2021届高考数学一轮复习第十章统计与统计案例第二节用样本估计总体学案理含解析

1、第二节第二节用样本估计总体用样本估计总体最新考纲考情分析核心素养1.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取基本的数字特征(平均数、标准差)，并给出合理解释.4.会用样本的频率分布估计总体的分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.频率分布直方图、茎叶图及其应用，将是 2021 年高考考查的热点，题型将是选择题或填空题，分值为 5分，也可能与概率结合一起在解

2、答题中出现.1.数据分析2.数学运算知识梳理1作频率分布直方图的步骤(1)求极差(即一组数据中1最大值与2最小值的差)；(2)决定3组距与4组数；(3)将数据5分组；(4)列6频率分布表；(5)画7频率分布直方图2频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的8中点，就得到频率分布折线图(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时9所分的组数增加，10组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线3茎叶图的优点茎叶图的优点是不但可以保留所有信息，而且可以随时记录，这对数据的11记录和12表示都能带来方便4样

3、本的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征概念优点和缺点众数一组数据中重复出现次数13最多的数众数通常用于描述变量的值出现次数最多的数，但显然它对其他数据信息的忽视使它无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按14从小到大的顺序排列，处在15中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数等分样本数据所占频率， 它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有 n 个数据 x1，x2，xn，那么这 n 个数的平均数 x16x1x2xnn平均数与每一个样本数据有关， 可以反映出更多的关于样本数据全体的信息， 但平均数受数据中的极端值的影响较大，

4、使平均数在估计总体时可靠性降低(2)标准差、方差 标 准 差 ： 样 本 数 据 到 平 均 数 的 一 种 平 均 距 离 ， 一 般 用 s 表 示 ， s 1n（x1 x）2（x2 x）2（xn x）2.方差：标准差的平方 s2，s21n(x1 x)2(x2 x)2(xn x)2，其中 xi(i1，2，3，n)是样本数据，n 是样本容量， x是样本平均数常用结论平均数、方差的公式推广(1)若数据 x1，x2，xn的平均数为 x，那么 mx1a，mx2a，mx3a，mxna 的平均数是 m xa.(2)数据 x1，x2，xn的方差为 s2.数据 x1a，x2a，xna 的方差也为 s2；数

5、据 ax1，ax2，axn的方差为 a2s2.基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率()(2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为 1.()(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()(4)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势()(5)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进教材2(必修 3p100a2(1)改编)一个容量为 32 的样本，已知某组样本的频率为 0.25，则该组样本的频数为()a4b8c12d16答案：b3(必

6、修 3p70示例改编)若某校高一年级 8 个班参加合唱比赛的得分茎叶图如图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()a91.5 和 91.5b91.5 和 92c91 和 91.5d92 和 92答案：a三、易错自纠410 名工人某天生产同一零件，生产的零件数分别是 15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设其平均数为 a，中位数为 b，众数为 c，则有()aabcbbcaccabdcba解析：选 d依题意，这些数据由小到大依次是 10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，因此 a14.7，b15，c17，所以 cba.5(2019 届郑州质检)已知甲、乙

7、两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中 m，n 的比值mn_解析：由茎叶图可知，甲的数据为 27，30m，39，乙的数据为 20n，32，34，38.由此可知，乙的中位数是 33，所以甲的中位数也是 33，所以 m3.由此可以得出甲的平均数为 33，所以乙的平均数也是 33，所以有20n323438433，所以 n8，所以mn38.答案：386某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于 35 岁的 80名教师按年龄分组，分组区间为35，40)，40，45)，45，50)，50，55)，55，60，由此得到如图所示的频率分布直方图，则这 80 名教师

8、中年龄小于 45 岁的有_人解析：由频率分布直方图可知 45 岁以下的教师的频率为 5(0.0400.080)0.6，所以共有 800.648(人)答案：48考点统计图表的应用问题|题组突破|1(2019 届东北三省四市一模)“科技引领，布局未来”，科技研发是企业发展的驱动力量.2007 年至 2018 年，某企业连续 12 年累计研发投入达 4 100 亿元我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比这 12 年间的研发投入(单位：十亿元)用如图所示的条形图表示，研发投入占营收比用图中的折线图表示，根据折线图和条形图，下列结论错误的是()a2012 年至 2013 年研发投入占营收比增

