.00670.00350.259020090.01340.04130.14720.01520.01650.00780.00210.2437201000.06610.14720.01520.01280.00670.00280.2510201100.06610.14720.02130.01470.00440.00210.2560利用excel绘制出六年的综合指标拆线图，可得到十一五期间该高校在2006-2011期间的总体建模水平趋势，如图b所示：图b院校6年建模水平综合指标及趋势5.1.2问题1评价模型的分析从表5和图b中分析得到，2006-2011期间该院校在200

14、8年建模水平最高，其中建模水平综合指标达到0.2590；6年间，代表高水平的国奖成绩中，以2008最高，则说明该校在此年度的建模优秀级别较高；该高校在6年间，总体建模水平稳步向上，保持建模水平上升的势头；院校在2008年开始，参赛队伍稳定于30个，表明此院校开始步入较正规化的建模训练。5.1.3问题1 gm(1,1)预测模型的建立与求解利用2006-2011期间的建模成绩数据，以每一类成绩做为一个预测对象，利用一阶灰色预测，模拟出相应十二五期间的各类建模成绩。其中灰色预测模型步骤如下：（1） 由原始数据序列经一次累加变为序列;（2） 建立矩阵 (一次累加序列),（原始序列）；（3） 求逆矩阵；

15、（4） 根据，来求取和，其中；（5） 利用时间响应方程，来计算拟合值，再用后减运算还原，即；（6） 精度检验与预测：计算残差与相对残差，取的均值，再取的标准差，拟合的残差均值：，最后取残差的标准差：。最后根据所得结果计算：后验差比值，并比较小误差概率p检验拟合情况。在此以省一建模成绩为例，然后依次对各个建模成绩进行预测并统计。.首先对该高校的省一奖进一次累加，结果如表6所示：表6省一成绩一次累加结果年份200620072008200920102011序号123456x0(n)244557x1(n)2610152027.建立矩阵b和y. 解得矩阵b和y为： c.求逆矩阵；解得：d. 根据，来求取

16、和，其中；e. 利用时间响应方程，来计算拟合值，再用后减运算还原。可以得到表7所示数据序列：其中时间响应方程为：表7拟合值序列年份200620072008200920102011序号123456x0(n)24455723.61974.19654.86535.64066.5395f. 精度检验与预测:从表7的数据序列可以得到拟合残差与相对误差的分析表，和图c的数据拟合曲线图，表8如下：表8拟合残差与相对误差分析表模型计算值实际值残差e(k)相对误差e(k)3.619740.38030.09514.19654-0.4196-0.10494.865350.13470.02695.64065-0.64

17、06-0.12816.539570.46050.0658利用上述数据做出实际与预测值的比较图，图如下：图c省一成绩预测拟合曲线对表8中的数据做最后的小误差分析，其中小误差概率为：=1其中，后验差比值为：c=0.2921查阅预测等级对照情况，如下表9所示：表9预测等级对照表预测精度等级pc好合格勉强不合格>0.95>0.8>0.7<0.7<0.35<0.45<0.50>0.65从预测等级对照表中可以查得，一阶灰色预测在高校的建模成绩上拟合好，故可用gm(1,1)对该院校十二五期间，此院校建模成绩的情况，利用matlab进行运算得到如下的预测数据，如

18、表9与图d所示：表9利用gm(1,1)的十二五期间建模成绩表年份201220132014201520162017国一0.3670.31060.26290.22260.18840.1595国二9.746111.434713.41615.740618.46821.6679省一7.58168.789810.190511.814513.697215.88省二10.280711.962613.919816.191718.846921.9304省三4.64435.41916.07876.01665.28994.5668成功参赛1.85281.4081.070.81310.61790.4695参赛队伍33.

19、229235.046736.963738.985541.117843.3668图dgm(1,1)的十一五与十二五预测总图5.1.4问题1 gm(1,1)预测模型的分析从预测结果中可以发现：该院校在十二五期间，参赛队数和国二、省一、省二的成绩将稳步提高；后验差比值和小误差概率所处均为水平较高，故高校的建模成绩可以用此方法进行预测；在评价模型中所用到的数据，在预测模型中，仍可对十二五期间的院校进行预测评价；预测结果较为符合实际，在实际中，可进行相当的应用。5.2问题2的模型建立与求解5.2.1问题2 模型的建立与求解首先，对问题2中吉林赛区的各院校2006-2011期间所获得的建模成绩，进行归一统

20、计，利用问题1中的评价模型，重新对省一奖、省二奖、省三奖、成功参赛奖进行尺度比较，依据saaty的1-9比较尺度，可以得到新的成对比较矩阵，如下：a=通过评价模型的运算，处理得到一致性指标、权向量、最大特征根的数值表，如表10所示：表10吉林赛区层次计算结果省一省二成功参赛省三w（权向量）0.56500.26220.11750.0533（最大特征根）4.213ci(一致性指标)0.071通过表，可知当n=4时，随机一致性指标ri=0.90，可求得一致性比率为：cr=/0.901=0.0756<0.1则权向量，可为相应指标进行赋权，其中权向量为：w=（0.5650 0.2622 0.117

