复变函数练习题习题3.3章节练习_第1页
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1、习题3.31计算下列积分，其中积分闭路取正向.（1）解：（4）解：（6）解：（8）解：被积函数有6个奇点，只有在圆的内部，于是函数在闭圆域上解析，则由cauchy积分公式得4.用cauchy积分公式计算函数沿正向圆周的积分值，然后利用圆周的参数方程证明下面积分（1）解：函数的奇点在积分路径的内部，而函数在闭区域上解析，于是由cauchy积分公式得 （2）证明：圆周的参数方程为，在它上有于是比较等式两边的虚部得又所以7.由下面所给调和函数求解析函数（2）解：对u求偏导数有解法1：由cauchy-riemann条件得对第一式两边对x积分得两边对y求导，并且与上面所得比较有于是得即其中c为任意实常数

2、.从而，即由于代入上式得所以解法2：由cauchy-riemann方程和解析函数的求导公式可得于是其中c为任意实常数.由于代入上式得所以（4）解：对v求偏导数有解法1：由cauchy-riemann条件得对第二式两边对y积分得两边对x求导，并且与上面所得比较有于是得即其中c为任意实常数.从而，即，由于代入上式得所以解法2：由cauchy-riemann方程和解析函数的求导公式可得于是其中c为任意实常数.由于代入上式得所以10.设和在简单闭路c上及其内部解析，试证：（1）若在c上及其内部处处不为零，则有（2）若在c上有则在c的内部有证明：（1）因为在简单闭路c上及其内部解析并且处处不为零，则在简单闭路c上及其内部处处解析，于是由cauchy积分定理得（2）若对于c上的任意一点有由于和在简单闭路c上及其内部解析，则对于c的

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