高考数学中的理科导数试题

1、一求值1. （2011江苏）已知a，b是实数，函数 和是的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性一致（1）设，若和在区间上单调性一致,求b的取值范围；（2）设且，若和在以a，b为端点的开区间上单调性一致，求|a-b|的最大值本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分.解：（1）由题意知上恒成立，因为a>0，故进而上恒成立，所以因此的取值范围是 （2）令若又因为，所以函数在上不是单调性一致的，因此现设；当时，因此，当时，故由题设得从而因此时等号成立，又当，从而当故当函数上单调性一致，因此的最

2、大值为 2（2011全国新课标理）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为（i）求a，b的值；（ii）如果当x>0，且时，求k的取值范围解：（）由于直线的斜率为，且过点，故即解得，。（）由（）知，所以。考虑函数，则。(i)设，由知，当时，。而，故当时，可得；当x（1，+）时，h（x）<0，可得 h（x）>0从而当x>0，且x1时，f（x）-（+）>0，即f（x）>+.（ii）设0<k<1.由于当x（1，）时，（k-1）（x2 +1）+2x>0，故 (x）>0，而h（1）=0，故当x（1，）时，h（x）>0，可得h（x

3、）<0，与题设矛盾。（iii）设k1.此时（x）>0，而h（1）=0，故当x（1，+）时，h（x）>0，可得 h（x）<0，与题设矛盾。综合得，k的取值范围为（-，0解：（2）由（1）知故要证： 只需证为去分母，故分x>1与0<x<1两种情况讨论：当x>1时，需证即 即需证 （1）设，则由x>1得，所以在（1，+）上为减函数又因g（1）=0所以 当x>1时 g（x）<0 即（1）式成立同理0<x<1时，需证 （2）而由0<x<1得，所以在（0，1）上为增函数又因g（1）=0所以 当0<x<1时

4、 g（x）<0 即（2）式成立综上所证，知要证不等式成立点评：抓住基本思路，去分母化简问题，不可死算3.（2011陕西理）（本小题满分14分）设函数定义在上，导函数（）求的单调区间和最小值；（）讨论与的大小关系；（）是否存在，使得对任意成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由解 （）由题设易知，令得，当时，故（0,1）是的单调减区间，当时，故是的单调增区间，因此，是的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为（），设，则，当时，即，当时，因此，在内单调递减，当时，即，当时，即（）满足条件的不存在证明如下：证法一 假设存在 ，使 对任意 成立，即对任意，有 ，（*）但

5、对上述，取时，有 ，这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在 ，使 对任意成立。证法二 假设存在，使 对任意的成立。由（）知， 的最小值为。又，而时，的值域为， 时， 的值域为，从而可取一个，使 ，即 ，故 ，与假设矛盾。 不存在 ，使 对任意成立。4（2011上海理）（12分）已知函数，其中常数满足。（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的取值范围。解： 当时，任意，则 ， ，函数在上是增函数。当时，同理，函数在上是减函数。 当时，则；当时，则。5(2011四川理)（本小题共l4分）已知函数 （i）设函数，求的单调区间与极值； （）设，解关于的方程 （）试比较与的大小解析：（1），令 所以

6、是其极小值点，极小值为。是其极大值点，极大值为（2）；由时方程无解时方程的根为（3），6（2011安徽理）(本小题满分12分)设，其中为正实数（）当时，求的极值点；（）若为上的单调函数，求的取值范围。解：对求导得 （i）当，若综合,可知+00+极大值极小值所以,是极小值点,是极大值点.（ii）若为r上的单调函数，则在r上不变号，结合与条件a>0，知在r上恒成立，因此由此并结合，知7（2011浙江理）（本题满分14分）设函数 （i）若的极值点，求实数； （ii）求实数的取值范围，使得对任意的，恒有成立，注：为自然对数的底数。本题主要考查函数极值的概念、导数运算法则、导数应用，不等式等基础知

