2021-2021学年高中数学第一章统计案例章末分层突破学案北师大版选修1-2

1、【课堂新坐标】2021-2021学年高中数学 第一章 统计案例章末分层突破学案北师大版选修1-2M国层识聲台条科槪亦2X2列联春的JC讼式效迂性检鑿1 J&J11町线性化的111归分析判断Ittj个隨机变试 相姜程度的大小自我校对 回归分析 独立性检验 相关系数 相互独立事件深址宪合糜究捉ft主题1捋升层禅力强ft,回归分析分析两个变量线性相关的常用方法：(1) 散点图法，该法主要是用来直观地分析两变量间是否存在相关关系.(2) 相关系数法，该法主要是从量上分析两个变量间相互联系的密切程度，| r|越接近于1,相关程度越大；|r|越接近于0,相关程度越小.例n亲给儿子作的成长记录：年龄

2、/周岁3456789身高/cm90.897.6104.2110.9115.6122.0128.5年龄/周岁10111213141516身高/cm134.2140.8147.6154.2160.9167.5173.0(1)年龄和身高之间具有怎样的相关关系?(2) 如果年龄(3周岁16周岁之间)相差5岁，其身高有多大差异？(3) 如果身高相差20 cm,其年龄相差多少？【精彩点拨】本例考查对两个变量进行回归分析.首先求出相关系数，根据相关系数的大小判断其是否线性相关，由此展开运算.【标准解答】1(1)设年龄为 x，身高为 y,贝y x =订(3 + 4+-+ 15+ 16) = 9.5 ,1y =

3、(90.8 + 97.6 + 167.5 + 173.0) 131.985 7 ,14141414_E x2= 1 491 , g2= 252 958.2，百xy= 18 990.6 , 14"x 丁 疋 17 554.1 ,1414_ - 2 2 _ - 2 2E 1Xi - 14( X)= 227.5，着 y 14( y) 9 075.05 ,14 _E Xiyi 14 x y = 1 436.5 ,i = 114 r = 7TEX14XE/iyi 14 x y14_ - 2 Qy 14y0.999 7.1 436.5 227.5 X 9 075.05因此，年龄和身高之间具有较强

4、的线性相关关系.14_,/曰一 E1Xiyi-14 x y 1 436.5由(1)得 b= f=- 6.314,Ex214 匚 22275i =1a= y b x = 131.985 7 6.314 X 9.5 72 , x与y的线性回归方程为 y = 6.314 x + 72.因此，如果年龄相差5岁，那么身高相差 6.314 X 5= 31.57(cm).20 如果身高相差 20 cm,年龄相差643.1683(岁).再练一题1. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，提到如下数据:单价x(元)88.28.48.68.89销量y(件)9084838075

5、68 求回归直线方程 y= bx+ a,其中b= 20, a= y b x ； 预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从 (1)中的关系，且该产品的本钱是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润=销售收入-本钱)【解】1 1(1)由于 x = 6(xi + X2 + X3 + X4+ X5+ xg) = 8.5 , y = g(yi + y2+ y? + y4+ y5+ ye)=80.所以a= y b x = 80 + 20X 8.5 = 250,从而回归直线方程为y= 20x+ 250.(2)设工厂获得的利润为 L元，依题意得L= x( 20x+ 250) 4( 20x

6、 + 250)2=20x + 330x 1 00033 2=20 x + 361.25.当且仅当x = 8.25时，I取得最大值.主题2故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润.,条件概率1条件概率公式揭示了条件概率P(A| 与事件概率 RB)、 RAB三者之间的关系. 下列两种情况可利用条件概率公式：一种情况是P( B)和RAB时去求出RA B);另一种情况是P(B)和P(AD时去求出RAB 对于后一种情况，为了方便也常将条件概率公 式改写为如下的乘法公式：假设RA! >0,有P(AB = P(A)P(BA).2 乘法公式与条件概率公式实际上是一个公式，要求RAB时，必须知道 P(

7、A| B)或PB| A);反之，要求 RA|B)时，必须知道积事件 AB的概率P(AB，在解决实际问题时，不 要把求P( AB的问题误认为是求 P(A| B)的问题.盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球，玻璃球中有2个是 红球，4个是蓝球；木质球中有 3个是红球，7个是蓝球.现从中任取一个 (假设每个球被取 到是等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？【精彩点拨】要注意B发生时A发生的概率与A, B同时发生的概率的区别.【标准解答】设事件A: “任取一球，是玻璃球；事件B: “任取一球，是蓝球.由题中数据可列表如下：红球蓝球总计玻璃球246木质球3710总计51116由表

