第2章杆件的变形与强度计算

1、第第2章杆件的变形与强度计算章杆件的变形与强度计算 2. 1概述概述 2. 2轴向拉仲和压缩轴向拉仲和压缩 2. 3剪切和挤压剪切和挤压 2. 4圆轴扭转圆轴扭转 2. 5梁的弯曲梁的弯曲返回第第2章章 杆件的变形与强度计算杆件的变形与强度计算在工程实际中，常常遇到这样的情况在工程实际中，常常遇到这样的情况:当杆件受力过大时，会发生破当杆件受力过大时，会发生破坏而造成事故，或者杆件在受力后产生过大的变形而影响机器的正常坏而造成事故，或者杆件在受力后产生过大的变形而影响机器的正常工作。例如齿轮轴有时会因为载荷过大而断裂，造成机器停止运转，工作。例如齿轮轴有时会因为载荷过大而断裂，造成机器停止运转

2、，或者在受力变形后影响齿轮间的正常啮合，这些情况在实际中都是不或者在受力变形后影响齿轮间的正常啮合，这些情况在实际中都是不允许的。因此为了保证机器或构件正常工作，要求每个构件都具备足允许的。因此为了保证机器或构件正常工作，要求每个构件都具备足够的抵抗破坏的能力，即有足够的强度、刚度和稳定性。通过本章学够的抵抗破坏的能力，即有足够的强度、刚度和稳定性。通过本章学习，应达到如下目标习，应达到如下目标: 知识目标知识目标了解各种基本变形的应力概念、特点和分布规律了解各种基本变形的应力概念、特点和分布规律掌握各种基本变形的应力和强度计算方法掌握各种基本变形的应力和强度计算方法下一页返回第第2章章 杆件

3、的变形与强度计算杆件的变形与强度计算 能力目标能力目标具有分析杆件内力的能力，能进行强度和刚度计算具有分析杆件内力的能力，能进行强度和刚度计算对应力状态理论和强度理论有一定的认识对应力状态理论和强度理论有一定的认识上一页返回2.1概述概述 2.1.1杆件正常工作的基本要求杆件正常工作的基本要求为了保证机械零件有足够的承载能力，零件必须满足下列基本要求为了保证机械零件有足够的承载能力，零件必须满足下列基本要求:(1)足够强度。构件在外载荷作用下会产生变形，构件产生显著的塑足够强度。构件在外载荷作用下会产生变形，构件产生显著的塑性变形或断裂将导致构件失效。例如，起吊重物的钢丝绳不能被拉断，性变形或

4、断裂将导致构件失效。例如，起吊重物的钢丝绳不能被拉断，减速器中齿轮的轮齿在传递载荷时不允许被折断，构件抵抗破坏的能减速器中齿轮的轮齿在传递载荷时不允许被折断，构件抵抗破坏的能力称为构件的强度。力称为构件的强度。(2)足够刚度。构件不仅要有足够的强度，而且也不能产生过大的弹足够刚度。构件不仅要有足够的强度，而且也不能产生过大的弹性变形。产生过大的变形，就影响构件的正常工作。例如传动轴发生性变形。产生过大的变形，就影响构件的正常工作。例如传动轴发生较大变形，轴承、齿轮会加剧磨损，降低寿命，影响齿轮的正常啮合，较大变形，轴承、齿轮会加剧磨损，降低寿命，影响齿轮的正常啮合，使机器不能运转。所以把构件抵

5、抗变形的能力称为构件的刚度。使机器不能运转。所以把构件抵抗变形的能力称为构件的刚度。下一页返回2.1概述概述(3)足够稳定性。一些细长与薄壁的构件在轴向压力达到一定程度时，足够稳定性。一些细长与薄壁的构件在轴向压力达到一定程度时，会出现失去原有平衡形式而丧失正常工作能力，这种现象称为构件丧会出现失去原有平衡形式而丧失正常工作能力，这种现象称为构件丧失了稳定。例如液压缸中的长活塞杆，若其丧失了稳定性，就会突然失了稳定。例如液压缸中的长活塞杆，若其丧失了稳定性，就会突然变弯或由此导致折断。把压杆能够维持原有直线平衡状态的能力称为变弯或由此导致折断。把压杆能够维持原有直线平衡状态的能力称为压杆的稳定

6、性。压杆的稳定性。 2.1.2杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式杆件是机械中最常用的基本形式。所谓的杆件，就是纵向杆件是机械中最常用的基本形式。所谓的杆件，就是纵向(长度方向长度方向)尺寸远大于横向尺寸远大于横向(垂直于长度方向垂直于长度方向)尺寸的构件。例如悬臂吊中的拉杆尺寸的构件。例如悬臂吊中的拉杆和横梁，机器中的齿轮轴等等都属于杆件。杆件有两个主要几何因素，和横梁，机器中的齿轮轴等等都属于杆件。杆件有两个主要几何因素，即横截面和轴线杆件分为直杆和曲杆。直杆的特征是轴线为直线，如即横截面和轴线杆件分为直杆和曲杆。直杆的特征是轴线为直线，如图图2一一1 ( a)所示所示;曲杆的特征是轴线为

7、曲线，如图曲杆的特征是轴线为曲线，如图2一一1 (b)所示。直杆所示。直杆和曲杆的轴线与横截面都是相互乖直的。和曲杆的轴线与横截面都是相互乖直的。上一页 下一页返回2.1概述概述1.杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式杆件在不同的受力情况下各不相同，受力后所产生变形形式也随之改杆件在不同的受力情况下各不相同，受力后所产生变形形式也随之改变。对于杆件来说，其受力后产生的变形有以下变。对于杆件来说，其受力后产生的变形有以下4种形式。种形式。(1)轴向拉仲和轴向压缩。在一对等值、反向、作用线与杆轴线重合轴向拉仲和轴向压缩。在一对等值、反向、作用线与杆轴线重合的外力作用下，直杆的主要变形是长度的改变。

