第二章衍射和傅里叶光学的数理基础

1、第二章第二章 衍射和傅里叶光学的数理基础衍射和傅里叶光学的数理基础 第一节第一节 常用非初等函数常用非初等函数 第二节第二节 光学中常用的特殊函数光学中常用的特殊函数 第三节第三节 傅立叶变换的基本概念及运算傅立叶变换的基本概念及运算 第五节第五节 光波的傅立叶分析光波的傅立叶分析 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 傅里叶光学，就是采用傅里叶分析（频谱傅里叶光学，就是采用傅里叶分析（频谱分析）的方法来分析光学问题。分析）的方法来分析光学问题。 所讨论的问题仍然是有关光波的传播、分所讨论的问题仍然是有关光波的传播、分解与叠加（干涉、衍射）、光学系统的成解与叠加（干涉、衍射）、光学系统的成像

2、规律。像规律。 傅里叶分析方法的引入，使人们对各种光傅里叶分析方法的引入，使人们对各种光学现象的本质和内在规律有了更深入地了学现象的本质和内在规律有了更深入地了解和认识。解和认识。 傅里叶光学已成为光学中的一个分支。傅里叶光学已成为光学中的一个分支。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 时间分解时间分解 原子发光是断续，它总是发出具有一定持续时间原子发光是断续，它总是发出具有一定持续时间的波列，这样的光波不是单色光波，波动方程会的波列，这样的光波不是单色光波，波动方程会变的很复杂，它的特性也不能很容易得到。变的很复杂，它的特性也不能很容易得到。 用这样的光波叠加、分解时，几乎无法对它进行用

3、这样的光波叠加、分解时，几乎无法对它进行计算。计算。 用傅里叶数学方法就可以把这样一个在时间上有用傅里叶数学方法就可以把这样一个在时间上有限的波列，即一个限的波列，即一个“多时间频率多时间频率”成分的成分的“多色多色”光波，分解成许多无限长波列的简谐波，即许多光波，分解成许多无限长波列的简谐波，即许多单频率成分的单色光波的叠加。这是傅里叶方法单频率成分的单色光波的叠加。这是傅里叶方法用于光学中的用于光学中的“时间分解时间分解”。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 空间频谱分解空间频谱分解 在传播中或与物质相互作用中，在空间上受到种在传播中或与物质相互作用中，在空间上受到种种限制的单色光波

4、，其简谐波在空间范围内的延种限制的单色光波，其简谐波在空间范围内的延续性受到了破坏，也同样使得光波成为了非单色续性受到了破坏，也同样使得光波成为了非单色光。光。 采用傅里叶方法把这些空间受限或空间调制的波采用傅里叶方法把这些空间受限或空间调制的波面进行分解，可以得到许多不同方向或不同空间面进行分解，可以得到许多不同方向或不同空间频率的平面波成分，这个分解称为空间频谱分解。频率的平面波成分，这个分解称为空间频谱分解。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 对于诸如光的传播、叠加对于诸如光的传播、叠加(干涉干涉)、衍射及成像等、衍射及成像等光学现象，传统的方法是在空间城中直接讨论。光学现象，传统

5、的方法是在空间城中直接讨论。 利用傅里叶方法就可以把对这些现象的分析转化利用傅里叶方法就可以把对这些现象的分析转化到频率城中，用频谱分析方法进行讨论，因为有到频率城中，用频谱分析方法进行讨论，因为有时候，在空间分析这些问题是很困难的。时候，在空间分析这些问题是很困难的。 可以说，傅里叶分析方法促进了现代光学的发展。可以说，傅里叶分析方法促进了现代光学的发展。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 第一节第一节 常用非初等函数常用非初等函数 所谓初等函数，是指在自变量的定义域内，能用所谓初等函数，是指在自变量的定义域内，能用单一解析式对五种基本初等函数进行有限次数的单一解析式对五种基本初等函数

6、进行有限次数的四则运算和复合所构成的函数。四则运算和复合所构成的函数。 在函数论中，有五种函数被称为基本初等函数：在函数论中，有五种函数被称为基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。角函数。 非初等函数是我们光学中常用的数学工具。非初等函数是我们光学中常用的数学工具。 非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单非初等函数是指在自变量的定义域中，不能用单一解析式表示的函数。一解析式表示的函数。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 一、标准形式的一维非初等函数一、标准形式的一维非初等函数 sinc函数严格来说并不是非初等函数，但是

