上海交通大学矩阵分析试卷及答案

1、上海交通大学矩阵分析试卷(a)一、单项选择题(每题3分，共15分)aaabc1. 设f是数域，则 2. 设m是n阶实数矩阵，若m的n个盖尔圆彼此分离，则ma. 可以对角化 b. 不能对角化 c. 幂收敛 d. 幂发散 3. 设，则a=a. b. c. d. 4. 设收敛，则a可以取为a. b. c. d. 5. 设3阶矩阵a满足, 且其最小多项式m(x)满足条件为某实数，则a可以相似于a. b. c. d. 二、填空题(每题3分，共15分)6. 设5阶复数矩阵a的最小多项式为,则 1 ; 1 .(其中表示共轭转置)7. 设 ，则 e2(cos1-1)a 。8. 设矩阵，则的谱半径为321/2+

2、31/2。9. 已知,则幂级数收敛，且其和为a(e-a)-2。10. 设a为2阶矩阵,使得,则a的谱l(a)=1,2。三、计算题(每题14分，共56分)11. 求到自身的一个线性变换及其在某个基下的矩阵，使得的像im包含向量,而的核ker由向量生成. 又, 这样的线性变换是否唯一?为什么?解 设题中给出的三个向量依次为a1，a2，a3。取的一组基为。构造到自身的一个映射为：，再将线性拓展到整个上。则是满足题意的一个线性变换。上述线性变换显然不是唯一的（实际上有无穷多个）：比如，将上面的线性变换第一个基元素的像与第二个基元素的像对调，即可得一个新的满足题意的线性变换。原因在于除去k（k是任意复数

3、）的像（0）确定外，其与相邻的像不是完全确定的。12. 复数域c是实数域r上的2维线性空间. 试定义c上的一个内积,使得1与成为c的一个标准正交基；并求的长度.解 对任意xj+yjiÎc，j=1,2,有xj+yji=(xj-yj)·1+yj·(1+i)。为使1与成为c的一个标准正交基，必要且只要<1,1+i>=0，<1+i,1+i>=1，<1,1>=1, 必要且只要< x1+y1i, x2+y2i>=(x1-y1) (x2-y2)+ y1y2 .上式定义了一个c上的内积：对称性与正定性是显然的；且由于该内积还是x1，

4、x2，y1，y2的二次型，故双线性性质也成立。在上述内积下，向量x+yi的长度等于(x-y)2+y21/2;因此1i的长度为51/2.13. 设，试求矩阵b使得。解 a的特征值为1，1，1。属于1的特征向量与广义特征向量为，；属于1的特征向量为。令，则。令故取，则 于是令，则。故(解法2)更简单地，a的jordan标准型j如上。则为使只要找到k使得于是选从而取，则有这个矩阵与a的差别仅在于右上角，而这可以利用相似的初等变换得到，即将k的第3行的1倍加到第1行，自然将其第1列的1倍加到第三列即可：于是，b=pkp1，其中p为下面的初等矩阵此时14. 设，求。解i a的jordan标准形与过渡矩阵分别为。因此 解2 利用a的最小多项式(x-1)2. 可知必有一次多项式f(x)=ax+b,使得f(a)即为所求。由a+b= f(1)= 与a=f(1)=可知b=.于是四、证明题(14分)15. 设是n阶复数矩阵，是由a的元素取模后得到的矩阵。设对一切欧几里德范数为的复向量均有，证明可逆，并求其逆。证明 由于(取