7、识，同时考查推理论证能力，分类讨论分析问题和解决问题的能力。满分14分。 （i）解：求导得因为的极值点，所以解得经检验，符合题意，所以（ii）解：当时，对于任意的实数a，恒有成立；当时，由题意，首先有，解得，由（i）知令且又内单调递增所以函数内有唯一零点，记此零点为从而，当时，当当时，即内单调递增，在内单调递减，在内单调递增。所以要使恒成立，只要成立。由，知（3）将（3）代入（1）得又，注意到函数内单调递增，故。再由（3）以及函数内单调递增，可得由（2）解得，所以综上，a的取值范围是8（2011重庆理）（本小题满分13分，（）小问6分，（）小问7分）设的导数满足，其中常数 （）求曲线在点处的切

8、线方程； （） 设，求函数的极值 解：（i）因故令由已知又令由已知因此解得因此又因为故曲线处的切线方程为 （ii）由（i）知，从而有令当上为减函数；当在（0，3）上为增函数；当时，上为减函数；从而函数处取得极小值处取得极大值9（2011北京理）（本小题共13分）已知函数。（）求的单调区间；（）若对于任意的，都有，求的取值范围。解：（）令，得.当k>0时，的情况如下x()(,k)k+00+0所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是当k<0时，的情况如下x()(,k)k0+00所以，的单调递减区间是（）和；单高层区间是（）当k>0时，因为，所以不会有当k<0时，由（）知在

9、（0，+）上的最大值是所以等价于解得.故当时，k的取值范围是10(2011江西理)（本小题满分12分）设 （1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围； （2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值解：（1）由当令所以，当上存在单调递增区间 （2）令所以上单调递减，在上单调递增当在1，4上的最大值为又所以在1，4上的最小值为得，从而在1，4上的最大值为二证明11（2011湖南理）（本小题满分13分）已知函数，.（）求函数的零点个数。并说明理由；（）设数列 （）满足，证明：存在常数m,使得 对于任意的，都有 解：（i）由，而，的一个零点，且在（1，2）内有零点。因此至少有两个零点。解

10、法1：记则当上单调递增，则内至多只有一个零点。又因为内有零点，所以内有且只有一个零点，记此零点为；当时，所以，当单调递减，而内无零点；当单调递减，而内无零点；当单调递增，而内至多只有一个零点。从而内至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。解法2：由，则当从而上单调递增，则内至多只有一个零点，因此内也至多只有一个零点。综上所述，有且只有两个零点。 （ii）记的正零点为 （1）当而由此猜测：。下面用数学归纳法证明。当显然成立。假设当时，由因此，当成立。故对任意的成立。 （2）当，由（i）知，上单调递增，则，即，由此猜测：，下面用数学归纳法证明，当显然成立。假设当成立，则当时，由因此，当成立，

11、故对任意的成立综上所述，存在常数，使得对于任意的12（2011湖北理）（本小题满分14分）（）已知函数，求函数的最大值；（）设，均为正数，证明：（1）若，则；（2）若=1，则本题主要考查函数、导数、不等式的证明等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及化归与转化的思想。（满分14分） 解：（i）的定义域为，令 当在（0，1）内是增函数； 当时，内是减函数； 故函数处取得最大值 （ii）（1）由（i）知，当时， 有 ，从而有， 得， 求和得 即 （2）先证 令 则于是 由（1）得，即 再证 记， 则， 于是由（1）得 即 综合，（2）得证。13（2011辽宁理）（本小题满分12

12、分）已知函数 （i）讨论的单调性； （ii）设，证明：当时，； （iii）若函数的图像与x轴交于a，b两点，线段ab中点的横坐标为x0，证明：（x0）0解：（i） （i）若单调增加. （ii）若且当所以单调增加，在单调减少. 4分 （ii）设函数则当.故当， 8分 （iii）由（i）可得，当的图像与x轴至多有一个交点，故，从而的最大值为不妨设由（ii）得从而由（i）知， 12分14. (2011全国统一理)本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）（）设函数，证明：当时，；（）从编号1到100的100张卡片中每次随即抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取20次，设抽得的20个号码互不相同的概率为证明：解： （i），2分 当，所以为增函数，又，因此当5分 （ii）又，所以9分由（i）知：当因此在上式中，令所以15（2011天津理）（本小题满分14分）已知，函数（的图像连续不断）（）求的单调