8、这种变形称为轴向拉的外力作用下，直杆的主要变形是长度的改变。这种变形称为轴向拉仲或轴向压缩，如图仲或轴向压缩，如图2一一2 (a)和图和图2一一2 (b)所示所示 (2)剪一切。在一对相距很近的等值、反向的横外力作用下，杆的主要剪一切。在一对相距很近的等值、反向的横外力作用下，杆的主要变形是横截面沿外力作用方向发生的相对错动变形，这种变形称为剪变形是横截面沿外力作用方向发生的相对错动变形，这种变形称为剪切，如图切，如图2一一2(c)所示所示(3)扭转。在一对等值、反向、作用面都垂直于杆轴的两个力偶作用扭转。在一对等值、反向、作用面都垂直于杆轴的两个力偶作用下，杆件的任意两个相邻横截面绕轴线发生

9、相对移动变形，而轴线仍下，杆件的任意两个相邻横截面绕轴线发生相对移动变形，而轴线仍维持直线，这种变形形式称为扭转，如图维持直线，这种变形形式称为扭转，如图2-2 (d)所示所示上一页 下一页返回2.1概述概述(4)弯曲。在一对等值、反向、作用在杆件纵向平面内的两个力偶作弯曲。在一对等值、反向、作用在杆件纵向平面内的两个力偶作用下，杆件将在纵向平面内发生弯曲变形，变形后的杆轴线将弯曲成用下，杆件将在纵向平面内发生弯曲变形，变形后的杆轴线将弯曲成曲线，这种变形称为弯曲，如图曲线，这种变形称为弯曲，如图2-2 (e)所示所示 2.1.3内力和应力内力和应力1.内力内力构件所受到的外力包括载荷和约束反

10、力。外力可以从不同的角度分类，构件所受到的外力包括载荷和约束反力。外力可以从不同的角度分类，这些在前一章已介绍。构件在外力作用下发生变形的同时将引起内力。这些在前一章已介绍。构件在外力作用下发生变形的同时将引起内力。在物理学中，物体内相邻质点之间的相互作用力称为内力。物体未受在物理学中，物体内相邻质点之间的相互作用力称为内力。物体未受到外力作用时，内力已经存在，正是因为内力的存在，物体才能保持到外力作用时，内力已经存在，正是因为内力的存在，物体才能保持一定的形状，当外力作用后，原有的内力会发生改变，这一改变量称一定的形状，当外力作用后，原有的内力会发生改变，这一改变量称为附加内力，简称内力。内

11、力由外力引起，随外力的增大而增大，当为附加内力，简称内力。内力由外力引起，随外力的增大而增大，当内力增大到某一极限值时，材料就会破坏。内力增大到某一极限值时，材料就会破坏。上一页 下一页返回2.1概述概述2.应力应力在外力作用下，杆件某一截面上一点处内力的分布集度称为应力。在外力作用下，杆件某一截面上一点处内力的分布集度称为应力。如图如图2-3所示，在杆件截面所示，在杆件截面m-m上任一点上任一点K的周围取一微面积的周围取一微面积A，设，设A上分布内力的合力为上分布内力的合力为F,则在微面积则在微面积A上内力上内力F的平均集度的平均集度 称为称为A上的平均应力。上的平均应力。垂直于截面的应力称

12、为正应力，用垂直于截面的应力称为正应力，用表示表示;平行于截面的应力称为切应平行于截面的应力称为切应力，用力，用表示表示在我国法定计量单位中，应力的单位是在我国法定计量单位中，应力的单位是Pa(帕斯卡帕斯卡)。在工程实践中，。在工程实践中，还常用还常用 ，其中，其中， 上一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩在工程中，经常会遇到轴向拉仲或压缩的杆件，例如图在工程中，经常会遇到轴向拉仲或压缩的杆件，例如图2一一4所示的衍所示的衍架的竖杆、斜杆和上下弦杆，图架的竖杆、斜杆和上下弦杆，图2 -5所示起重架的所示起重架的1, 2杆。作用在这杆。作用在这些杆上外力的合力作用线与杆轴线重合。在这种受

13、力情况下，杆所产些杆上外力的合力作用线与杆轴线重合。在这种受力情况下，杆所产生的变形主要是纵向仲长或缩短。产生轴向拉仲或压缩的杆件称为拉生的变形主要是纵向仲长或缩短。产生轴向拉仲或压缩的杆件称为拉杆或压杆。杆或压杆。1.截面法、轴力和轴力图截面法、轴力和轴力图求构件内力的基本方法是截面法。下面通过求解图求构件内力的基本方法是截面法。下面通过求解图2一一6 (a)的拉杆的拉杆m-m横截面上的内力来阐明这种方法。假想用一横截面将杆沿截面横截面上的内力来阐明这种方法。假想用一横截面将杆沿截面m一一m截开，取左段为研究对象截开，取左段为研究对象(图图2-6 (b)。由于整个杆件是处于平衡状。由于整个杆

14、件是处于平衡状态的，所以左段也保持平衡，由平衡条件态的，所以左段也保持平衡，由平衡条件Fx=0可知，截面可知，截面m -m上的上的分布内力的合力必是与杆轴相重合的一个力，且分布内力的合力必是与杆轴相重合的一个力，且FN=P，其指向背离，其指向背离截面。同样，若取右段为研究对象图截面。同样，若取右段为研究对象图2-6 (c)，可得出相同的结果，可得出相同的结果下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面对于压杆，也可通过上述方法求得其任一横截面m一一m上的轴力上的轴力FN，其指向如图其指向如图2 -7所示。所示。把作用线与杆轴线相重合的内力称为轴力，用