7、。我函数严格来说并不是非初等函数，但是。我们在讨论衍射问题是会用到。们在讨论衍射问题是会用到。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 1.矩形函数矩形函数矩形函数又称为门函数，记为矩形函数又称为门函数，记为 ( )rect x1,( )1/20rect x1/21/21/2xxx 矩形函数曲线下面积为矩形函数曲线下面积为1，即该函数满足：，即该函数满足： 在光学上，常用矩形函数表示狭缝衍射孔径和矩在光学上，常用矩形函数表示狭缝衍射孔径和矩形光源等。形光源等。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( )1rect x dx2.sinc函数函数 sinc函数定义为：函数定义为： sin()s

8、in ( )xc xx 它的中央极大被称为中央主极大，其宽度为它的中央极大被称为中央主极大，其宽度为2。 其余称为次极大，宽度为其余称为次极大，宽度为1。 在光学中，单缝的夫琅和费衍射后得到的复振幅在光学中，单缝的夫琅和费衍射后得到的复振幅就是一个就是一个sinc函数。函数。 曲线下面积为曲线下面积为1：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 sin ( )1c x dxsinc函数的另一个定义：函数的另一个定义： Sinc函数的性质函数的性质 sin( )sin ( )xc xx此时自变量是一个角度此时自变量是一个角度 。将将sinc函数平方，就得到：函数平方，就得到： 第 二 章 衍射和傅

9、立叶光学的数理基础 2sin( )cx3.函数函数 222sin ()sin( )()xcxx振幅的平方是光振幅的平方是光的强度，所以，的强度，所以， 函数表示的是单缝衍函数表示的是单缝衍射得到的光强。射得到的光强。 2sin( )cx二、一维非初等函数的一般形式二、一维非初等函数的一般形式 在实际使用中，当然不可能总是只用到标准的在实际使用中，当然不可能总是只用到标准的函数，更经常用的应该是它们的一般形式。函数，更经常用的应该是它们的一般形式。 1.比例缩放、平移和反射比例缩放、平移和反射 一个一维矩形函数经过比例缩放、平移和反射一个一维矩形函数经过比例缩放、平移和反射后，得到一个一般形式的

10、矩形函数：后，得到一个一般形式的矩形函数： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 0( )2abxxaf xarectbbLb000121212xxLxxLxxL各参数的意义各参数的意义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( )f xba纵向缩放因子。纵向缩放因子。它确定了函数的纵向缩它确定了函数的纵向缩放比例及反射（以放比例及反射（以为轴反射）为轴反射）。b纵向平移因子。纵向平移因子。0 x横向平移因子。横向平移因子。 L横向缩放因子。它横向缩放因子。它确定了函数的横向缩放比确定了函数的横向缩放比例及反射（以例及反射（以x=x0为轴反为轴反射）射） 2.非初等函数的四则运算和复合非初

11、等函数的四则运算和复合 将非初等函数进行四则运算和复合后就可以将非初等函数进行四则运算和复合后就可以表示较为复杂的物理过程。矩形调制波。表示较为复杂的物理过程。矩形调制波。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 该矩形调制波可表示为：该矩形调制波可表示为： 20( )sinnxnxxf xrectclL三、常用二维非初等函数三、常用二维非初等函数 二维非初等函数的形式和描述它时选用的坐标系二维非初等函数的形式和描述它时选用的坐标系有关。坐标系的选取原则是有利于函数的简化运有关。坐标系的选取原则是有利于函数的简化运算。算。 所以，非对称物理量通常选择在直角坐标系中来所以，非对称物理量通常选择在

12、直角坐标系中来描述，而具有圆对称分布的物理量就选择在极坐描述，而具有圆对称分布的物理量就选择在极坐标中描述。标中描述。 如果一个二维函数可以表示为：如果一个二维函数可以表示为： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 12( , )( )( )f x yf x fy则称这个二维函数为可分离变量函数。则称这个二维函数为可分离变量函数。可分离变量函数可分离变量函数 我们可以将它当作两个一维函数的乘积，即可以我们可以将它当作两个一维函数的乘积，即可以分别对一维函数进行处理，再把它们乘起来即可。分别对一维函数进行处理，再把它们乘起来即可。 二维函数的可分离性与描述它时选取的坐标系有二维函数的可分离性与