9、量相比 2017 年至 2018 年增量大b2013 年至 2014 年研发投入增量相比 2015 年至 2016 年增量小c该企业连续 12 年研发投入逐年增加d该企业连续 12 年来研发投入占营收比逐年增加解析：选 d对于 a，2012 年至 2013 年研发投入占营收比增量为 13.5%11.5%2%，2017 年至 2018 年研发投入占营收比增量为 14.9%14.6%0.3%，a 正确；对于 b，2013 年至 2014 年研发投入增量为 32302(十亿元)，2015 年至 2016 年研发投入增量为 604119(十亿元)，b 正确；对于 c，由题图易知该企业连续 12 年研发

10、投入逐年增加，c 正确；对于d，由题图知 2008 年至 2009 年研发投入占营收比是减少的，d 错误故选 d2(2019 届广西桂林市、百色市、崇左市联考)在如图所示的一组数据的茎叶图中，有一个数字被污染后模糊不清，但曾计算得该组数据的极差与中位数之和为 61，则被污染的数字为()a1b2c3d4解析：选 b由题图可知该组数据的极差为 482028，则该组数据的中位数为 612833，所以被污染的数字为 2.3(2020 届四川五校联考)如图为截止到 2019 年 3 月末， 我国外汇储备近 1 年的变化折线图，由此得到以下说法，其中叙述正确的是()a近 1 年来，我国外汇储备月增长量最大

11、的月份是 2019 年 3 月b2018 年 4 月至 10 月，我国外汇储备连续下降c2018 年底，我国外汇储备降至近年来最低d截止到 2019 年 3 月末，我国外汇储备连续五个月上升解析：选 d选项 a，由图知，我国外汇储备月增长量最大的月份是 2019 年 1 月，a 错误；选项 b，2018 年 4 月至 10 月，我国外汇储备有升有降，b 错误；选项 c，由图无法说明2018 年底，我国外汇储备降至近年来最低，c 错误；选项 d，我国外汇储备自 2018 年 11 月起连续上升，2019 年 3 月为第五个月，d 正确故选 d名师点津统计图的分析策略：(1)注意统计图中的点、线的

12、变化规律；(2)抓住特殊的数据，明确它们所表示的意义，特别是最大数据与最小数据；(3)涉及两个或两个以上的统计图时，它们之间往往存在某种关系；(4)如果涉及数轴，一定要明确数轴表示的意义考点一频率分布直方图应用【例 1】(2019 年全国卷)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 a，b 两组，每组 100 只，其中 a 组小鼠给服甲离子溶液，b 组小鼠给服乙离子溶液每只小鼠给服的溶液体积相同、物质的量浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图：记 c 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于

13、5.5%” ，根据直方图得到 p(c)的估计值为 0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中 a，b 的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)解(1)由已知得 0.70a0.200.15，故 a0.35.b10.050.150.700.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.054.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.156.00.名师点津1由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握的 2 个关系式(1)频率组距组距频率(2)频

14、数样本容量频率，此关系式的变形为频数频率样本容量，样本容量频率频数2利用频率分布直方图估计样本的数字特征的方法(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标|跟踪训练|1 某网络营销部门随机抽查了某市 200 名网友在 2018 年 11 月 11 日的网购金额， 所得数据如下表：网购金额(单位：千元)人数频率(0，1160.08(1，2240.12(2，3xp(3，4yq(4，5160.08(5，6140.07总计2001.00已知网购金

15、额不超过 3 千元与超过 3 千元的人数比恰为 32.(1)试确定 x，y，p，q 的值，并补全频率分布直方图(如图)；(2)该营销部门为了了解该市网友的购物体验，从这 200 名网友中，用分层抽样的方法从网购金额在(1，2和(4，5的两个群体中抽取 5 人进行问卷调查，若需从这 5 人中随机选取 2人继续访谈，则此 2 人来自不同群体的概率是多少？解：(1)根据题意有1624xy1614200，1624xy161432，即xy130，40 x30y32，解得x80，y50，p802000.40，q502000.25.补全频率分布直方图如图所示：(2)根据题意，抽取网购金额在(1，2内的人数为

