标量衍射理论

1、1第二章第二章 标量衍射理论标量衍射理论scalar diffraction theory2.1 数学公式数学公式2.2 平面屏幕衍射的平面屏幕衍射的基尔霍夫理论基尔霍夫理论2.3 平面屏幕衍射的平面屏幕衍射的瑞利瑞利索末菲理论索末菲理论2.4 平面波的角谱平面波的角谱2 2.1 数学公式数学公式一、光场的数学描述一、光场的数学描述 1、幅相矢量、幅相矢量光振动的复振幅光振动的复振幅第二章 标量衍射理论u(p) = u0 (p ) exp jj j (p )振幅振幅初位相初位相3单色光波场中某点p在t时刻的光振动 的表达式为：令) t ,p(u)p(j0tj2)p(j0)p(t2 j00e )

2、p(u)p(uee )p(uree )p(ure) t ,p(u)p(t2cos)p(ut)u(p,jjjj复振幅4第二章 2.12.1 数学公式 一、光场的数学描述2、单色、单色平面波平面波的复振幅表示的复振幅表示1)coscoscos(exp )kexp(),(00zyxjkujuzyxur平面波方向余弦平面波方向余弦)coscoscos22 -1 )coscos(expcosexp0 yxjkjkzu ),(zyxucoscos1exp22 jkz)coscos(expcoscos1exp),(220 yxjkjkzuzyxu 0a52、单色、单色平面波平面波的复振幅表示的复振幅表示2)

3、coscos(expcoscos1exp),(220 yxjkjkzuzyxu coscos1exp2200 jkzua令：)coscos(exp),(0 yxjkazyxu 2)coscos(2exp0 yxja )(exp),(vyux2jayxu0 写成二维形式写成二维形式第二章 2.12.1 数学公式 一、光场的数学描述6一维情况一维情况)(exp),(vyux2jayxu0 exp)(ux2jaxu0 二维情况二维情况2、单色、单色平面波平面波的复振幅表示的复振幅表示3平面波的平面波的空间频率空间频率 cos cos vu与与 x 方向对应方向对应与与 y 方向对应方向对应end第二

4、章 2.12.1 数学公式 一、光场的数学描述73、单色、单色球面波球面波的复振幅表示的复振幅表示exp)(jkrrupu0 + 发散球面波发散球面波 会聚球面波会聚球面波222zyxr |点源在坐标原点点源在坐标原点点源不在坐标原点点源不在坐标原点202020zzyyxxr)()()(| (x0，y0，z0)为点源坐标为点源坐标(p(x,y,z)0zyx点源点源s(rkk: 传播矢量(p(x,y,z)会聚点会聚点s(r0zyxkend第二章 2.12.1 数学公式 一、光场的数学描述84、光场中、光场中任一平面任一平面上的复振幅表示上的复振幅表示11）单色平面波光场中某一平面的复振幅表示）单

5、色平面波光场中某一平面的复振幅表示一维情况一维情况)(exp),(vyux2jayxu exp)(ux2jaxu 二维情况二维情况其中其中)coscosexp(1 220-1zkjua 0z1zxyxy)coscosexp( 2200-1zkjua 第二章 2.12.1 数学公式 一、光场的数学描述94、光场中、光场中任一平面任一平面上的复振幅表示上的复振幅表示22）单色球面波光场中某一平面的复振幅表示）单色球面波光场中某一平面的复振幅表示z1 22yyxxz2kjjkzzuyxupu)()(exp)exp(),()(001110对给定平面对给定平面是常量是常量随随x, y变化的二次位相因子变

6、化的二次位相因子球面波特征位相球面波特征位相第二章 2.12.1 数学公式 一、光场的数学描述10推推 导导 过过 程程212020121202021212020121202021z)-yy)xx (zr1z)-yy)xx (z)-yy)xx (1 z)yy ()xx (z r（二项式展开二项式展开114、光场中、光场中任一平面任一平面上的复振幅表示上的复振幅表示3点源在坐标原点时点源在坐标原点时x 0 = y0 = z0 =0 )(exp)exp(),(111022yxz2kjjkzzuyxucyyxx22 )()(00等位相线方程等位相线方程会聚球面波情况会聚球面波情况 z 0 22yyx