13、描述它时选取的坐标系有关。关。 1.直角坐标系中的二维非初等函数直角坐标系中的二维非初等函数 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 二维矩形函数二维矩形函数二维矩形函数二维矩形函数 二维矩形函数在直角坐标系中是可分离变量函二维矩形函数在直角坐标系中是可分离变量函数，它的定义为：数，它的定义为： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 1( , )( )( )1/20rect x yrect x recy y1/2,1/21/2xyxy其他在光学中，这样的一个二维矩形函数常在光学中，这样的一个二维矩形函数常用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅用来描述一个均匀照明方形小孔的振幅透射系数。透射系数。

14、二维矩形函数的一般形式可表示为：二维矩形函数的一般形式可表示为： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 0000,xxyyxxyyrectrectrectabab它表示的是中心位于它表示的是中心位于 00,xy边长为边长为a b的均匀照明矩形孔径的均匀照明矩形孔径的振幅透射系数。的振幅透射系数。 2.极坐标系中的二维非初等函数极坐标系中的二维非初等函数 圆域函数又称为圆柱函数圆域函数又称为圆柱函数 ，记为：，记为：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( )circ r( )cycl r或 它在极坐标系中定义为：它在极坐标系中定义为： 1( )1/20circ r111rrr 它在直角坐标

15、系中的定义为：它在直角坐标系中的定义为： 1( )1/20circ r222222111xyxyxy 在光学中，在光学中，圆域函数常圆域函数常用来描述均用来描述均匀照明圆形匀照明圆形孔径的透射孔径的透射系数。系数。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 第二节第二节 光学中常用的特殊函数光学中常用的特殊函数 一、一、函数和梳状函数函数和梳状函数 狄拉克函数，也称为脉冲函数。狄拉克函数，也称为脉冲函数。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 x 我们用我们用函数来表示任何在某种坐标系下高度集函数来表示任何在某种坐标系下高度集中的量，如点电荷、点光源、质点以及又窄又强的中的量，如点电荷、点光源

16、、质点以及又窄又强的电脉冲等。电脉冲等。 对一个线性系统的复杂的输入，只需把复杂的输对一个线性系统的复杂的输入，只需把复杂的输入分解成大量的入分解成大量的函数的叠加，并对每个函数的叠加，并对每个函数适当函数适当加权定位。我们只要知道系统对单个脉冲输入（即加权定位。我们只要知道系统对单个脉冲输入（即函数）的响应，则输出就可由系统对所有函数）的响应，则输出就可由系统对所有函数的响函数的响应的叠加来获得，简化计算。应的叠加来获得，简化计算。 正因为如此，在现代光学中正因为如此，在现代光学中函数的应用很广泛。函数的应用很广泛。 函数又称为函数又称为“奇异函数奇异函数”或或“广义函广义函数数”，有两个原

17、因：，有两个原因： 一是一是函数没有确定的函数值，它只是一种函数没有确定的函数值，它只是一种极限状态，并且它的极限状态与其余函数也极限状态，并且它的极限状态与其余函数也不同，它不收敛到一个定值，而是收敛到无不同，它不收敛到一个定值，而是收敛到无穷大。穷大。 二是二是函数不能像普通函数那样进行四则运函数不能像普通函数那样进行四则运算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通算和乘幂运算，它对别的函数的作用只能通过积分来确定。过积分来确定。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 1.一维一维函数的定义函数的定义 函数可以有两种不同的定义函数可以有两种不同的定义（1）分段函数形式的定义：）分段函数形式的

18、定义： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 01xx dx00 xx 在光学中，在光学中， 常用来表示位常用来表示位于坐标原点的具有单位光功于坐标原点的具有单位光功率的点光源，这样的一个点率的点光源，这样的一个点光源，由于它所占的面积趋光源，由于它所占的面积趋于零，所以在点光功率密度于零，所以在点光功率密度趋于无穷大。趋于无穷大。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 0()xx即为即为 ( ) x 也可以被形象地比喻成如右图也可以被形象地比喻成如右图所示的正在不断向上拉伸的面团，这所示的正在不断向上拉伸的面团，这时无论将面团拉得多高，面团的体积、时无论将面团拉得多高，面团的体积、(这时

19、不是面积而是体积这时不是面积而是体积)总是一定的，总是一定的，而且，随着高度的增高，宽度愈来愈而且，随着高度的增高，宽度愈来愈窄。窄。 ( )x0 xx中心在中心在 （2）普通函数序列极限形式的定义）普通函数序列极限形式的定义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( )ngx( )ngxn 设设是一个普通函数序列，是一个普通函数序列， 在在nk( )kgx时具有无穷大极值，且对于任意时具有无穷大极值，且对于任意，均有均有曲线下面积等于曲线下面积等于1。于是。于是函数可定义为：函数可定义为： ( )lim( )lim( )0( )1nnnnkxgxgxgx dx(0nxkn为正整数） 只要满