8、知,114P(B)=话 P(AB =话4P AB 164故所求事件的概率为 P(A B) = P B =右=石.再练一题2 有外形相同的球分装三个盒子，每盒10个.其中，第一个盒子中有 7个球标有字母A,3个球标有字母 B;第二个盒子中有红球和白球各 5个；第三个盒子中那么有红球 8个，白球2个试验按如下规那么进行： 先在第一个盒子中任取一个球，假设取得标有字母A的球，那么在第二个盒子中任取一个球；假设第一次取得标有字母B的球，那么在第三个盒子中任取一个球.如果第二次取出的是红球，那么称试验为成功.求试验成功的概率.【解】设A= 从第一个盒子中取得标有字母 A的球.B= 从第一个盒子中取得标有

9、字母 B的球,C= 从第二个盒子中取一个红球 ,A从第三个盒子中取一个红球 ,73那么容易求得RA =P(B) =184那么 Pg = 2，P(D)=矿弓显然，事件An c与事件Bn d互斥，且事件 A与C是相互独立的，所以试验成功的概率为 p= P(An C)+ P( Bn D)59100,所以本次试验成功的概率为59100=PA) P(C) + RD P(D)=主题3独立性检验独立性检验问题的根本步骤为：(1)找相关数据，作列联表.求统计量X2.判断可能性，注意与临界值做比拟，得出事件有关的可信度.'列考察黄烟经过药物处理跟发生青花病的关系，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经

10、过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病.试推断经过药物处理跟发生青花病是否 有关系.【精彩点拨】提出假设，根据2X2列联表求出x 从而进行判断.药物处理未经过药物处理总计青花病25185210无青花病60200260总计85385470【标准解答】由得到下表:假设经过药物处理跟发生青花病无关.2470X25X 200- 185X 60210X 260X 85X 385根据2X2列联表中的数据，可以求得9.788.2因为 X > 7.879 ,所以我们有99.5%的把握认为经过药物处理跟发生青花病是有关系的.再

11、练一题3.某学校高三年级有学生 1 000名，经调查研究，其中750名同学经常参加体育锻炼称 为A类同学，另外250名同学不经常参加体育锻炼 称为B类同学.现用分层抽样方法按 A类、B类分两层从该年级的学生中共抽查100名同学，如果以身高达 165 cm作为达标的标准，对抽取的100名学生，得到以以下联表：体育锻炼与身高达标 2X2列联表:身高达标身咼不达标总计积极参加体育锻炼40不积极参加体育锻炼15总计1001完成上表; 请问体育锻炼与身高达标是否有关系？ x 2值精确到0.01参考公式：2n ad- be 2X = a+ bc+ da+ eb+ d【解】1身高达标身咼不达标总计积极参加体

12、育锻炼403575不积极参加体育锻炼101525总计50501002根据列联表得1.33 V 2.706 ,100X 40X 15-35 X 1075X25X50X50所以没有充分的理由说明体育锻炼与身高达标有关系.真題密接蘇究提升 箱腿5岳高多、1. 2021 湖北高考变量x和y满足关系y =- 0.1 x+ 1,变量y与z正相关.下列结论中正确的选项是x与z负相关A.x与y正相关，B.x与y正相关，x与z正相关C.x与y负相关，x与z负相关D.x与y负相关，x与z正相关【解析】 根据正相关和负相关的定义进行判断. 假设线性回归方程的斜率为正， 那么两个 变量正相关，假设斜率为负，那么负相关

13、.因为y = -0.1 x+1的斜率小于0，故x与y负相关.因 为y与z正相关，可设z = by+ a, b>0，那么z = by+ a=- 0.1 bx+ b + a,故x与z负相关.【答案】C2. 2021 福建高考为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表:收入x万兀8.28.610.011.311.9支出y万兀6.27.58.08.59.8根据上表可得回归直线方程y= bx + a,其中b= 0.76 , a= y b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为A. 11.4万元B. 11.8万元C. 12.0万元D.