21、5 0.0553）利用ahp所求得的权重，对2006-2011期间的各院校的建模成绩进行排序，考虑数据的庞大，故只列出在十一五期间排名为前10的各大院校的相应成绩。如表11所示：表11吉林赛区十一五期间建模成绩前10名学校均值1 装甲兵技术学院2 东北电力大学3 吉林医药学院4 吉林建筑工程学院城建学院5 辽源职业技术学院6 长春理工大学7 吉林大学8 吉林师范大学9 白城师范学院10 吉林化工学院0.4148420.4114980.3664710.3638650.3615890.3468840.333730.2938060.2918710.286356为综合考虑十二五期间各大院校的预测成绩，

22、随机选取3个院校进行预测，可以得到如表12（1）（3）所示的各院校预测成绩。表12十二五期间吉林赛区3所高校的省一预测成绩（1）20122013201420152016装甲兵技术学院56678东北电力大学1617181920白城师范4581014表12十二五期间吉林赛区3所高校的省二预测成绩（2）20122013201420152016装甲兵技术学院21221东北电力大学88899白城师范44444表12十二五期间吉林赛区3所高校的省三预测成绩（3）20122013201420152016装甲兵技术学院00000东北电力大学54433白城师范33322结合各高校的成绩，可以得到，各高校的成绩预

23、测图，如图e(1)e(3)所示：图e（1）十二五期间吉林赛区3所高校的省一预测成绩图图e（2）十二五期间吉林赛区3所高校的省二预测成绩图图e（3）十二五期间吉林赛区3所高校的省三预测成绩图计算4所院校的预测精度等级，可得到如表13所示的预测成绩精度比照表：表13（1）3所院校的c值预测精度比照表c值省一省二省三装甲兵技术学院0.486900.103东北电力大学0.21220.34010.6637白城师范0.29341.08790.3631表13（2）3所院校的p值预测精度比照表p值省一省二省三装甲兵技术学院011东北电力大学110白城师范1015.2.2问题2 模型的分析在评价模型中，综合考虑

24、该院校在十一五期间的平均成绩作为主要的考核成绩，降低了干扰；对权重的赋予，再次进行新的层次分析，可在考虑主要因素的情况下，得到各院校在十一五期间的建模成绩排序；为简化处理过程，只对其中4所院校进行预测，并对预测所得的曲线的拟合度，再次进行分析，增加了可信度；5.3问题1的模型建立与求解5.3.1问题3、问题4 模型的建立与求解考虑到附录3中含有本科和专科院校参与比赛，由于参赛内容和难度均不相同，故将本科与专科院校分开进行评价与预测。（1）本科院校1993-2011期间，取各院校的建模平均成绩作为主要参考成绩，可以得到此期间，本科院校的前10名排序，如表14所示：表141993-2011本科院校

25、的前10名排序表学校前6年中间6年最后六年18年综合国防科技大学 4.1333331.8666672.9333332.977778浙江大学 2.3666672.22.9333332.5大连理工大学 2.2333331.9666672.4333332.211111吉林大学 2.51.2666672.7333332.166667东南大学 1.91.6666672.6666672.077778北京邮电大学 1.51.4666673.1333332.033333武汉大学 21.12.61.9解放军信息工程大学 1.81.52.2666671.855556重庆大学 1.8333331.3666672.3

26、666671.855556上海交通大学 2.0666670.92.5666671.844444在本科的前10名院校中，随机选取3所院校，对其十二五期间成绩进行预测，通过绘制，预测成绩，得到3所院校的成绩走势如图f(1)f(2)所示;图f(1) 3所院校的国一预测成绩图f(2) 3所院校的国二预测成绩（2）专科院校1993-2011期间，取各院校的建模平均成绩作为主要参考成绩，可以得到此期间，本科院校的前10名排序，如表16所示：表151993-2011本科院校的前10名排序表94-9900-0506-11排名学校综合参数学校综合参数学校综合参数1石家庄铁道学院 4.8沈阳建筑大学 4杭州电子工

27、业学院 62天津工程师范学院 3.6莆田学院 3.2石家庄铁道学院 4.43西安通信学院 3.4西北第二民族学院 2.8广东金融学院 3.24桂林电子工业学院 3.2天津大学仁爱学院 2.8烟台海军航空工程学院 35杭州电子工业学院 3.2佛山科学技术学院 2.8佛山科学技术学院 2.86青岛海军潜艇学院 3.2黑龙江八一农垦大学 2.4赣南师范学院 2.87四川理工学院 2.8长春师范学院 2.4厦门理工学院 2.88黑龙江科技学院 2.4沈阳航空航天大学北方科技学院2黑龙江八一农垦大学 2.69浙江财经学院 2.4湖南建材高等专科学校 2黑龙江科技学院 2.610北京物资学院 2大连东软信息学院 2安阳师范学院 2.4在本科的前10名院校中，随机选取3所院校，对其十二五期间成绩进行预测，通过绘制，预测成绩，得到3所院校的成绩走势如图g(1)g(2)所示;图g(1) 3所院校的国一预测成绩图g(2) 3所院校的国二预测成绩5.3.2问题3、问题4 模型的分析计算3所本科院校的预测精度等级，可得到如表18所示的预测成绩精度比照表