15、符号把作用线与杆轴线相重合的内力称为轴力，用符号FN表示。背离截面表示。背离截面的轴力称为拉力，指向截面的轴力称为压力。通常规定的轴力称为拉力，指向截面的轴力称为压力。通常规定:拉力为正，拉力为正，压力为负。压力为负。轴力的单位为牛顿轴力的单位为牛顿(N)或千牛顿或千牛顿(kN)。这种假想用一截面将物体截开为两部分，取其中一部分为研究对象，这种假想用一截面将物体截开为两部分，取其中一部分为研究对象，利用平衡条件求解截面内力的方法称截面法利用平衡条件求解截面内力的方法称截面法 综上所述，截面法包括以下三个步骤综上所述，截面法包括以下三个步骤:(下面的内力下面的内力N没改没改)(1)沿所求内力的截

16、面假想地将杆件截成两部分沿所求内力的截面假想地将杆件截成两部分(2)取出任一部分为研究对象，并在截开面上取出任一部分为研究对象，并在截开面上(3)列出研究对象的平衡方程，并求解内力。列出研究对象的平衡方程，并求解内力。上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩【例例2.1杆件受力如图杆件受力如图2一一8 ( a)所示，在力所示，在力P 1、P2 、P3作用下处作用下处于平衡已知于平衡已知P 1 = 25 kN , P2 = 3 5 kN , P3 =10 kN，求杆件，求杆件AB和和BC段段的轴力。的轴力。解解:杆件承受多个轴向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力杆件承受多个轴

17、向力作用时，外力将杆分为几段，各段杆的内力将不相同，因此要分段求出杆的力。将不相同，因此要分段求出杆的力。(1)求求AB段的轴力段的轴力用用1一一1截面在截面在AB段内将杆截开，取左段为研究对象段内将杆截开，取左段为研究对象(如图如图2一一8 (b)截截面上的轴力用面上的轴力用FN1表示，并假设为拉力，由平衡方程表示，并假设为拉力，由平衡方程上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩得正号，说明假设方向与实际方向相同，得正号，说明假设方向与实际方向相同，AB段的轴力为拉力。段的轴力为拉力。(2)求求BC段的轴力段的轴力用用2 -2截面在截面在BC段内将杆截开，取左段为研究对象段内将

18、杆截开，取左段为研究对象(如图如图2一一8(c)，截，截面上的轴力用面上的轴力用FN2表示，由平衡方程表示，由平衡方程得负号，说明假设方向与实际方向相反，得负号，说明假设方向与实际方向相反，BC杆的轴力为压力。杆的轴力为压力。若取右段为研究对象若取右段为研究对象(如图如图2一一8(d)，由平衡方程，由平衡方程上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩结果与取左段相同。结果与取左段相同。当杆件受到多于两个的轴向外力作用时，在杆的不同截面上轴力将不当杆件受到多于两个的轴向外力作用时，在杆的不同截面上轴力将不相同，在这种情况下，对杆件进行强度计算时，必须知道杆的各个横相同，在这种情况下，

19、对杆件进行强度计算时，必须知道杆的各个横截面上的轴力、最大轴力的数值及其所在截面的位置。为了直观地看截面上的轴力、最大轴力的数值及其所在截面的位置。为了直观地看出轴力沿横截面位置的变化情况，可按选定的比例尺，用平行于轴线出轴力沿横截面位置的变化情况，可按选定的比例尺，用平行于轴线的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示各横截面轴力的坐标表示横截面的位置，用垂直于杆轴线的坐标表示各横截面轴力的大小，绘出表示轴力与截面位置关系的图线，该图线就称为轴力图。的大小，绘出表示轴力与截面位置关系的图线，该图线就称为轴力图。画图时，习惯上将正值的轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧画图时，习惯上将正值的

20、轴力画在上侧，负值的轴力画在下侧2.拉拉(压压)杆横截面上的应力杆横截面上的应力根据应力的定义和横截面上应力均匀分布的规律，可知拉根据应力的定义和横截面上应力均匀分布的规律，可知拉(压压)变形横变形横截面上存在正应力，用符号截面上存在正应力，用符号表示。其应力计算公式为表示。其应力计算公式为上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩式中式中:横截面上的应力横截面上的应力;FN横截面上的轴力横截面上的轴力;A横截面面积横截面面积3.轴向拉轴向拉(压压)杆的强度条件和强度计算杆的强度条件和强度计算为了使零件有足够的强度，零件在载荷作用下的最大应力必须小于材为了使零件有足够的强度，零件在

21、载荷作用下的最大应力必须小于材料的极限应力料的极限应力0对于塑性材料，取对于塑性材料，取0 =s;对于脆性材料，取对于脆性材料，取 0 =s或或0 =bc但为了零件安全可靠的工作，应留有适当的强度储备。一但为了零件安全可靠的工作，应留有适当的强度储备。一般把极限应力除以大于的安全系数般把极限应力除以大于的安全系数n所得结果的商称为许用应力所得结果的商称为许用应力，即即由拉由拉(压压)杆的工作应力公式杆的工作应力公式(2一一1)可知，为了保证构件能安全正常的可知，为了保证构件能安全正常的工作，则杆内最大的工作应力不得超过材料的许用应力。即工作，则杆内最大的工作应力不得超过材料的许用应力。即上一页

22、 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩式式(2一一2)称为拉称为拉(压压)杆的强度条件杆的强度条件在轴向拉在轴向拉(压压)杆中，产生最大正应力的截面称为危险截面。对于轴向杆中，产生最大正应力的截面称为危险截面。对于轴向拉压的等直杆，其轴力最大的截面就是危险截面。拉压的等直杆，其轴力最大的截面就是危险截面。应用强度条件应用强度条件(式式(2 -2)可以解决轴向拉可以解决轴向拉(压压)杆在强度计算的三类杆在强度计算的三类问题问题:(1)强度校核强度校核已知杆的材料、尺寸已知杆的材料、尺寸(已知已知和和A)和所受的荷载和所受的荷载(已知已知FN)的情况下，的情况下，可用式可用式(2一一2)

