三角函数公式大全及其推导方法

1、学习必备欢迎下载三角函数公式大全及其推导1. 三角函数的定义AcbFigure I由此，我们定义：如 Figure I, 在ABC 中的正弦值：sinbc对边()斜边的余弦值：cosac邻边()斜边b的正切值：tana1的余切值：cottan1的正割值：seccos的余割值：csc1sin对边()邻边1 a ( 邻边 )b b 对边a1 c ( 斜边 )a a 邻边c1 c ( 斜边 ) b b 对边c备注：当用一个字母或希腊字母表示角时，可略写符号，但用三个子母表学习必备欢迎下载示时，不能省略。在本文中，我们只研究sin、cos、tan。2. 额外的定义sin 2(sin)2cos2(cos

2、) 2tan2(tan)23. 简便计算公式sinbcos Acos(90)ccoscsin Asin(90)btanb111aatan A tan(90)bsin 2cos21证明：在 ABC中, ABC 90a2b2c2a2b2c2c2 12sin Bsin A1证完学习必备欢迎下载bbsintancaacosctan21sin2cos21cos2cos2cos24. 任意三角形的面积公式CabhFigure II如 FigureII ,学习必备欢迎下载SABC12ah1ab sin C21 ac sin B ( 两边和其夹角正弦的乘积 )25. 余弦定理：任意三角形一角的余弦等于两邻边的

3、平方和减对边的平方之差与两邻边积的两倍之比。证明：如 Figure II,b2d2h2(ac cos B) 2(c sin B)2a22ac cos Bc2 cos2Bc2 sin 2B=a22ac cos Bc2 (cos2Bsin2 B)a2c22ac cos Bcos Bb2a2c2a2c2b22ac2ac证完6. 海伦公式证明：如 Figure II ,学习必备欢迎下载S ABC1 ab sinC21 ab 1cos2 C21a2b2c22ab 12ab21 ab 1 a4b4c42a2b22a2c22b2c224a2 b21 ab 4a2b2a4b4c42a2b22a2 c22b2

4、c224a2b21 a2b2 4a2b2a4b4c42a2b22a2c22b2c244a2 b21a2b2a4b4c42a2b22a2 c22b2 c24a2 b24abcabcbcaabc16a b c 2c a b c 2b a b c 2a a b c2222a b c 2c a b c 2b a b c 2a a b c2222a b c a b caa b c ba b c c2222设： s= abc2S ABCs sa s b sc7.正弦定理AcO学习必备欢迎下载如 Figure III ,c 为ABC 外接圆的直径 ,asin Acac2r （ r 为ABC 的外接圆半径）s

5、in A同理：b, cccsin Csin Babcsin Asin B2rsin C8. 加法定理(1) 两角差的余弦学习必备欢迎下载Figure IV如 Figure IV,AOCBOCAOB令 AO=BO=r点 A 的横坐标为 xAr cos点 A 的纵坐标为 yAr sin点 B 的横坐标为 xBr cos学习必备欢迎下载点 B 的纵坐标为 yBr sinAB2yAyB2xA2xBr sin2r cos2r sinr cosr 2 sin 2r 2 sin22r 2 sinsinr 2 cos2r 2sin2sin 22sinsincos2cos2r 2sin2cos2sin2cos2

6、2sinsinr 2112 sin sincoscosr 222 sinsincoscos2r 21sinsincoscos由余弦公式可得：r 2 cos22r 2 coscos2coscos2coscosAB2AC 2BC 22AC BC cos ACBr 2r 22rr cos2r 22r 2 cosr 222cos2r 21cos综上得： cossinsincoscos(2) 两角和的余弦coscossinsincoscossinsincoscoscoscossinsin(3) 两角和的正弦sincos90cos90sin90sincos 90coscossinsincos(4) 两角差

7、的正弦学习必备欢迎下载sinsincossinsincoscossinsincossincoscossin(5) 两角和的正切sintancoscossinsincoscoscossinsincossinsincoscoscoscoscossinsincoscossinsincoscos1sinsincoscostantan1tantan(6) 两角差的正切tantantantan1tantantantan1tantan9. 两倍角公式学习必备欢迎下载sin2sinsincossincos2sincoscos 2coscoscossinsincos2sin21 2sin 22cos 21tan