7、xz2kjzjkzuyxu)()(|exp|)|exp(|),(0011102）单色球面波光场中某一平面的复振幅表示）单色球面波光场中某一平面的复振幅表示（续）（续）end第二章 2.12.1 数学公式 一、光场的数学描述12小 结)(2exp),(0vyuxjayxu 二二维维2exp)(0uxjaxu 一一维维p 单色平面波单色平面波p 单色球面波单色球面波exp)(jkrrupu0 二、光场中某一平面的复振幅二、光场中某一平面的复振幅一、光波的数学描述一、光波的数学描述p 单色平面波光场单色平面波光场)(2exp),(vyuxjayxu 二二维维2exp)(uxjaxu 一一维维p 单色

8、球面波光场单色球面波光场 20201110)()(2exp)exp(),(yyxxzkjjkzzuyxu 22yyxxz2kjzjkzuyxu)()(|exp|)|exp(|),(001110发散发散汇聚汇聚u(p) = u0 (p ) exp jj j (p )p 一般描述一般描述13第二章 标量衍射理论 2.12.1 数学公式二、亥姆霍兹方程二、亥姆霍兹方程 helmholtz自由空间单色波自由空间单色波 u（p，t）满足标量波动方程）满足标量波动方程0utc1u2222 将将u(p) =u(p)exp(j2 t)代入：代入：2222222zyx 0puk22 )()( 2k 波数波数在自

9、由空间传播的任何单色光波的复振幅必满足在自由空间传播的任何单色光波的复振幅必满足亥姆霍兹亥姆霍兹方程方程可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场可以用不含时间变量的复振幅分布完善地描述单色光波场 意义：意义：其中为其中为拉普拉斯算符拉普拉斯算符2 to p19142.2 平面屏幕衍射的平面屏幕衍射的基尔霍夫理论基尔霍夫理论2.3 平面屏幕衍射的平面屏幕衍射的 瑞利瑞利索末菲理论索末菲理论152.4 平面波角谱平面波角谱第二章 标量衍射理论频域q 利用利用 平面波平面波 的的 传播特征传播特征 讨论讨论 光的传播光的传播q 利用利用 平面波平面波 作为光传播的作为光传播的 基元函数基元

10、函数 描述描述光的光的 衍射规律衍射规律 衍射公式衍射公式导出16q 平面波角谱的概念平面波角谱的概念本节内容本节内容q 角谱在空间的传播角谱在空间的传播q 衍射孔径对角谱的效应衍射孔径对角谱的效应第二章 标量衍射理论 2.4 平面波角谱17平面波振幅平面波振幅),(1zvuaz ),(1zyxuz )(2expvyuxj dudv2.4 平面波的角谱一、一、“平面波角谱平面波角谱”概概念念设：有一列单色光波沿设：有一列单色光波沿 z 方向投射到（方向投射到（x，y，z1）平面上）平面上平面上光场平面上光场复振幅复振幅可视为可视为 无穷多个无穷多个平面波分量平面波分量 加权加权 的的 叠加叠加

11、（2-50）xyzz1平面波位相平面波位相傅里叶逆变换的数学表达式傅里叶逆变换的数学表达式18),(1zzyxu),(1zzvua是是的的 频频 谱谱 cos,cos vu平面波分量的平面波分量的空间频率空间频率dxdyyx2jzyxu1z)coscos(exp),( ),(),cos,cos(1z1zzyxuzaf f ),(1zzyxu),cos,cos(1zza 称为称为的的 角角 谱谱2.4 平面波的角谱19二、角谱的传播二、角谱的传播x0y00 xyzu0(x0,y0,0)uz(x,y,z)傅里叶傅里叶分解分解平面波平面波分量分量传播传播傅里叶傅里叶叠加叠加u0a0f.t.az角谱传

12、播角谱传播uzf.t.-12.4 2.4 平面波的角谱平面波的角谱?200000000dydxyx2j0yxu)coscos(exp),( )0,()0,cos,cos(0000yxuaf f )cos()cos()coscos(exp),cos,cos( ddyx2jzaz ),cos,cos(),(zazyxuz1z f fa zuzf.t.-1u0a0f.t.2.4 平面波的角谱数学表述数学表述21uz 满足亥姆霍兹方程：满足亥姆霍兹方程：0zyxukz22 ),()()cos()cos()coscos(exp),( ddyx2jzvuaz coscos)(2exp22ddjauzzz2