23、检查和校核杆的强度。如检查和校核杆的强度。如 ，表示杆的强，表示杆的强度是满足的，否则不满足强度条件。度是满足的，否则不满足强度条件。(2)截面选择截面选择已知所受的荷载，构件的材料，则构件所需的横截面面积已知所受的荷载，构件的材料，则构件所需的横截面面积A可用下式可用下式计算计算上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(3)确定许可荷载确定许可荷载已知杆的尺寸、材料，确定杆能承受的最大轴力，并由此计算杆能承已知杆的尺寸、材料，确定杆能承受的最大轴力，并由此计算杆能承受的许可荷载。受的许可荷载。【例例2. 2】如图如图2一一9所示阶梯形圆截面杆，同时承受轴向载荷所示阶梯形圆截面杆

24、，同时承受轴向载荷F1与与F2作用。试计算杆件各截面上的轴力和正应力。已知作用。试计算杆件各截面上的轴力和正应力。已知 杆件杆件AB段与段与BC段的直径分别为段的直径分别为d1= 20mm与与d2=30mm。解解:(1)计算轴力计算轴力1)取取1一一1截面左侧为研究对象，如图截面左侧为研究对象，如图2一一9 (b)所示。求所示。求AB段轴力段轴力上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2)取取2一一2截面左侧为研究对象，如图截面左侧为研究对象，如图2一一9 (c)所示。求所示。求BC段轴力段轴力FN2为负说明为负说明BC段为压力。段为压力。3)作轴力图，如图作轴力图，如图2 -9

25、 (d)所示所示(2)应力计算应力计算1) AB段任意截面段任意截面1一一1的正应力的正应力2 ) BC段任意截面段任意截面2一一2的正应力的正应力是压应力是压应力上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩【例例2. 3】如图如图2一一10所示，已知一圆杆受拉力所示，已知一圆杆受拉力P = 25 kN，直径，直径d=14 mm,许用应力许用应力 = 170 MPa，此杆是否满足强度要求，此杆是否满足强度要求?解解:最大轴力为最大轴力为面积面积由式由式(2一一1)得得所以此杆满足强度要求。所以此杆满足强度要求。上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩【例例2. 4】如图

26、如图2一一11所示起重设备示意图，杆所示起重设备示意图，杆AB和和BC均为圆截面钢均为圆截面钢杆直径均为杆直径均为d =36 mm，钢杆的许用应力，钢杆的许用应力= 170 MPa，试确定吊车，试确定吊车的最大许用起重量的最大许用起重量W解解:(1)计算计算AB , BC杆的轴力杆的轴力设设AB杆的轴力为杆的轴力为FN1、 BC杆的轴力为杆的轴力为FN2，根据结点，根据结点B的平衡如图的平衡如图2一一11 (b)，由式，由式(1一一9)有有解得解得上式表明，上式表明，AB杆受拉仲，杆受拉仲，BC杆受压缩。杆受压缩。上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(2)求许用载荷求许用载荷

27、由式由式(2 -4)可知，当可知，当AB杆到达许用应力时杆到达许用应力时解得解得当当BC杆到达许用应力时杆到达许用应力时解得解得两者之间取最小值，因此该吊车的最大许可载荷为两者之间取最小值，因此该吊车的最大许可载荷为W = 86. 5 kN上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩4.应变的概念应变的概念假设杆件原长为假设杆件原长为L，直径为，直径为d，承受一对轴向拉力，承受一对轴向拉力F作用后，杆长变为作用后，杆长变为l1 ,直径变为直径变为d1，如图，如图2-12所示，则杆件的纵向仲长为所示，则杆件的纵向仲长为横向收缩量为横向收缩量为Z表示杆件的纵向总仲长量，表示杆件的纵向总仲

28、长量， d表示横向收缩量，显然，对于不表示横向收缩量，显然，对于不同长度的杆件，即使仲长量相同，其变形程度也是不同的，为了量度同长度的杆件，即使仲长量相同，其变形程度也是不同的，为了量度杆件的变形程度，我们引入应变的概念，单位长度上的仲长量称为线杆件的变形程度，我们引入应变的概念，单位长度上的仲长量称为线应变，用符号应变，用符号表示。则杆件的纵向线应变为表示。则杆件的纵向线应变为上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩横向应变为横向应变为实验表明，在材料的弹性范围内，其横向应变与纵向应变的比值为一实验表明，在材料的弹性范围内，其横向应变与纵向应变的比值为一常数，记作常数，记作，称

29、为横向变形系数，称为横向变形系数(泊松比泊松比)。5.胡克定律胡克定律实验表明，对等截面、等内力的拉实验表明，对等截面、等内力的拉(压压)杆，当应力不超过某一极限值杆，当应力不超过某一极限值时，杆的纵向变形时，杆的纵向变形L与轴力与轴力FN成正比，与杆长成正比，与杆长L成正比，与横截面成正比，与横截面面积面积A成反比，这一比例关系称为胡克定律。成反比，这一比例关系称为胡克定律。上一页 下一页返回2. 2轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩式中，式中，E为比例系数，其值与材料的性质有关，称为材料的弹性模量，为比例系数，其值与材料的性质有关，称为材料的弹性模量，它的单位与应力的单位相同。它的单位与应力的单

30、位相同。将式将式(2一一10)两边同除以两边同除以L，并用，并用代替代替FN/A，胡克定律可以简化成另，胡克定律可以简化成另一种表达式，即一种表达式，即式式(2一一11)表明，当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比表明，当应力不超过某一极限值时，应力与应变成正比上一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压在工程实际中，常遇到剪切和挤压问题。如在剪切机上剪断钢板就是在工程实际中，常遇到剪切和挤压问题。如在剪切机上剪断钢板就是一例，常用的销连接，如图一例，常用的销连接，如图2一一19所示的螺栓连接件，等等，都是发所示的螺栓连接件，等等，都是发生剪切变形的构件，称为剪切构件。生剪切变形的构件，称为剪切

