辽宁省沈阳铁路实验中学高三下学期初考试文科数学试题及答案

1、沈阳铁路实验中学2015届高三下学期初考试数学（文）试题一 选择题 （本小题满分60分） 1已知集合，则集合为abcd2“a = 1”是“复数（，i为虚数单位）是纯虚数”的a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件3以下有关线性回归分析的说法不正确的是a通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心b用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a,b的值c相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱d越接近1，表明回归的效果越好4将一枚质地均匀的硬币连掷4次，出现“至少两次正面向上”的概率为abcd5已知为等比数列，sn是它的前n项和。若 ，且a4与a7的等差中项为，则 的值（

2、）a35b33c31d296将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是abcd7某几何体的三视图如图，则该几何体的表面积为abcd8已知圆m过定点且圆心m在抛物线上运动，若y轴截圆m所得的弦长为ab，则弦长等于a4b3 c2 d与点m位置有关的值9当a > 0时，函数的图象大致是10已知椭圆与双曲线有相同的焦点和，若c是a与m的等比中项，n2是2m2与c2的等差中项，则椭圆的离心率为（ ） abcd11如图，在等腰梯形abcd中，ab2dc2，dab60°，e为ab的中点将ade与bec分别沿ed、ec向上折起，使a、b重合于点p，则三

3、棱锥p-dce的外接球的体积为( )a b c d12已知函数的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，则不等式组所确定的平面区域在内的面积为abcd二 填空题（本小题满分20分）13执行如图所示的程序框图，则输出结果s的值为_。14直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若,，则此球的表面积等于 。15平面上三个向量、，满足，则的最大值是_。16已知函数是定义在r上的偶函数，当时，若函数在r上有且仅有4个零点，则a的取值范围是_。三 解答题（本小题满分70分）17在中，（）求的值；（）求的值.23节日期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的顺序，随机抽取第一辆汽车

4、后，每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（）分成六段，后得到如下图的频率分布直方图（1）请直接回答这种抽样方法是什么抽样方法？并估计出这40辆车速的中位数；（2）设车速在的车辆为， ，（为车速在上的频数），车速在的车辆为， ，（为车速在上的频数），从车速在的车辆中任意抽取辆共有几种情况？请列举出所有的情况，并求抽取的辆车的车速都在上的概率19已知四棱锥的底面为菱形，且，,为的中点.（）求证：平面；（）求点到面的距离20（本小题满分12分）已知椭圆c:过点，离心率为，点分别为其左右焦点.（1）求椭圆c的标准方程;（2）若上存在两个点，椭圆上有两

5、个点满足，三点共线，三点共线，且.求四边形面积的最小值.21已知函数，。（1）若对任意的实数a，函数与的图象在x = x0处的切线斜率总想等，求x0的值；（2）若a > 0，对任意x > 0不等式恒成立，求实数a的取值范围。22如图，ab为o的直径，过点b作o的切线bc，oc交o于点e，ae的延长线交bc于点d。（1）求证：ce2 = cd · cb；（2）若ab = bc = 2，求ce和cd的长。23选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，曲线c1的参数方程为:（为参数），m是c1上的动点，p点满足,p点的轨迹为曲线c2（1）求c2的方程;（2）在以o为极

6、点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与c1的异于极点的交点为a，与c2的异于极点的交点为b，求24设函数。（1）求不等式的解集；（2）若存在x使不等式成立，求实数a的取值范围。参考答案1b【解析】2c【解析】试题分析：因为复数（，i为虚数单位）是纯虚数”则可知,a=-1舍去，故可知条件和结论表示的集合相等，因此可知条件是结论成立的充要条件，故选c.考点：复数的概念点评：解决的关键是理解纯虚数的定义，实部为零，虚部不为零，属于基础题。3c【解析】试题分析：对于a通过最小二乘法得到的线性回归直线经过样本的中心，显然成立。对于b用最小二乘法求回归直线方程，是寻求使最小的a,b的值，符合定义。对

7、于c相关系数r越小，表明两个变量相关性越弱，应该是绝对值越小，相关性越弱，故错误。对于d越接近1，表明回归的效果越好，成立，故选c.考点：线性回归方程点评：解决的关键是利用最小二乘法来求解回归的效果，属于基础题。4d【解析】试题分析：由于将一枚质地均匀的硬币连掷4次，所有的情况有 ，那么“至少两次正面向上”情况有（反 反正 正）（正 正 反 反）（正 反 正 反）（正 反反正）（正 正 正 反）（反 正 正 正）（正 反 正 正）（正 正 反 正）（正 正 正 反）（正 正 正正），共有11种情况，因此可知其概率为，选d.考点：古典概型点评：解决的关键是理解试验的基本事件空间，然后结合古典概型