8、2sin2cos 22sincoscos2sin22sincoscos2cos2sin 2cos22sincos21cos22 tan1 tan 210. 积化和差公式12sincossin cos21sincossin coscos sincos sin21sinsin2学习必备欢迎下载coscos12coscos21coscoscoscossinsinsinsin21coscos2sinsin12sinsin21sinsinsinsincoscoscoscos21coscos211. 和差化积公式(1)设： A=+, B= -,sin Asin Bsinsinsincoscossinsin

9、coscossin2sincos2sin2cos22sinABcosAB22sin Asin Bsinsinsincoscossinsincoscossin2cossin2cos2sin22cosABsinAB22(2)设： cosa, sinb, cos2sin21a2b2a2b2学习必备欢迎下载a sinb sina2b2ab2sina2b2bcosa2a2b2a2b2cossinsincosa2b2sin12. 其他常用公式学习必备欢迎下载sinn3600sincosn3600costann3600tansin90coscos 90sintan 901tansin90coscos 90s

10、intan 901tansin90coscos90sintan901tansin 180sincos 180costan 180tansin180sincos180costan180tansinsincoscostantantan2n190不存在1cos1cos11sin1sin1学习必备欢迎下载13. 特殊的三角函数值00153045605907512643122sin06212422cos16232422tan02 331314. 关于机器算法在计算机中，三角函数的算法是这样的，其中1x35x70x2 n1xxsin x3!5!7!2n1 !1!nx0x2x4x60xncosx2!4!6!

11、2n !0!n362124162024323N/Ax 用弧度计算学习必备欢迎下载推导公式： (a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R(其中， R为外接圆半径 )由正弦定理有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R所以a=2R*sinAb=2R*sinBc=2R*sinC加起来 a+b+c=2R*(sinA+sinB+sinC) 带入(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC)=2R*(sinA+sinB+sinC)/(sinA+sinB+sinC)=2R两角和公式sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(A-B)=sinAcosB-cosAsinBco

12、s(A+B)=cosAcosB-sinAsinBcos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB学习必备欢迎下载tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)倍角公式Sin2A=2SinA?CosA对数的性质及推导用表示乘方，用 log(a)(b)表示以 a 为底， b 的对数* 表示乘号， / 表示除号定义式：若 an=b(a>0 且 a1)则 n=log(a)(b)

13、基本性质：1.a(log(a)(b)=b2.log(a)(MN)=log(a)(M)+log(a)(N);3.log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N);4.log(a)(Mn)=nlog(a)(M)推导1. 这个就不用推了吧， 直接由定义式可得 ( 把定义式中的 n=log(a)(b) 带入 an=b)2.MN=M*N由基本性质 1( 换掉 M和 N)学习必备欢迎下载alog(a)(MN)=alog(a)(M)*alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(MN)=alog(a)(M)+log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(MN)=log(a)(

14、M)+log(a)(N)3. 与 2 类似处理MN=M/N由基本性质 1( 换掉 M和 N)alog(a)(M/N)=alog(a)(M)/alog(a)(N)由指数的性质alog(a)(M/N)=alog(a)(M)-log(a)(N)又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(M/N)=log(a)(M)-log(a)(N)4. 与 2 类似处理Mn=Mn由基本性质 1( 换掉 M)alog(a)(Mn)=alog(a)(M)n由指数的性质alog(a)(Mn)=alog(a)(M)*n又因为指数函数是单调函数，所以log(a)(Mn)=nlog(a)(M)其他性质：学习必备欢迎下载性质一

15、：换底公式log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)推导如下N=alog(a)(N)a=blog(b)(a)综合两式可得N=blog(b)(a)log(a)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)又因为 N=blog(b)(N)所以blog(b)(N)=blog(a)(N)*log(b)(a)所以log(b)(N)=log(a)(N)*log(b)(a)这步不明白或有疑问看上面的所以 log(a)(N)=log(b)(N)/log(b)(a)性质二：（不知道什么名字）log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)推导如下由换底公式 lnx是 log(e)(x),e称