20、足条件，所有的序列函数都可以用来定只要满足条件，所有的序列函数都可以用来定义义函数。我们用矩形函数序列来说明函数。我们用矩形函数序列来说明函数的定函数的定义。义。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 设矩形函数宽度设矩形函数宽度a ，高，高度为度为1/a，其总面积为，其总面积为1，随着宽度的减小，高度逐随着宽度的减小，高度逐渐增大，当渐增大，当a0时，高度时，高度1/a，此时，矩形函数此时，矩形函数就演变成只在就演变成只在x=0点有值点有值的脉冲函数。的脉冲函数。 -2 -1 -1/2 0 1/2 1 22(2 )( )11()22rectxrect xrectx01( )lim( )ax

21、xrectaa 从数学的观点来看，我们并不关心从数学的观点来看，我们并不关心函数函数本身的严格形式，而只关心它在积分号下的性本身的严格形式，而只关心它在积分号下的性态；从物理的角度来看，我们只须把它看作足态；从物理的角度来看，我们只须把它看作足够窄，以至当使它进一步变窄时不再影响我们够窄，以至当使它进一步变窄时不再影响我们所关心的结果所关心的结果。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 2.一维一维函数的性质函数的性质 （1）积分性质）积分性质 ：函数的积分可以直接从定义推导函数的积分可以直接从定义推导出来出来： ( )1x dx这一积分有时又称为这一积分有时又称为函数的强度。函数的强度。根

22、据根据函数的定义，还可以得到：函数的定义，还可以得到： 函数的筛选性：函数的筛选性：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 0()1xx dx如果一个函数如果一个函数( )f x与与函数相乘并积分函数相乘并积分，则这一积分有明确值则这一积分有明确值： ( ) ( )(0)x f x dxf 函数的这一个性质的作用，是通过与连续函函数的这一个性质的作用，是通过与连续函数相乘的积分，筛选出连续函数在脉冲所在位置数相乘的积分，筛选出连续函数在脉冲所在位置的一个函数值。的一个函数值。 推论推论1: 推论推论2：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 00() ( )()xxf x dxfx( )f x

23、( , )a b若定义在区间，则有： 00()() ( )0f xxxf x dx0axb其他 （2）函数的乘积性质函数的乘积性质 设 ( )f x在在x=x0点连续，则有：点连续，则有： 000() ( )() ()xxf xxxf x 函数的乘积性质又称抽样性质。它表示任一函数的乘积性质又称抽样性质。它表示任一连续函数与连续函数与函数相乘，其结果只能抽取该函数函数相乘，其结果只能抽取该函数在在函数所在点处的函数值，这个离散点为函数所在点处的函数值，这个离散点为 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 00() ()xxf x由这一性质，我们还可以得到这样的一个推论：由这一性质，我们还可以得

24、到这样的一个推论： 00( ) ()xxx无定义0000 xx （3）坐标缩放性质）坐标缩放性质 设设a为实常数，则有：为实常数，则有： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 1()( )axxa推论推论1： ( )xaxa( )axa推论推论2： ()( )xx这就是这就是函数缩放性的含意。函数缩放性的含意。函数的面积现在是函数的面积现在是a而不是而不是1。3.一维梳状函数一维梳状函数comb(x) （1）梳状函数的定义：）梳状函数的定义： 呈周期排列的呈周期排列的函数所组成的函数称为梳状函函数所组成的函数称为梳状函数，如图所示，数，如图所示，记为记为comb(x)，数学表达式为：，数学表

25、达式为： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( )()mcomb xxm（2）梳状函数的性质）梳状函数的性质 这其实就是间隔为这其实就是间隔为1，强度为，强度为1的的函数无穷函数无穷序列，所以又称为单位脉冲序列或单位脉冲梳。序列，所以又称为单位脉冲序列或单位脉冲梳。在光学上，常用它来表示光栅常数为在光学上，常用它来表示光栅常数为1的一维的一维细缝光栅的振幅透射系数。细缝光栅的振幅透射系数。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 梳状函数的性质可由梳状函数的性质可由函数的定义和性质直接求出。函数的定义和性质直接求出。 梳状函数的筛选性梳状函数的筛选性 ( ) ( )( )mcomb x