8、概率来计算，属于基础题。5c【解析】试题分析：由,可得 4 a1a7=a1，解得 a7= 再由a4与a7的等差中项为，可得，解得 a4=2设公比为q，则=2q3，解得 q=，故 a1=16，s5=31，故选c考点：等比数列及等差数列的性质点评：此题考查学生掌握等比数列及等差数列的性质，灵活运用等比数列的通项公式及前n项和公式化简求值，是一道中档题6b【解析】试题分析：根据题意，由于将函数y=sin2x的图象向左平移个单位得到解析式为,再向上平移1个单位得到为,故选b.考点：三角函数图像变换点评：本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换和三角函数的倍角公式，属基础题7b【解析】试题分析：根

9、据题意可知该三视图还原为几何体为长方体截取了两个四棱锥剩下的部分，因为底面的边长为2的正方形，高为1，侧面是梯形，上底面积为1，下底面积为4，那么侧面积为上底为1，下底为2，高为的两个等腰梯形，加上矩形2的面积即为所求，故结果为，选b.考点：三视图的运用点评：解决的关键是根据三视图还原几何体，通过几何体的表面积公式来得到求解，属于基础题。8a【解析】试题分析：设圆心坐标为（ ,a）,由于过定点（2，1），则其半径为 ，那么可知其圆的方程为,令x=0,可得关于x的一元二次方程，结合韦达定理可知弦长为=4，故选a.考点：直线与圆锥曲线的综合应用点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉

10、及到轨迹方程的求法及直线与圆锥曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化属于中档题。9b【解析】试题分析：根据题意，由于当a > 0时，函数，那么可知当x在原点右侧附近时，函数值为负数，同时求解导数可知，,，并且不具有奇偶性排除c,然后根据当x趋近于负无穷大时，趋近于零，排除d，然后在选项a,b中看，由于x趋近于正无穷大时，函数值为正，排除a，故选b.考点：函数的图像点评：解决的关键是根据函数的值域的范围，通过特殊值法来求解，属于基础题。10a【解析】试题分析：根据是a、m的等比中项可得c2=am，根据椭圆与双曲线有相同的焦点可得a2+b2=m2+n2=c，根据n2是2m2与c2的等

11、差中项可得2n2=2m2+c2，联立方程即可求得a和c的关系，进而求得离心率e解：根据题意， ，故选a.考点：椭圆的几何性质点评：本题主要考查了椭圆的性质，属基础题11c【解析】试题分析：易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为，故选c.故选c考点：球内接多面体；球的体积和表面积点评：本题考查球的内接多面体，球的体积等知识，考查逻辑思维能力，是中档题13【解析】根据题意，由于起始量为s=0,p=1,i=1,则第一次循环得到：s=1,i=2,p=2; 第二次循环得到：s=1+ ,i=3,p=2 ; 第三次循环得到：s=1+ ,i=4,p=2 =24 ;第四次循环得到

12、：s=1+ ,i=5，p=2 =120 ;此时输出s的值为，故答案为。试题分析：考点：程序框图点评：本题为程序框图题，考查对循环结构的理解和认识，按照循环结构运算后得出结果属于基础题14【解析】在中,可得,由正弦定理,可得外接圆半径r=2,设此圆圆心为，球心为，在中，易得球半径，故此球的表面积为.152【解析】试题分析：根据题意，平面上三个向量、，满足，则说明，则可知故答案为2.考点：向量的数量积点评：解决的关键是利用向量的夹角和数量积公式，转化为已知向量的关系式来求解，属于基础题。16【解析】试题分析：根据题意，由于函数是定义在r上的偶函数，当时，那么可知当满足函数在r上有且仅有4个零点则可