16、作自然对数的底 log(an)(bm)=ln(an)/ln(bn)由基本性质 4 可得log(an)(bm)=n*ln(a)/m*ln(b)=(m/n)*ln(a)/ln(b)再由换底公式log(an)(bm)=m/n*log(a)(b)学习必备欢迎下载-（性质及推导完）公式三 :log(a)(b)=1/log(b)(a)证明如下 :由换底公式 log(a)(b)=log(b)(b)/log(b)(a)-取以 b 为底的对数 ,log(b)(b)=1 =1/log(b)(a)还可变形得 :log(a)(b)*log(b)(a)=1平方关系：sin2( )+cos2( )=1tan2( )+1=

17、sec2( )cot2( )+1=csc2( )·商的关系：tan =sin /cos cot =cos/sin ·倒数关系：tan ·cot =1sin ·csc =1cos·sec =1万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2(/2)学习必备欢迎下载常用的诱导公式有以下几组：公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin （2k） sin cos（2k） costan （2k） tan cot （2k） cot

18、 公式二：设 为任意角， + 的三角函数值与 的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos（ ） costan （ ） tan cot （ ） cot 公式三：任意角 与- 的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin cos（ ） costan （ ） tan cot （ ） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 - 与 的三角函数值之间的关系：sin （ ） sin 学习必备欢迎下载cos（ ） costan （ ） tan cot （ ） cot 公式五：利用公式一和公式三可以得到2- 与 的三角函数值之间的关系：sin （2 ） sin cos（2 ） costan

19、（2 ） tan cot （2 ） cot 公式六：/2 ± 及 3/2 ± 与 的三角函数值之间的关系：sin （ /2 ） coscos（ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan sin （ /2 ） coscos（ /2 ） sin tan （ /2 ） cot cot （ /2 ） tan sin （3/2 ） coscos（3/2 ） sin tan （3/2 ） cot 学习必备欢迎下载cot （3/2 ） tan sin （3/2 ） coscos（3/2 ） sin tan （3/2 ） cot cot （3/2 ） t

20、an ( 以上 kZ)一般的最常用公式有 :Sin(A+B)=SinA*CosB+SinB*CosASin(A-B)=SinA*CosB-SinB*CosACos(A+B)=CosA*CosB-SinA*SinBCos(A-B)=CosA*CosB+SinA*SinBTan(A+B)=(TanA+TanB)/(1-TanA*TanB)Tan(A-B)=(TanA-TanB)/(1+TanA*TanB)平方关系：sin2( )+cos2( )=1tan2( )+1=sec2( )cot2( )+1=csc2( )·积的关系：sin =tan *cos cos=cot *sin tan

21、=sin *sec cot =cos*csc 学习必备欢迎下载sec=tan *csc csc =sec*cot ·倒数关系：tan ·cot =1sin ·csc =1cos·sec =1直角三角形 ABC中,角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边 ,余弦等于角 A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边 ,三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数：cos( +)=cos ·cos -sin ·sin cos( - )=cos ·cos +sin ·sin sin( ± )=sin ·c

22、os±cos·sin tan( +)=(tan +tan )/(1-tan·tan )tan( - )=(tan -tan )/(1+tan·tan )·辅助角公式：Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t) ，其中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)·倍角公式：学习必备欢迎下载sin(2 )=2sin ·cos=2/(tan +cot )cos(2 )=cos2( )-sin2( )=2cos2( )-1=1-2sin2( )tan(2 )=2tan /1-tan2

23、( )·三倍角公式：sin(3 )=3sin -4sin3( )cos(3 )=4cos3( )-3cos ·半角公式：sin( /2)= ± (1 -cos )/2)cos( /2)= ± (1+cos )/2)tan( /2)= ± (1 -cos )/(1+cos )=sin /(1+cos )=(1-cos )/sin·降幂公式sin2( )=(1-cos(2)/2=versin(2)/2cos2( )=(1+cos(2 )/2=vercos(2)/2tan2( )=(1-cos(2)/(1+cos(2 )·万能公式

24、：sin =2tan( /2)/1+tan2(/2)cos=1-tan2(/2)/1+tan2( /2)tan =2tan( /2)/1-tan2(/2)·积化和差公式：sin ·cos =(1/2)sin(+)+sin( - )cos·sin =(1/2)sin(+)-sin( - )cos·cos =(1/2)cos(+)+cos( - )学习必备欢迎下载sin ·sin =-(1/2)cos(+)-cos( - )·和差化积公式：sin +sin =2sin(sin -sin =2cos(cos+cos=2cos(cos-cos