31、构件。1.剪切强度剪切强度剪切是杆件的基本变形之一，其计算简图如图剪切是杆件的基本变形之一，其计算简图如图2-20 (a)所示，在杆件所示，在杆件受到一对相距很近、大小相同、方向相反的横向外力受到一对相距很近、大小相同、方向相反的横向外力F的作用时，将的作用时，将沿着两侧外力之间的横截面发生相对错动，这种变形形式称为剪切。沿着两侧外力之间的横截面发生相对错动，这种变形形式称为剪切。当外力当外力F足够大时，杆件便会被剪断。发生相对错动的横截面称为剪足够大时，杆件便会被剪断。发生相对错动的横截面称为剪切面切面下一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压既然外力既然外力F使得剪切面发生相对错动，那么该截面

32、上必然会发生相应使得剪切面发生相对错动，那么该截面上必然会发生相应的内力以抵抗变形，这种内力就称为剪力，用符号的内力以抵抗变形，这种内力就称为剪力，用符号FQ表示运用所学知表示运用所学知识很容易的分析出剪切面上的剪力识很容易的分析出剪切面上的剪力FQ与外力与外力F大小相等、方向相反，大小相等、方向相反，如图如图2一一20 (b)所示在这里规定所示在这里规定:剪力剪力FQ ，对所研究的分离体内任意一，对所研究的分离体内任意一点的力矩为顺时针方向的为正，逆时针方向的为负。如图点的力矩为顺时针方向的为正，逆时针方向的为负。如图2-20 (b)中中的剪力为正。的剪力为正。在轴向拉仲与压缩一节中，曾用正

33、应力在轴向拉仲与压缩一节中，曾用正应力表示单位面积上垂直于截面表示单位面积上垂直于截面的内力的内力;同样，对于剪切构件，也可以用单位面积上平行于截面的内同样，对于剪切构件，也可以用单位面积上平行于截面的内力来衡量内力的聚集程度，称为切应力，用符号力来衡量内力的聚集程度，称为切应力，用符号表示，即剪切构件表示，即剪切构件横截面上的切应力可按下式计算横截面上的切应力可按下式计算:上一页 下一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压式中式中: FQ 剪切面上的剪力剪切面上的剪力;A剪切面面积剪切面面积为了保证剪切件安全可靠的工作，要求其工作时的切应力不得超过某为了保证剪切件安全可靠的工作，要求其工作时的切

34、应力不得超过某一个许用值。因此剪切构件的剪切强度条件为一个许用值。因此剪切构件的剪切强度条件为:式中式中:材料的许用一切应力。材料的许用一切应力。上一页 下一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压2.挤压强度计算挤压强度计算在外力作用下，剪切构件除可能被剪断外，还可能发生挤压破坏。挤在外力作用下，剪切构件除可能被剪断外，还可能发生挤压破坏。挤压破坏的特点是压破坏的特点是:构件互相接触的表面上，因承受了较大的压力作用，构件互相接触的表面上，因承受了较大的压力作用，使接触处的局部区域发生显著的塑性变形或被压碎。这种作用在接触使接触处的局部区域发生显著的塑性变形或被压碎。这种作用在接触面上的压力称为挤压

35、力，用符号面上的压力称为挤压力，用符号Fjy表示表示;在接触处产生的变形称为挤在接触处产生的变形称为挤压变形，如图压变形，如图2一一21所示当挤压力足够大时，将使螺栓压扁或钢板在所示当挤压力足够大时，将使螺栓压扁或钢板在孔缘处压皱，从而导致连接处松动而失效。因此对剪切构件还需进行孔缘处压皱，从而导致连接处松动而失效。因此对剪切构件还需进行挤压强度计算。挤压强度计算。挤压力的作用面叫做挤压面，由于挤压力而引起的应力叫做挤压应力，挤压力的作用面叫做挤压面，由于挤压力而引起的应力叫做挤压应力，用符号用符号jy表示。在挤压面上，挤压应力的分布情况比较复杂，因此表示。在挤压面上，挤压应力的分布情况比较复

36、杂，因此在实际计算中假设挤压应力均匀分布在挤压面上。因此挤压应力可按在实际计算中假设挤压应力均匀分布在挤压面上。因此挤压应力可按下式计算下式计算:上一页 下一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压式中式中: Fjy挤压面的挤压力挤压面的挤压力;Ajy挤压面面积。挤压面面积。为了保证构件的正常工作，应要求构件工作时所引起的挤压应力不得为了保证构件的正常工作，应要求构件工作时所引起的挤压应力不得超过某一个许用值，因此挤压强度条件为超过某一个许用值，因此挤压强度条件为:式中式中:jy材料的许用挤压应力。材料的许用挤压应力。【例例2.5】如图如图2 - 22所示齿轮用平键与轴连接。已知轴的直径所示齿轮用平

37、键与轴连接。已知轴的直径d = 70 mm ,键的尺寸为键的尺寸为bxhxl=20 x12 x100 mm，传递的扭矩力偶矩，传递的扭矩力偶矩M = 2 kNm,键的许用应力键的许用应力=60 MPa, jy= 100 MPa试校核键的强度试校核键的强度上一页 下一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压解解:(1)校核键的剪切强度校核键的剪切强度将键沿将键沿n一一n截面假想的分成两部分，并把截面假想的分成两部分，并把n一一n截面以下的部分和轴截面以下的部分和轴作为一个整体来考虑，如图作为一个整体来考虑，如图2-22 (b)所示。因为假设在所示。因为假设在n一一n截面上的截面上的切应力均匀分布，故切