26、f x dxf m( )f x设设是定义在是定义在区间的连续函数，则有区间的连续函数，则有： (,) 缩放性质：缩放性质： 平移性质：设平移性质：设a和和x0皆为实常数，则有：皆为实常数，则有： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 设设a为实常数，则有：为实常数，则有： 1()mmcomb axxaa1a 1a 1a1a这是强度为这是强度为，脉冲间隔为脉冲间隔为的函数无穷序列。其中，当的函数无穷序列。其中，当时，脉冲间隔压缩，当时，脉冲间隔压缩，当时，脉冲间隔放大。时，脉冲间隔放大。 001()mxmcomb axxxaaa乘法性质：乘法性质： 除了常数除了常数a的缩放作用外，系统的坐标原

27、点的缩放作用外，系统的坐标原点同时向右平移了同时向右平移了x0/a 。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( )( )( ) ()( )smf x comb xf mxmf m这一性质又称为这一性质又称为( )comb x函数的抽样性质。函数的抽样性质。 4.二维二维函数和梳状函数函数和梳状函数 二维二维函数是可分离变量函数，即有函数是可分离变量函数，即有： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( , )x yxy二维二维函数表示为函数表示为，它是位于坐标平面它是位于坐标平面上坐标原点处的一个单位脉冲，当然，它的原点也上坐标原点处的一个单位脉冲，当然，它的原点也可以在任意一点。可以在

28、任意一点。 ( , )( ) ( )x yxy二维梳状函数是可分离变量函数，即有：二维梳状函数是可分离变量函数，即有： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ,xycombxy( , )x y(,)xy二维梳状函数表示为二维梳状函数表示为它是分布在平面它是分布在平面上的矩形网格上，间隔为上的矩形网格上，间隔为的二维单位脉冲序列，的二维单位脉冲序列， ,xyxycombcombcombxyxy二、贝塞尔函数二、贝塞尔函数1.n阶第一类贝塞尔函数的定义阶第一类贝塞尔函数的定义 第一类贝塞尔函数的定义为：第一类贝塞尔函数的定义为： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 20( 1)2( )(1)

29、 (1)nkknkxJxknk其中其中 函数具有以下性质函数具有以下性质： 10( )exp()ppx xdx(1)1( )(1)!pppp(pp当 为有限实数时）（当 为正整数时） 所以，当所以，当p为正整数时，为正整数时，( )p又称为阶乘函数又称为阶乘函数。 当当n为偶数时，有为偶数时，有 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ()( )nnJxJx( )nJx 为偶函数；当为为偶函数；当为n奇数时，有奇数时，有 ()( )nnJxJx ( )nJx 为奇函数为奇函数 。2.贝塞尔函数的性质贝塞尔函数的性质 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 010()( )JdJ 2001exp

30、(cos )( )2jJ10( )( )dJJdexp(cos )( )exp()mmmjJjjm第三节第三节 傅立叶变换的基本概念及运算傅立叶变换的基本概念及运算 一、傅立叶级数及频谱的概念一、傅立叶级数及频谱的概念 1.傅立叶级数的定义傅立叶级数的定义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 设周期为设周期为0T( )f x的函数的函数满足狄里赫利条件：满足狄里赫利条件： 00/2/2( )TTf x dx （2）只存在有限个极值点；）只存在有限个极值点；（3）只存在有限个第一类间断点；）只存在有限个第一类间断点；（4）绝对可积，即）绝对可积，即 00,22TT（1）在）在区间分段连续；区

31、间分段连续；则此函数可以被展开成傅立叶级数的形式：则此函数可以被展开成傅立叶级数的形式： 其中其中: 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 010022( )cossin2nnnanxnxf xabTT00/20/201( )TTaf x dxT00/2/20012( )cosTnTnxaf xdxTT00/2/20012( )sinTnTnxbf xdxTT以复指数函数表示的博里叶级数以复指数函数表示的博里叶级数 0( )exp2nnnf xcjxT00/2/2001( )exp2TnTncf xjx dxTT由此可见：由此可见：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 001fT( )f