14、12.2万元【解析】由题意知,8.2 + 8.6 + 10.0 + 11.3 + 11.9=10,6.2 + 7.5 + 8.0 + 8.5 + 9.8y =8,5a= 8-0.76 X 10= 0.4 ,当 x= 15 时，y= 0.76 X 15+ 0.4 = 11.8万元.【答案】B3. 2021 湖北高考根据如下样本数据x345678y4.02.50.50.52.03.0A. a>0, b> 0C. a< 0, b> 0B. a> 0, b< 0D. a< 0, b< 0观察图像可知， 回归直线y= bx+ a的斜率b<0,当x=

15、0时，y = a>0.故a>0, b< 0.【答案】B4. 2021 全国卷n 图1-1是我国2021年至2021年生活垃圾无害化处理量 单位：亿吨的折线图.I. 8D1.60L40J.20LOO0.8013456图1-1注：年份代码17分别对应年份20212021.1由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；2建立y关于t的回归方程系数精确到0.01，预测2021年我国生活垃圾无害化处 理量.77参考数据：Ei1yi = 9.32, Ei 1tiyi= 40.17 ,i=1丿7 i = 1J7i=1yi- y 2= 0.55，护2.646.参考公

16、式：相关系数 r =i = 1yi- yn',回归方程y= a+ btti - t2j= 1yi - y 2中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为n_Ei , ti- 7i = 1 b= n红=1 ti- t 2yi - y -,a= y - b t .【解】1由折线图中的数据和附注中的参考数据得【解析】作出散点图如下:一 一 9t = 4，刀1 ( ti- t ) = 28, 2yi - y = 0.55 ,7Eii77(ti- T)( y - V) =E i = ltiyi- T Ei = y = 40.17 4X 9.32 =2.89 ,2.89r 疋0.55 X 2X 2.646

17、 0.99.因为y与t的相关系数近似为 0.99，说明y与t的线性相关程度相当大，从而可以用 线性回归模型拟合 y与t的关系.(2)由 y =9.3271.331 及(1)得2.89"28"0.103.M = 1 t i t yi - y7Ei 1 ti-T 2a= y - b t 1.331 - 0.103 X 4 0.92.所以y关于t的回归方程为y= 0.92 + 0.10 t.将2021年对应的t = 9代入回归方程得y= 0.92 + 0.10 X 9= 1.82.所以预测2021年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.单元综合测评一统计案例时间120分钟，总

18、分值150分一、选择题本大题共12小题，每题5分，共60分在每题给出的四个选项中， 只有一项为哪一项符合题目要求的 1. 在以下各量与量的关系中是相关关系的为 正方体的体积与棱长之间的关系；一块农田的水稻产量与施肥量之间的关系；人的身高与年龄之间的关系；家庭的支出与收入之间的关系；某户家庭用电量与电费之间的关系.A.B.C.D.【解析】是一种确定性关系，属于函数关系为相关关系.【答案】 D2. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x, y之间的相关关系，并求得回归直线方程， 分别得到以下四个结论： y与x负相关且y= 2.347 x - 6.423 ； y与x负相关且y =- 3.476 x +

19、 5.648 ； y与x正相关且y= 5.437 x + 8.493 ； y与x正相关且y= 4.326 x 4.578.其中一定不正确的结论的序号是A.B.C.D.【解析】y与x正或负相关时，线性回归直线方程y = bx+ a中，x的系数b>0或b<0，故错.【答案】D3. 电视机的使用寿命与显像管开关的次数有关.某品牌的电视机的显像管开关了10 000次后还能继续使用的概率是 0.80 ,开关了 15 000次后还能继续使用的概率是 0.60，那么已经 开关了 10 000次的电视机显像管还能继续使用到 15 000次的概率是A. 0.75B. 0.60C. 0.48D. 0.

20、20【解析】记“开关了 10 000次后还能继续使用为事件 A,记“开关了 15 000次后还能继续使用 为事件B,根据题意，易得RA = 0.80 , RD = 0.60，贝U PAB = 0.60 ,P AB 0.60由条件概率的计算方法，可得RBA» = p A = 080 = 0.75.【答案】 A4. 一位母亲记录了她儿子3岁到9岁的身高，建立了她儿子身高与年龄的回归模型y=73.93 + 7.19X,她用这个模型预测儿子10岁时的身高，那么下面的表达正确的选项是A.她儿子10岁时的身高一宀曰 定是145.83 cmB.她儿子宀曰145.83 cm以上10岁时的身冋定是C.