38、应力均匀分布，故n一一n截面上的剪力截面上的剪力FQ为为故故可见该键满足剪切强度条件。可见该键满足剪切强度条件。上一页 下一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压(2)校核键的挤压强度校核键的挤压强度考虑键在考虑键在n一一n截面以上部分的平衡如图截面以上部分的平衡如图2一一22 (c)所示，在所示，在n一一n截面截面上的剪力为上的剪力为FQ= bl，右侧面上的挤压力为，右侧面上的挤压力为由水平方向的平衡条件得由水平方向的平衡条件得由此求得由此求得故平键也符合挤压强度要求。故平键也符合挤压强度要求。上一页 下一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压【例例2. 6】电瓶车挂钩用插销连接，如图电瓶车挂钩用插

39、销连接，如图2一一23所示。已知所示。已知t=8 mm，插销材料的许用切应力插销材料的许用切应力= 30 MPa ,许用挤压应力许用挤压应力Qjy=100 MPa，牵引力牵引力F=15kN。试选定插销的直径。试选定插销的直径d。解解:插销的受力情况如图插销的受力情况如图2 -23 (b)，可以求得，可以求得先按抗剪强度条件进行设计先按抗剪强度条件进行设计即即上一页 下一页返回2. 3剪切和挤压剪切和挤压再用挤压强度条件进行校核再用挤压强度条件进行校核所以挤压强度条件也是足够的。查机械设计手册，最后采用所以挤压强度条件也是足够的。查机械设计手册，最后采用d = 20 mm的标准圆柱销钉。的标准圆

40、柱销钉。上一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转1.扭矩扭矩扭转也是杆的一种基本变形形式。其计算简图如图扭转也是杆的一种基本变形形式。其计算简图如图2一一28所示，在一所示，在一对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶对大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的外力偶(其矩为其矩为Mc)作用下，直杆的任意两横截面作用下，直杆的任意两横截面(如图中如图中m一一m截面和截面和n一一n截面截面)将绕轴将绕轴线相对转动，杆件的轴线仍将保持直线，而其表面的纵向线将成螺旋线相对转动，杆件的轴线仍将保持直线，而其表面的纵向线将成螺旋线。这种变形形式称为扭转。线。这种变形形式称为扭转。在工程实际中，受扭杆

41、件很常见，例如机械中的传动轴、汽车的转向在工程实际中，受扭杆件很常见，例如机械中的传动轴、汽车的转向轴等等。但单纯发生扭转的杆件不多。如果杆件的变形以扭转为主，轴等等。但单纯发生扭转的杆件不多。如果杆件的变形以扭转为主，其他次要变形可忽略不计的，可以按照扭转变形对其进行强度和刚度其他次要变形可忽略不计的，可以按照扭转变形对其进行强度和刚度计算计算;如果杆件除了扭转外，还有其他主要变形，则要通过组合变形如果杆件除了扭转外，还有其他主要变形，则要通过组合变形计算计算因此，要研究受扭转杆件的应力和变形，首先得计算轴横截面上的内因此，要研究受扭转杆件的应力和变形，首先得计算轴横截面上的内力。力。下一页

42、返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转 以工程中常用的传动轴为例，我们往往只知道它所传递的功率以工程中常用的传动轴为例，我们往往只知道它所传递的功率p和转和转速速n,但作用在上的外力偶矩可以通过功率但作用在上的外力偶矩可以通过功率p和转速和转速n换算得到。因为功换算得到。因为功率是每秒内所做的功，有率是每秒内所做的功，有于是，作用在轴上的外力偶矩为于是，作用在轴上的外力偶矩为式中式中:Mc作用在轴上的外力偶矩，作用在轴上的外力偶矩，NmP轴传递的功率，轴传递的功率，kW;n轴的转速，轴的转速，r/min上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转从式从式(2一一17)可以看出，轴所承受的力偶矩与传递的功率

43、成正比，与可以看出，轴所承受的力偶矩与传递的功率成正比，与轴的转速成反比。因此，在传递同样的功率时，低速轴所受的力偶矩轴的转速成反比。因此，在传递同样的功率时，低速轴所受的力偶矩比高速轴大。所以在一个传动系统中，低速轴的直径要比高速轴的直比高速轴大。所以在一个传动系统中，低速轴的直径要比高速轴的直径粗一些。径粗一些。杆件上的外力偶矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。对杆件上的外力偶矩确定后，可用截面法计算任意横截面上的内力。对图图2 -28 ( a)所示的圆轴，欲求所示的圆轴，欲求m一一m截面的内力，可假设沿截面的内力，可假设沿m一一m截截面将圆轴一分为二，并取其左半段分析，如图面将圆

44、轴一分为二，并取其左半段分析，如图2一一28 (b)所示，由平所示，由平衡方程衡方程得得上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转T是横截面上的内力偶矩，称为扭矩。如果取圆轴的右半段分析，则是横截面上的内力偶矩，称为扭矩。如果取圆轴的右半段分析，则在同一横截面上可求得扭矩的数值大小相等、方向相反。为使从两段在同一横截面上可求得扭矩的数值大小相等、方向相反。为使从两段杆所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致，通常规定杆所求得的同一横截面上的扭矩在正负号上一致，通常规定:按右手按右手螺旋法则确定扭矩矢量，如果扭矩矢量的指向与截面的外法向一致，螺旋法则确定扭矩矢量，如果扭矩矢量的指向与截面的外法向