32、x的基频的基频 称为 00nnfnfT称为( )f x的谐频，或简称为频率。的谐频，或简称为频率。 ( )f xnfnc周期函数周期函数可以被分解为一系列频率为可以被分解为一系列频率为，复振幅为复振幅为的谐波。的谐波。 2.频谱的概念频谱的概念 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ncnf( )f xncnf( )f xncnf( )f x按频率按频率的分布图形称为的分布图形称为的频谱。而的频谱。而通常是复数，所以又将它的模的值随通常是复数，所以又将它的模的值随的分布图称为的分布图称为的振幅频谱，而的振幅频谱，而的幅角随的幅角随的变化图就叫做的变化图就叫做的位相频谱。的位相频谱。 将一个给

33、定的周期函数展开成傅里叶级将一个给定的周期函数展开成傅里叶级数，然后对它的各次谐波的频率和振幅进数，然后对它的各次谐波的频率和振幅进行分析，这就是频谱分析。行分析，这就是频谱分析。 二、一维傅里叶变换的定义二、一维傅里叶变换的定义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 傅里叶变换可以表示为：傅里叶变换可以表示为： ( )( )exp(2)Ff xjx dx傅里叶逆变换表示为：傅里叶逆变换表示为： ( )( )exp( 2)f xFjx dexp(2)jx复指数函数复指数函数称为傅里叶称为傅里叶“核核”，它表示一个频率为，它表示一个频率为的谐波成分。的谐波成分。 用运算符号表示：用运算符号表示

34、： 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 傅里叶变换可以表示为：傅里叶变换可以表示为： 傅里叶逆变换表示为：傅里叶逆变换表示为： ( ) ( )Ff x F1( ) ( )f xF F三、广义傅里叶变换三、广义傅里叶变换 1.广义傅里叶变换的定义广义傅里叶变换的定义 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( )Ngx是一个存在狭义傅里叶变换的是一个存在狭义傅里叶变换的普通序列函数，即有：普通序列函数，即有： ( )( )NNgxGF（N为整数）为整数） ( )f x( )Ngx如果如果可以表示为可以表示为的极限，即：的极限，即： ( )lim( )NNf xgx2.几种特殊函数的一维傅里叶

35、变换几种特殊函数的一维傅里叶变换 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 N ( )NG( )f x并且，当并且，当时，时，的极限存在，于是可将的极限存在，于是可将的广义傅里叶变换定义为：的广义傅里叶变换定义为： ( ) ( )lim( )NNFf xGF1( )sinFcaa（1）矩形函数的傅里叶变换）矩形函数的傅里叶变换，则它的傅里叶变换为：则它的傅里叶变换为： ( )()f xrect ax设设（2）函数的傅里叶变换函数的傅里叶变换则它的傅里叶变换为则它的傅里叶变换为1。第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( )0 x0 x 其它设有一个设有一个函数，其定义为：函数，其定义为：根据梳

36、状函数的定义和根据梳状函数的定义和函数的性质，可以得到：函数的性质，可以得到： （3）梳状函数的傅里叶变换梳状函数的傅里叶变换( )( )()exp(2)exp(2)( )nnFcomb xxnjx dxjxcomb F四、二维傅里叶变换四、二维傅里叶变换1.直角坐标系中的二维傅里叶变换直角坐标系中的二维傅里叶变换 （1）二维傅里叶变换的定义：）二维傅里叶变换的定义：第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 ( , )( , )exp 2 ()f x yFvjxvy d dv 则它的傅里叶变换可表示为：则它的傅里叶变换可表示为： ( , )f x y( , )x y是定义在是定义在设设平面上的空

37、间函数，平面上的空间函数，( , )( , )exp2 ()Fvf x yjxvy dxdy ( , )Fv( , )f x y即为即为的空间频谱。的空间频谱。 （2）可分离变量函数的傅立叶变换）可分离变量函数的傅立叶变换 一个二维函数在某种坐标系中若能写成两个一一个二维函数在某种坐标系中若能写成两个一维函数的乘积，则称该函数在这种坐标系中是可维函数的乘积，则称该函数在这种坐标系中是可分离变量函数。分离变量函数。 第 二 章 衍射和傅立叶光学的数理基础 12( , )( )( )f x yf x fy它的傅立叶变换为：它的傅立叶变换为： 121212( , )( , )exp2 ()( )( )exp2 ()( )exp2( )exp2( )( )F u vf x yjuxvy dxdyf x fyjuxvy dxdyf xjux dxfyjvy dyF u F v 二维可分离变量函数的傅里叶变换可由两个一二维可分离变量函数的傅里叶变换可由两个一维傅里叶变换式的乘积来获得。维傅里叶变换式的乘积来获