25、 =-2sin(·其他：+)/2cos(- )/2+)/2sin(- )/2+)/2cos(- )/2 + )/2sin(- )/2sin +sin( +2/n)+sin( +2*2/n)+sin( +2*3/n)+ +sin +2*( n-1)/n=0cos +cos( +2/n)+cos( +2*2/n)+cos( +2*3/n)+ +cos +2*( n-1)/n=0 以及sin2( )+sin2( -2 /3)+sin2(+2/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0部分高等内容·高等代数中三角函数的指数表示( 由泰勒级

26、数易得 ) ：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i)cosx=e(ix)+e(-ix)/2tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix)泰勒展开有无穷级数， ez=exp(z) 1 z/1 ！z2/2 ！z3/3 ！z4/4 ！ zn/n ！此时三角函数定义域已推广至整个复数集。·三角函数作为微分方程的解：学习必备欢迎下载对于微分方程组 y=-y''y=y''''，有通解 Q,可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数， 其拥有很多与

27、三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值a030456090sina01/2 2/2 3/21cosa13/2 2/21/20tana0 3/31 3NonecotaNone313/30三角函数的计算幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn(n=0. )c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x - a)n(n=0. )它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中 c0,c1,c2,.及 a 都是常数 ,这种级数称为幂级数 .泰勒展开式 ( 幂级数展开法 ):f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a

28、)/2!*(x-a)2+.f(n)(a)/n!*(x-a)n+.实用幂级数：ex=1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+.ln(1+x)=x-x2/3+x3/3-.(-1)k-1*xk/k+.(|x|<1)sinx=x-x3/3!+x5/5!-.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-<x<)cosx=1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-<x<)学习必备欢迎下载arcsinx=x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5+.(|x|<1)arccosx= -(x+1/2*x3/3+1*3/(2*4)*

29、x5/5+.)(|x|<1)arctanx=x-x3/3+x5/5-.(x1)sinhx=x+x3/3!+x5/5!+.(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)!+.(-<x<)coshx=1+x2/2!+x4/4!+.(-1)k*x2k/(2k)!+.(-<x<)arcsinhx=x-1/2*x3/3+1*3/(2*4)*x5/5-.(|x|<1)arctanhx=x+x3/3+x5/5+.(|x|<1)-傅立叶级数 ( 三角级数 )f(x)=a0/2+(n=0. )(ancosnx+bnsinnx)a0=1/ (.- )(f(x)dxan=1/ (

30、.- )(f(x)cosnx)dxbn=1/ (.- )(f(x)sinnx)dx注意：正切也可以表示为“Tg”如： TanA=TgASin2a=2SinaCosaCos2a=Cosa2-Sina2=1-2Sina2=2Cosa2-1Tan2a=2Tana/1-Tana2众所周知 ,在数学和物理中,三角函数是一个重要的工具,以下是一些推导公式,希望对大家有作用平方关系：学习必备欢迎下载sin2( )+cos2( )=1 cos2a=(1+cos2a)/2tan2( )+1=sec2( ) sin2a=(1-cos2a)/2cot2( )+1=csc2( )·积的关系：sin =tan

31、 *cos cos=cot *sin tan =sin *sec cot =cos*csc sec=tan *csc csc=sec*cot ·倒数关系：tan · cot =1sin · csc=1cos· sec=1直角三角形ABC中 ,角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边 ,余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边,·三角函数恒等变形公式学习必备欢迎下载·两角和与差的三角函数：cos( +)=cos ·-sincos· sin cos( -)=cos · cos+sin · sin

32、 sin( ± )=sin · cos± cos· sin tan( +)=(tan +tan -tan)/(1· tan )tan( -)=(tan -tan )/(1+tan· tan )·三角和的三角函数：sin( +)=sin · cos· cos+cos· sin · cos-in·+cos·sin·cos·sinsin cos( +)=cos · cos-·cos·cossin ·-sinsin

33、· cos·-sinsin· sin · costan( +)=(tan +tan -+tan· tan · tan-tan)/(1· tan-tan · tan-tan· tan )·辅助角公式：Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(，其+t)中sint=B/(A2+B2)(1/2)cost=A/(A2+B2)(1/2)tant=B/AAsin +Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t) ， tant=A/B·倍角公式：sin(2 )=2sin · cos=2/(tan