45、一致，则扭矩为正，反之为负。则扭矩为正，反之为负。当杆件上作用于多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各个截面上扭矩的当杆件上作用于多个外力偶矩时，为了表现沿轴线各个截面上扭矩的变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位置，可仿照轴力图的绘制方变化情况，从而确定最大扭矩及其所在位置，可仿照轴力图的绘制方法来绘制扭矩图。法来绘制扭矩图。例例2. 7一传动轴如图一传动轴如图2一一29 ( a所示，轴的转速，所示，轴的转速，n = 500 r/min，主，主动轮的输人功率为动轮的输人功率为PA= 600 kW，三个从动轮的输出功率分别为，三个从动轮的输出功率分别为PB= PC=180 kw，PD = 240 kW

46、。试计算轴内的最大扭矩，并作扭矩图。试计算轴内的最大扭矩，并作扭矩图。上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转解解:(1)由公式由公式(2一一17)计算外力偶矩计算外力偶矩(2)根据图根据图2一一29 ( b)所示，计算各轴段内的扭矩。先考虑所示，计算各轴段内的扭矩。先考虑AC段，从任段，从任意截面意截面2 -2处截开，取截面左侧进行分析，如图处截开，取截面左侧进行分析，如图2一一29 (c )所示，假所示，假设设T2为正，由平衡方程为正，由平衡方程得得上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转同理，在同理，在BA段内，有段内，有在在CD段内，有段内，有要注意的是，在求各个截面的扭矩时，通常

47、采用要注意的是，在求各个截面的扭矩时，通常采用“设正法设正法”，即假设，即假设扭矩为正。若所得结果为负的话，则说明该截面扭矩的实际方向与假扭矩为正。若所得结果为负的话，则说明该截面扭矩的实际方向与假设方向相反。设方向相反。根据这些扭矩即可做出扭矩图，如图根据这些扭矩即可做出扭矩图，如图2一一29 ( d )所示。从图可见，最所示。从图可见，最大扭矩发生在大扭矩发生在AC段，其值为段，其值为8. 02 kNm。上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转2.横截面上的应力横截面上的应力对于圆杆来说，在发生扭转时处于纯剪应力状态，横截面上只有切应对于圆杆来说，在发生扭转时处于纯剪应力状态，横截面上只

48、有切应力而无正应力。如图力而无正应力。如图2一一30所示为杆件变形后的情况。为推导圆杆扭所示为杆件变形后的情况。为推导圆杆扭转时横截面上的切应力公式，可以从三个方面着手分析转时横截面上的切应力公式，可以从三个方面着手分析:先由变形几先由变形几何关系找出切应变的变化规律，再利用物理关系找出切应力在横截面何关系找出切应变的变化规律，再利用物理关系找出切应力在横截面上的分布规律，最后根据力学关系导出切应力公式，即扭转时横截面上的分布规律，最后根据力学关系导出切应力公式，即扭转时横截面上任一点处切应力的公式为上任一点处切应力的公式为:式中式中:p圆杆的切应力，圆杆的切应力，Pa;T一横截面上的扭矩，一

49、横截面上的扭矩，Nm;P横截面上任一点到圆心的距离，横截面上任一点到圆心的距离，m;Ip横截面对形心的极惯性矩，横截面对形心的极惯性矩，m4。上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转由图由图2-30 (b)可知，在横截面周边各点处，即可知，在横截面周边各点处，即P=r处，切应力达到最处，切应力达到最大值，即大值，即若定义若定义则有则有式中式中:wp扭转截面系数，扭转截面系数，m3上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转对于实心圆截面，如图对于实心圆截面，如图2一一31 ( a)所示，其极惯性矩为所示，其极惯性矩为:将上式代入式将上式代入式(2一一20)，得实心圆截面的扭转截面系数为，得实心

50、圆截面的扭转截面系数为对于空心圆截面，如图对于空心圆截面，如图2一一31 (b)所示，可将空心圆截面设想为大圆所示，可将空心圆截面设想为大圆面积减去小圆面积，利用式面积减去小圆面积，利用式(2一一22)可得可得空心圆截面的扭转截面系数为空心圆截面的扭转截面系数为上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转式中式中: 为空心圆截面内外直径之比。为空心圆截面内外直径之比。【例例2. 8】长度都为长度都为L的两根受扭圆轴，一为实心圆轴，一为空心圆的两根受扭圆轴，一为实心圆轴，一为空心圆轴，如图轴，如图2 -32所示，二者材料相同，在圆轴两端都承受大小为鱿的所示，二者材料相同，在圆轴两端都承受大小为鱿的

51、外力偶矩，圆轴外表面上纵向线的倾斜角度也相等。实心轴的直径为外力偶矩，圆轴外表面上纵向线的倾斜角度也相等。实心轴的直径为D1，空心轴的直径为，空心轴的直径为D2,内径为内径为d2 ，且，且a = d2/D2 = 0. 9。试求两杆的。试求两杆的外径之比分以及两杆的重量比。外径之比分以及两杆的重量比。解解:因为两轴的材料相同，可得因为两轴的材料相同，可得两轴的扭转截面系数分别为两轴的扭转截面系数分别为上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转将上两式分别代入式将上两式分别代入式(2一一21)，可得两轴的最大切应力为，可得两轴的最大切应力为根据上面求得的根据上面求得的: 并将并将T1= T2 =M

52、C和和a=0.9代入，经整理代入，经整理可得可得因为两轴的材料和长度均相同，故两轴的重量比即为其横截面面积之因为两轴的材料和长度均相同，故两轴的重量比即为其横截面面积之比。于是有比。于是有上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转由此可见，在最大切应力相等的情况下，空心圆轴比实心圆轴节省材由此可见，在最大切应力相等的情况下，空心圆轴比实心圆轴节省材料。因此，空心圆轴在工程中得到广泛应用。料。因此，空心圆轴在工程中得到广泛应用。3.强度条件强度条件受扭杆件的强度条件是受扭杆件的强度条件是:杆件横截面上的最大工作切应力杆件横截面上的最大工作切应力:。不能超过。不能超过材料的许用切应力材料的许用切应