16、24241653，抽取网购金额在(4，5内的人数为16241652.故此 2 人来自不同群体的概率 pc13c12c2535.考点二样本的数字特征【例 2】(2019 年全国卷)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了 100 个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率 y 的频数分布表.y 的分组0.20，0)0，0.20)0.20，0.40)0.40，0.60)0.60，0.80)企业数22453147(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间

17、的中点值代表)(精确到 0.01)附： 748.602.解(1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的 100 个企业中产值增长率不低于 40%的企业频率为1471000.21.产值负增长的企业频率为21000.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于 40%的企业比例为 21%，产值负增长的企业比例为 2%.(2) y1100(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30，s21100错误错误!i(yi y)21100(0.40)22(0.20)22402530.202140.40270.029 6，则 s 0.029 60.02 740.17.所以，

18、这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30，0.17.名师点津(1)平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定(2)用样本估计总体就是利用样本的数字特征来描述总体的数字特征|跟踪训练|2 (2019 届江西八校联考)规定一个学生数学成绩优秀的标志为连续 5 次数学考试成绩(满分 150 分)均不低于 120 分现有甲、乙、丙三位学生连续 5 次数学考试成绩的记录数据(记录数据都是正整数)情况：甲学生：5 个数据的中位数为 127，众数为 120；乙学生

19、：5 个数据的中位数为 125，总体均值为 127；丙学生：5 个数据中有一个数据是 135，总体均值为 128，总体方差为 19.8.则可以断定数学成绩优秀的学生为()a甲、丙b乙、丙c甲、乙d甲、乙、丙解析： 选 a因为甲学生的5 个数据的中位数为 127， 所以 5个数据中有2 个数据大于127，又 5 个数据的众数是 120，所以有 2 个数据为 120，所以甲学生的 5 个数据均不小于 120，所以甲学生数学成绩优秀丙学生的 5 个数据中的一个数据为 135，设另外 4 个数据分别是 a，b ， c ， d ， 因 为 5 个 数 据 的 总 体 均 值 为 128 ， 总 体 方

20、差 为 19.8 ， 所 以（a128）2（b128）2（c128）2（d128）2（135128）25 19.8，所 以(a 128)2(b128)2(c128)2(d128)250，假设 a，b，c，d 中存在小于 120 的数据，不妨设 a64，显然式不成立，所以假设错误，即 a，b，c，d 均不小于120，所以丙学生的 5 个数据均不小于 120，所以丙学生数学成绩优秀根据乙学生的记录数据不能得出连续 5 次数学考试成绩均不低于 120 分， 即不能断定乙学生数学成绩优秀 故选 a考点频率分布直方图与概率的交汇应用问题【例】(2019 届长春模拟)某中学共有 1 000 名学生参加了该

21、地区高三第一次质量检测的数学考试，数学成绩如下表所示：数学成绩分组0，30)30，60)60，90)90，120)120，150人数6090300 x160(1)为了了解同学们前段复习的得失，以便制定下阶段的复习计划，学校将采用分层抽样的方法抽取 100 名同学进行问卷调查，甲同学在本次测试中数学成绩为 95 分，求他被抽中的概率；(2)已知本次数学成绩的优秀线为 110 分，试根据所提供数据估计该中学达到优秀线的人数；(3)作出频率分布直方图，并估计该学校本次考试的数学平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)解(1)分层抽样中，每个个体被抽到的概率均为样本容量总体中个体总数，故甲同学

22、被抽到的概率 p1001000110.(2)由题意得 x1 000(6090300160)390， 故估计该中学达到优秀线的人数为 16039012011012090290.(3)由(1)及题表可得频率分布直方图如图所示该学校本次考试数学平均分 x11 000(6015904530075390105160135)90(分)所以估计该学校本次考试的数学平均分为 90 分名师点津以随机抽样获取样本为基础，首先画频率分布表、频率分布直方图，然后应用这些图表计算频率、频数和数字特征|跟踪训练|(2019长沙、 南昌第一次联考)“2018 弘扬中华优秀传统文化经验交流大会”于 2018 年 11月26日在深圳举行， 会议同期举行了“深圳市中华优秀传统文化公益讲堂”启动仪式 从2019年 1 月起到 12 月，深圳市文化和健康发展促进