21、她儿子10岁时的身咼在145.83 cm 左右D.她儿子10岁时的身高一宀曰 定是145.83 cm以下【解析】由回归模型得到的预测值是可能取值的平均值，而不是精确值，应选C.【答案】C5. 2021 咸阳高二检测一个线性回归方程为y= 1.5x + 45,其中x的取值依次为 1,7,5,13,19 ，贝U 7 =A. 58.5B.46.5C. 60D.75【解析】1/ x = (1 + 7 + 5+ 13 + 19) = 9,5回归直线过样本点的中心,y = 1.5 X 9+ 45= 58.5.【答案】A6. 将两枚质地均匀的骰子各掷一次，设事件A= 两个点数互不相同 , B= 出现一个5点

22、，贝V RB|A)=()A.B.518D.C.【解析】出现点数互不相同的共有 6X 5= 30种,出现一个5点共有5X 2= 10种,RBA)=P ABP A13.【答案】 A7利用独立性检验来考虑两个分类变量X和Y是否有关系时，通过查阅下表来确定断言"X和Y有关系的可信度，如果k>5.024，那么就有把握认为"X和Y有关系的百分比为p( x 2>k)0.500.400.250.150.10k0.4550.7081.3232.0722.706p( x 2>k)0.050.0250.0100.0050.001k3.845.0246.6357.87910.83

23、A. 25%B. 75%C. 2.5%D. 97.5%【解析】查表可得x 2>5.024.因此有97.5%的把握认为"X和Y有关系.【答案】 D&甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能获得冠军假设两队每局胜的概率相同，那么甲队获得冠军的概率为B.D.A.C.【解析】由题意知，乙队获得冠军的概率为2=1，由对立事件概率公式得，甲队13获得冠军的概率为p= 1 - 4=-【答案】D9.种植两株不同的花卉，假设它们的成活率分别为p和q,那么恰有一株成活的概率为A. p+ q 2pqC. p+ qB. P+ q pqD. pq【解析

24、】甲花卉成活而乙花卉不成活的概率为p(1 q),p) = p+ q 2qp.【答案】A10同时抛掷三颗骰子一次，设 A: “三个点数都不相同，B: “至少有一个6点，那么 P(BA)为()A.B.6091C.D.91216【解析】6X 5X4 120P(A) = 6X 6X6 = 2163X 4X5 60R AB = 6X 6X6 = 216，P AB 602161 RBA) = p a = 216X 120 = 2.【答案】 A11. 以下关于线性回归分析的判断，正确的个数是 () 假设散点图中所有点都在一条直线附近，那么这条直线为回归直线； 散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线

25、性回归，如图1中的A, B, C占；八、 直线方程为 y = 0.50 x 0.81，贝U x= 25时，y的估计值为11.69 ; 回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势.1:r也P0图1B. 1A. 0C. 2D. 3【解析】能使所有数据点都在它附近的直线不只一条，而据回归直线的定义知，只有按最小二乘法求得回归系数a, b得到的直线y = bx+ a才是回归直线，不对；正确；将 x = 25 代入 y= 0.50 x 0.81，得 y = 11.69 ,正确；正确，应选 D.【答案】 D12. 根据下面的列联表得到如下四个判断：至少有99.9%的把握认为“患肝病与嗜酒有关；至少有9

26、9%勺把握认为“患肝病与嗜酒有关；在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒有关；在犯错误的概率不超过 0.01的前提下认为“患肝病与嗜酒无关嗜酒不嗜酒总计患肝病70060760未患肝病20032232总计90092992其中正确命题的个数为A. 0B. 1C. 2D. 3【解析】 由列联表中数据可求得随机变量992X700X 32 60X 200760X 232X 900X 922-7.349>6.635 ,所以在犯错误的概率不超过 0.01的前提下，认为“患肝病与嗜酒有关系，即至少有99%勺把握认为“患肝病与嗜酒有关系，因此正确.【答案】C二、填空题本大题共4小题，每题5

27、分，共20分将答案填在题中的横线上 13.x, y的取值如下表：x2356y2.74.36.16.9从散点图分析y与x具有线性相关关系，且回归方程为y = 1.02 x + a,那么a=【解析】由题意得 x = 4, y = 5,又x , y 在直线y= 1.02 x+ a上，所以a= 54X 1.02 = 0.92.【答案】0.9214. P(B A = 2 HA = 55，那么 p(ab =【解析】由 RB A)= P A 得 RAE)=RBA)133 P(A) = 2X 5=帀.【答案】31015为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2X2列联表:

28、出错的可能性为.【解析】X 24.844>3.841，故判断出错的可能性为0.05.【答案】 0.0516.某小卖部为了了解热茶销售量y(杯)与气温x(C)之间的关系，随机统计了某4天卖出的热茶的杯数与当天气温，并制作了对照表：气温(C)1813101杯数24343864由表中数据算得线性回归方程y= bx+ a中的b 2，预测当气温为一5C时，热茶销售量为杯.nXiyi n x yi=i回归系数 b=, a= y b xn2 2Xi n xi =11 1【解析】根据表格中的数据可求得 x = 4X (18 + 13+ 10 1) = 10, y = -4 X (24 + 34+ 38

29、+ 64) = 40. a= y b x = 40 ( 2) X 10= 60,y= 2x + 60,当 x= 5 时，y= 2X ( 5) + 60= 70.【答案】70三、解答题(本大题共6小题，共70分解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题总分值10分)甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球.从 每袋中任取1个球，试问：取得同色球的概率是多少？【解】 设从甲袋中任取1个球，事件A： “取得白球，由此事件 A : “取得红球，2从乙袋中任取1个球，事件B: “取得白球，由此事件 B : “取得红球，那么 P(A)=-,31 1 1P A) = 3, RB)

30、= 2, P( B) = 2因为A与B相互独立， A与B相互独立,所以从每袋中任取1个球，取得同色球的概率为RAB+ A E) = RAB + P( A "B) = RA)RB) + P( A )P( B ) = 3x 2+ 1 x 2 =118.本小题总分值12分吃零食是中学生中普遍存在的现象，吃零食对学生身体发育有 诸多不利影响，影响学生的健康成长下表是性别与吃零食的列联表：男女总计喜欢吃零食51217不喜欢吃零食402868总计454085请问喜欢吃零食与性别是否有关?【解】ad be 2a+ bc+ da+ eb+ d把相关数据代入公式，得85X5X 28 40X 1217X

31、 68x 45X 4024.722>3.841.因此，在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为“喜欢吃零食与性别有关.19.本小题总分值12分电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了 100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图2:0.0100.00*5OJJ250,0220.02()将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷，“体育迷中有10名女性.1根据条件完成下面的 2X2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷与性别有关？非体育迷体育迷总计男女总计迷中有2名女性，假设从“超级体育

32、迷中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.(2)将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷，"超级体育2 nnii n22 ni2n2i附:100X30 X 1045 X 1575X 25X 45X 55型 3.030.因为 3.030<3.84133，所以我们没有理由认为ni+ 住+ n+in+22P( X > k)0.050.01k3.8416.635【解】(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷有25人，从而完 成2X2列联表如下：非体育迷体育迷总计男301545女451055合计7525100将2X2列联表中的数据代入公式计算，得

33、2n n 11 n22 n 121ni+n2+ n+1n+2“体育迷与性别有关.(2) 由频率分布直方图可知，“超级体育迷为5人，从而一切可能结果所组成的根本事件空间为 Q= ( a1, a2), (a1, a3), a3),(a, b" , (a, b), (a2, b),b2),(a3, b" , (a3,b), (b, b2)，其中ai 表示男性,i = 1,2,3 , b 表示女性，j = 1,2.Q由10个根本领件组成，而且这些根本领件的出现是等可能的.用A表示“任选2人中，至少有 1 人是女性这一事件，那么A=(a1,b1),(a1,b2),(比，b) , (s

34、t,b),(a3 ,b1) , (S3, b2) , (b1, b2),事件A由7个根本领件组成，因而 P(A) =20. (本小题总分值12分)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红 球，现随机地从1号箱中取出一球放入 2号箱，然后从2号箱随机取出一球，问：(1) 从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是多少？(2) 从2号箱取出红球的概率是多少？【解】 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球.42RB)= 2+4 = 3.R B) = 1 - RB) = 3.3 + 14 p(ab> = 8Ti = 9.3 1 P(A|

35、 B)=-,8 + 13 ra = P(An b + p(An "B)=P( A| B) P( B) + P( A| B ) P( B )4 211119X 計 3X 3 = 27.21. (本小题总分值12分)在一个文娱网络中，点击观看某个节目的累计人次和播放天数如下数据:播放天数12345678910点击观看的累计人次51134213235262294330378457533(1)画出散点图;(2) 判断两变量之间是否有线性相关关系，求线性回归方程是否有意义?(3) 求线性回归方程；(4) 当播放天数为11天时，估计累计人次为多少？【解】(1)散点图如以下图所示:片赛计人次5004003002001001 2 345 67 R0由散点图知：两变量线性相关，求线性回归方程有意义借助科学计算器，完成下表:i12345678910Xi12345678910yi51134213235262294330378457533Xi yi512686399401 3101 7642 3103 0244 1