向量函数极限ppt课件

1、1Ch1向量函数向量函数1向量函数向量函数2曲线的概念曲线的概念3空间曲线空间曲线21向量函数向量函数一E3 中实变向量函数 二向量函数的极限、连续和微积分简介 三常用几何条件的解析判定式3 给出一点集给出一点集G, ,如果对于每一个点如果对于每一个点x，有一个确定的向量有一个确定的向量 和它对应，则在和它对应，则在G G上给定了一个向量函数，记作上给定了一个向量函数，记作 ,rr xxG一、向量函数的概念一、向量函数的概念r注：注： ,Irr tt区间一元向量函数一元向量函数,( , )Grr u vu v平面区域二元向量函数二元向量函数几何意义？几何意义？40ott 设r（t）是所给的一元

2、向量函数，a 是常向量（即长度与方向都固定的向量），如果对任意给定的 0,都存在数 o, 使得当 时 rta成立，则我们说，当 时，向量函数 趋于极限 。记作0tt r ta 0limttr ta1 1 向量函数的极限向量函数的极限看看 图图二向量函数的极限、连续和微积分简介二向量函数的极限、连续和微积分简介5命题命题1 若 和 是两个一元向量函数， 是一个实函数，并且当 时这些函数的值趋 s t r t t0tt即向极限 ,r ta s tbtm 0,0,0r tas tbtm则有6（1）两个向量函数之和（差）的极限等于极限之和（差）： r ts tab t r t t r tma（2）乘积

3、 （数量乘向量的极限等于极限的乘积）：7（3）数量积 的极限等于极限的数量积 r ts ta b r ts t（4）向量积 的极限等于极限的向量积 r ts t r ts ta b8命题命题1的证明的证明 命题1的证明原则上和数学分析中关于实函数所对应的命题的证明没有什么分别。(1) r ts tabr tas tb r tas tb0rta0tt当 时由已知条件 0stb r ts tab有 0r ts tab即9（2）作出向量的差 t r tmatr tatm a t r tmatr tatm a由此得出 0r ta 0tb0tt当 时由已知条件 及 ,tma是常数有 0t r tma即

4、trtm a10（3）作出数量差 r ts ta br tas ts tba r ts ta br tas ts tba由此得出cosp qp qpq因为任何两个向量p、q的数量积所以pqp q因此，如果 趋于零（即 ），而 趋于确定的极限 （此时有 ），那么不等式的右边趋向零。此时有pq0q0p 0qq0p q11因而 0,r tas tb0tt当 时由已知条件 知不等式（1.2）右边第一项有 0r tas t 0s tba 0r ts ta b r ts ta b同理于是得到即12（4）作出向量差 r ts ta br tas tas tb pqp q0p 0pq r ts ta br t

5、as tas tb 由此得出qsinpqp qpq r ts ta b 把这个结论应用到不等式（1.3）的右边，便有当 因为两个向量 和 的向量积的模所以 。因此，如果 ，而 趋于确定的极限，则pq 0r ts ta b ott时，由已知条件可得到即132 2 向量函数的连续性向量函数的连续性 给出一元向量函数r(t)，当 时 ，若向量函数 ，则称向量函数r(t)在 点连续连续。 0tt )()(0trtr0t0t0( )( )r tr t 如果r(t)在区间 的每一点都连续，则称r(t)在区间 上是连续的。21ttt21ttt利用命题1的结果，我们可以得到：0limtt 利用极限的定义，可把

6、向量函数r(t)在 连续表示为14命题命题2 如果 和 是在点 连续的向量函数，而 是在点 连续的实函数，则向量函数 ， ， 和实函数 也都在点 连续（把命题中的点 改为区间 时，命题也成立）。)(tr)(ts0t)(t0t)()(tstr)()(trt)()(tstr)()(tstr0t0t21ttt153 向量函数的微商向量函数的微商 设r(t)是定义在区间 上的一个向量函数。设 ，如果极限21ttt),(210ttt ttrttrt)()(000lim存在，则称 在点 是可微分的，这个极限称为 在 点的微商微商(或导矢导矢)，用 或 表示，即)(tr0t)(tr0t0tdtrd)(0tr

7、.)()()(000limttrttrtrdtrdtoto16 如果 在某个开区间的每一点都有微商存在，则我们说 在此区间内是可微的在此区间内是可微的或简称向量函数向量函数 是可微的是可微的，它的微商记为 。)(tr)(tr)(tr)(tr)(),(),(tutstr)(t)(),(),(),()(),()(),()(),()(tutstrtstrtstrtstrtrt).,(),(),(),(,)(,)(,)(,)(usrusrusrusrsrsrsrsrsrsrsrsrrrr 命题命题3 设 分别是可微的向量函数， 是可微的实函数，则 都是可微的，并且17 这些公式的证明和数学分析中实函数