13、2az a0az角谱传播角谱传播)(exp)( 2jyx2222 计算可大大简化计算可大大简化2.4 平面波的角谱数学推导数学推导re : p1122结果：结果：0zvua1kzvuadzdz222z22 ),(coscos),( 解方程（解方程（2-54） ，得一基本解：，得一基本解：coscosexp),(),( 220z1jkz0vuazvua 一个特解，与一个特解，与 z 无关无关意味着角谱的振幅与距离无关意味着角谱的振幅与距离无关数学推导数学推导2.4 平面波的角谱23coscos1exp)0 ,(),(220 jkzvuazvuaz2.4 平面波的角谱物物 理理 意意 义义1 1

14、角谱在传播过程中仅发生了位相的改变，角谱在传播过程中仅发生了位相的改变， 而振幅不变而振幅不变 空间频率越大的分量，位相延迟越小，空间频率越大的分量，位相延迟越小， 频率大的分量先到达，频率小的分量后到达频率大的分量先到达，频率小的分量后到达（1）cos2+cos2 1 的分量，的分量，根号内的值小于根号内的值小于0coscosexp),(),(1kz0vuazvua220z 表示这些分量的振幅在表示这些分量的振幅在 z 方向按负指数规律迅速衰减，方向按负指数规律迅速衰减， 这些分量称为这些分量称为 倏逝波倏逝波实实数数shu26coscos1exp)0 ,(),(220 jkzvuazvua

15、z（2-55）传递函数概念传递函数概念改写为：改写为：),(),(),(vuh0vuazvua0z 其中其中coscosexp),( 221jkzvuh 传递函数传递函数 ),(vuhcoscosexp 221jkz 22coscos 1 22coscos 表征光的传播在表征光的传播在 频域频域 中的特性中的特性2.4 2.4 平面波的角谱平面波的角谱27传递函数的性质传递函数的性质1）|h（u，v）| = 1表示角谱的传播过程表示角谱的传播过程不影响频谱的振幅不影响频谱的振幅只影响频谱的位相只影响频谱的位相2）倏逝波倏逝波意味着意味着 频域中频域中：频率大于频率大于 1 / 的信息的信息无法

16、向无法向 z 方向传递方向传递 22coscos 1u2 + v2 21光波在自由空间传播时，携带信息的能力有限光波在自由空间传播时，携带信息的能力有限结论结论2.4 平面波的角谱28 cos 1关于关于 倏逝波倏逝波空间频率很高的空间频率很高的 物体物体例如例如 超大规模集成电路板超大规模集成电路板 线宽度线宽度 d 200nm 左右左右考虑一维情况考虑一维情况当当 600 nm时时显然显然: d 1 u =1d1 在自由空间无法向在自由空间无法向 z 方向传递方向传递 不能得到几何像不能得到几何像客客观观存存在在解决办法解决办法1）取较短波长的光波照明）取较短波长的光波照明2）用矢量理论解

17、决）用矢量理论解决 1cos u可能吗？可能吗？29三、衍射孔径对角谱的影响三、衍射孔径对角谱的影响研究研究存在衍射孔时，频谱的传播有何特点？存在衍射孔时，频谱的传播有何特点？ 后的光场后的光场衍射孔衍射孔 的的透过率函数透过率函数t（x,y）=10内内外外ut （x,y） = ui （x,y） t（x,y）ataif.t.f.t.f.t.=*（2-58）t2.4 2.4 平面波的角谱平面波的角谱（x,y）uiuttz无穷大不透明屏幕无穷大不透明屏幕30讨讨 论论v 孔径无限大孔径无限大t = atai=v 孔径很小时孔径很小时 t 展宽展宽 at也展宽也展宽ui （x,y）= 1ai = a

18、t = * t = tatai=* t结论结论1）孔径被平面波照明时，孔径后光场是孔径）孔径被平面波照明时，孔径后光场是孔径 的傅里叶变换的傅里叶变换2）孔径）孔径使角谱展宽使角谱展宽，增加了高频分量，增加了高频分量衍射波衍射波2.4 2.4 平面波的角谱平面波的角谱t = 1v 特例特例 孔径由单位振幅平面波垂直照明孔径由单位振幅平面波垂直照明 孔径的影响是：孔径的影响是： 使角谱展宽使角谱展宽31例例 题题已知：单位振幅平面波垂直照明一个宽度为已知：单位振幅平面波垂直照明一个宽度为 a 的狭缝的狭缝 求：孔径后光场的角谱求：孔径后光场的角谱解：解：1）写出孔径的透过率函数）写出孔径的透过率函数2）由照明情况，得到）由照明情况，得到at = * t = t3）孔径后光场