53、力，即，即对于等直圆杆，其最大工作切应力发生扭转最大的横截面对于等直圆杆，其最大工作切应力发生扭转最大的横截面(即危险截即危险截面面)上的边缘各点上的边缘各点(即危险点即危险点)处。依据式处。依据式(2一一21)，强度条件表达式可，强度条件表达式可写为写为上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转【例例2. 9】某牌号汽车传动轴，传递最大扭矩某牌号汽车传动轴，传递最大扭矩T = 1 930 Nm，传动轴，传动轴用外径用外径D = 89 mm、壁厚、壁厚 = 2. 5 mm的钢管做成。材料为的钢管做成。材料为20号钢，号钢，= 70 MPa，校核此轴的强度。，校核此轴的强度。解解:(1)计算抗扭

54、截面模量计算抗扭截面模量(2)强度校核，由式强度校核，由式(2一一27)得得满足强度要求。满足强度要求。上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转【例例2. 10】例题例题2. 3中的传动轴如图中的传动轴如图2-29 (a)所示是空心圆截面轴，所示是空心圆截面轴，其内、外直径之比其内、外直径之比a=0.6，材料的许用切应力，材料的许用切应力= 60 MPa，试按强度，试按强度条件选择轴的直径。条件选择轴的直径。解解:将已知数据代入式将已知数据代入式(2 - 25 )，可得，可得根据例题根据例题2. 7中已经求出的中已经求出的T=8.02 kN . m。将上式代入式。将上式代入式(2 - 27

55、)，经整理后可得空心圆轴的外径为经整理后可得空心圆轴的外径为上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转【例例2.11 】有一阶梯轴，如图有一阶梯轴，如图2一一33 ( a )所示，轴的直径分别为所示，轴的直径分别为d1=50 mm , d2 = 80 mm，扭转力偶矩分别为，扭转力偶矩分别为Mc1= 0. 8 kNm， Mc2 =1. 2 kNm。若材料的许用切应力。若材料的许用切应力= 40 MPa，试校核该轴的强度。，试校核该轴的强度。解解:用截面法求出圆轴各段的扭矩，并作出扭矩图，如图用截面法求出圆轴各段的扭矩，并作出扭矩图，如图2-33 (b)所示所示由扭矩图可见，由扭矩图可见，CD段

56、和段和BD段的直径相同，但段的直径相同，但BD段的扭矩大于段的扭矩大于CD段，段，故这两段只要校核故这两段只要校核BD段的强度即可。段的强度即可。AC段的扭矩虽然小于段的扭矩虽然小于BD段，段，但其直径也比但其直径也比BD段小，故段小，故AC段的强度也需要校核段的强度也需要校核AC段段上一页 下一页返回2. 4圆轴扭转圆轴扭转BD段段计算结果表明，该轴满足强度要求。计算结果表明，该轴满足强度要求。上一页返回2. 5梁的弯曲梁的弯曲1.弯曲的概念弯曲的概念当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时，当杆件受到垂直于杆轴的外力作用或在纵向平面内受到力偶作用时，如图如图2 - 40所

57、示，杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲所示，杆轴由直线弯成曲线，这种变形称为弯曲。以弯曲变形为主的杆件称为梁。变形为主的杆件称为梁。弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁，弯曲变形是工程中最常见的一种基本变形。例如房屋建筑中的楼面梁，阳台挑梁等受到楼面荷载和梁自重的作用，将发阳台挑梁等受到楼面荷载和梁自重的作用，将发 生弯曲变形，如图生弯曲变形，如图2 -41所示，都是以弯所示，都是以弯 曲变形为主的构件。曲变形为主的构件。工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图工程中常见的梁，其横截面往往有一根对称轴，如图2一一42所示，这所示，这根对称轴与梁轴所组成的

58、平面，称为纵向对称平面，如图根对称轴与梁轴所组成的平面，称为纵向对称平面，如图2一一43所示。所示。如果作用在梁上的外力如果作用在梁上的外力(包括荷载和支座反力包括荷载和支座反力)和外力偶都位于纵向对和外力偶都位于纵向对称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。称平面内，梁变形后，轴线将在此纵向对称平面内弯曲。下一页返回2. 5梁的弯曲梁的弯曲这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平这种梁的弯曲平面与外力作用平面相重合的弯曲，称为平面弯曲。平面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨沦等截面弯曲是一种最简单，也是最常见的弯曲变形，本章将主要讨沦等截面直梁

59、的平面弯曲问题。面直梁的平面弯曲问题。工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式工程中对于单跨静定梁按其支座情况分为下列三种形式:悬臂梁悬臂梁:梁的一端为固定端，另一端为自由端梁的一端为固定端，另一端为自由端(图图2-44 (a)。简支梁简支梁:梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座梁的一端为固定铰支座，另一端为可动铰支座(图图2-44 (b)。外仲梁外仲梁:梁的一端或两端仲出支座的简支梁梁的一端或两端仲出支座的简支梁(图图2-44 (c)。2.剪力和弯矩剪力和弯矩为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算为了计算梁的强度和刚度问题，在求得梁的支座反力后，就必须计算梁

60、的内力。下面研究梁横截面上的内力。梁的内力。下面研究梁横截面上的内力。上一页 下一页返回2. 5梁的弯曲梁的弯曲如图如图2一一45 ( a)所示为一简支梁，荷载所示为一简支梁，荷载F和支座反力和支座反力RA, RB是作用在是作用在梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面梁的纵向对称平面内的平衡力系。现用截面法分析任一截面m一一m上上的内力。假想将梁沿的内力。假想将梁沿m一一m截面分为两段，现取左段为研究对象，从截面分为两段，现取左段为研究对象，从图图2一一45 ( b )可见，因有可见，因有A碑凡支座反力碑凡支座反力RA作用，为使左段满足作用，为使左段满足Fy=0，截面，截面m一一