13、知有四个不同的交点，只需要考虑在y轴右侧有两个交点即可，则可知，当相切时有一个，则此时的切点的斜率为a,即,那么当x>0时，则可值只有实数a的取值范围是，但是端点值不能取到，故答案为。考点：函数的零点与方程的关系点评：本题考查了函数的零点与方程的关系，函数的零点就是使得函数y=f（x）的函数值为0时的实数x的值函数的零点y=f（x）就是方程f（x）=0的实数根，从图象上看，函数的零点y=f（x）就是它的图象与x轴交点的横坐标因此，函数的零点的研究就可转化为相应函数图象的交点的问题，数形结合的思想得到了很好的体现17（）=；（）【解析】试题分析：（）在中，可得，已知两边和其中一边的对角，求

14、另一角，显然符合利用正弦定理来解，由于，求的是小边所对的角，故只有一解；（）求的值，由于，有题设条件可知，只需求出的值即可，由已知，可考虑利用余弦定理来求，从而求出的值试题解析：（）易得=，（）在中，, ， 可得，=.考点：解三角形，向量数量级的运算1823（1）系统抽样，；（2）【解析】试题分析：（1）系统抽样的方法是每间隔一个相同的长度，抽取一个样本.所以本小题符合系统抽样的方法.通过直方图计算中位数，是指直方图中从左到右直方图的面积为二分之一这条分界线所对的值，通过运算可求得中位数的估算值.（2）由于车速在的车辆频率为0.05，车速在的车辆的频率为0.1.所以可求出车速在这两段上的车辆数

15、.再求出相应的概率即可.（1）此调查公司在抽样中，用到的抽样方法是系统抽样 2分 车速在区间，上的频率分别为，；车速在区间上的频率是，车速在区间上的频率是中位数在区间内 2分设中位数的估计值是，解之得中位数的估计值为 6分 （2）由（1）得， 8分所以车速在的车辆中任意抽取辆的所有情况是：，共有种情况 10分车速都在上的辆车的情况有种所以车速都在上的辆车的概率是 12分考点：1.统计的方法.2.统计数表的应用.3.概率的运算.19（i）证明：连接 为等腰直角三角形为的中点 2分 得出 是等边三角形由勾股定理得， （ii）。【解析】试题分析：（i）证明：连接 为等腰直角三角形为的中点 2分 又

16、是等边三角形 ，4分又 ，即 6分 （ii）设点到面的距离为 8分,到面的距离 10分 点到面的距离为12分20（1）；（2）.【解析】试题分析：（1）由离心率为e=，得到一方程，再由椭圆过点，代入方程，再由a，b，c的关系，解方程组，即可得到a，b，从而求出椭圆方程；（2）按直线斜率不存在和存在分别讨论：当直线斜率不存在时，直线pq的斜率为0，易得,.当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式可将mn的长用k的代数式表示出来；此时由于直线，所以pq的方程为：将它与椭圆方程联立消去y，得到x的二次方程，运用韦达定理和弦长公式可将pq的长用k的代数式表

17、示出来；从而四边形面积s可表示为k的函数，进而就可求出s的最小值试题解析：（1）由题意得：，得，因为，得，所以，所以椭圆c方程为. 4分（2）当直线斜率不存在时，直线pq的斜率为0，易得,.当直线斜率存在时，设直线方程为：与联立得；令，.， 6分，直线pq的方程为：将直线与椭圆联立得，令,，；， 8分四边形面积s=，令，上式=所以.最小值为 12分考点：1椭圆的标准方程；2直线与圆锥曲线的关系21（1）a-1（2）【解析】试题分析：解：()恒成立，恒成立即. 方法一：恒成立，则而当时，则，在单调递增，当， 在单调递减，则，符合题意.即恒成立，实数的取值范围为；方法二：，(1)当时，在单调递减，

18、当，在单调递增，则，不符题意；(2)当时，若，单调递减；当， 单调递增，则，矛盾，不符题意；若，（）若，；，在单调递减，在单调递增，在单调递减，不符合题意；（）若时，在单调递减，不符合题意. （）若， 在单调递减，在单调递增，在单调递减，与已知矛盾不符题意.（）若，在单调递增；当， 在单调递减，则，符合题意； 综上，得恒成立，实数的取值范围为 () 由(i)知，当时，有，；于是有 ，.则当时，有 在上式中，用代换，可得相乘得考点：导数的运用点评：解决的关键是借助于导数的符号来判定函数的单调性，以及函数的最值，进而证明不等式，属于基础题。22（1）利用相似三角形来证明线段的对应长度的比值，得到结论。（2）3 【解析】试题分析：()证明：连接be.bc为o的切线 abc90°，2分aeoced cedcbe, 4分cccedcbe cecdcb6分