8、的对应公式的证明相似,但是应该注意的是向量的向量积和混合积跟向量的次序有关,不能把次序任意交换。作为例子，我们证明后面三个结果。 ).()()()()()()()()()()()()()()()()()()(limlimlimlimlimlim000000tstrtstrttsttstrttsttrttrttsttstrtttstrttrttstrttsttrsrtttttt18).()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(limlimlimlimlimlim000000tstrtstrttsttstrttsttrttrttsttstrtttstrttr

9、ttstrttsttrsrtttttt由上面的结果可以得到).,(),(),()()()()()()()(),(usrusrusrusrusrusrusrusrsrusrusrusrusr 19 向量函数 的微商 仍为 的一个向量函数,如果函数 也是连续的和可微的,则 的微商 称为 的二阶微商二阶微商。类似地可以定义三阶、四阶等等的微商。在区间 上有直到k阶连续微商的函数称为这区间上的k次可微函数次可微函数或 类函数类函数，连续函数也称为 类函数，无限可微的函数记为 类函数。解析函数记为 类函数。)(tr)(trt)(tr)(tr)(tr )(tr,21ttkC0CCC可以表示为数三个基本向量

10、，向量函是笛卡儿直角坐标系的设)(,321treee,)()()()(321etzetyetxtr所以每一个向量函数 与三个有序实函数组x(t),y(t),z(t)一一对应。) (tr20 命题4 如果向量函数 在 上是 类函数，则向量函数所对应的三个实函数 在 上是 类函数。)(tr2,1ttkC)(),(),(tztytx2,1ttkC类函数。是同理可证类函数。是类函数，所以是是常向量，而由于得两边点乘将证明kkkCtztyCtxCtreetrtxeetzetyetxtr)(),()()(.)()()()()()(111321214 向量函数的泰勒（向量函数的泰勒（Taylor)公式公式英

11、国数学家，18世纪早期英国牛顿学派最优秀的代表人物之一；限差分理论的奠基人。 最重要的著作是正的和反的增量方法(1715) 22定理定理ottttttrnntntrnntntrttrttrttrCnttttr),0(0),0()0()1()!1()()1()0()(!)()0( !2)(2)0()0()0(10,0)(时，其中式为：类函数，则有泰勒展开上是在设向量函数23注：1、当Ctr)(时，我们就可以把他展成泰勒级数即：)(!)(! 2)()()(0)(0 2000)()(trttrttrttnnntrtr2、如果Ctr)(， 则上述泰勒级数时收敛的。245 向量函数的积分向量函数的积分

12、向量函数的积分的定义和实函数的情形相同， 即：0,)()(11111011limttttttttttiiiinniiininbanbaardttr时，当）中的任意点，是区间（的分点，表示区间其中25:)()()()(321则有是可积的，如果向量函数eeetztytxtrbabababadttzdttydttxdttreee)()()()(32126命题命题5 如果向量函数)(tr是区间a,b上的连续函数，则积分：dttrba)(存在，并且1abc 时有dttrdttrdttrbccaba)()()(272m是常数时有dttrmdttrmbaba)()(3如果m是常向量，则有( )( )bbaa

13、mr t dtmr t dt dttrmdttrmbaba)()()()(xrdttrdxdba4286等价的分量行为等价的分量行为 f 连续连续 f 各个分量 f1, f2, f3 连续 ； f 可导可导 f 各个分量 f1, f2, f3 可导 ； f 可微可微 f 各个分量 f1, f2, f3 可微 ； f 可积可积 f 各个分量 f1, f2, f3 可积 ； f Ck f 各个分量 f1, f2, f3Ck ,k=0,1,2,； 且 f 求各种极限极限、导数导数（或称微商微商或导向量导向量）、微分微分、高阶导数高阶导数、偏导数偏导数、定积分定积分、不定积分不定积分等等运算的结果，即

14、为由各个分量作相应运算所求得的结果而构成的向量或向量函数 约定约定：今后不声明时总考虑 f C3 例例 1 r r(t) (cos t , sin t , 0) ，则 例例 2 r r(u, v) (cos u , sin u , v) ，则 29三常用几何条件的解析判定式 以一元向量函数为例，对于其终点的三种特殊的几何分布（想想是什么）列示出如下结果并且加以证明 定理定理设 r(t) 在开区间 (a, b) 内足够阶连续可微，则有充要条件如下： r(t) const. r(t)r (t) 0 ； 设 r(t) 处处非零, 则r(t)e const. 0 r(t)r (t) 0 ； 设r(t)r (t) 处处非零，则r(t) 垂直于一个固定的方向 (r(t), r (t), r (t) 0 30三常用几何条件的解析判定式 注记注记 1除了上述较为“直观”的证法之外，上述充要条件有更“初等”的证明在后续内容之中，我们往往采用比较直观的证明办法（而不一定是最“短”的证