第一章第2讲命题及其关系充分条件与必要条件

1、考纲要求考纲研读1.理解命题的概念2了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.1.要理解命题之间的等价性，对于正面证明比较困难的题目，可用“正难则反”的策略进行解答2会使用等价命题化简条件和结论，理解充分条件与必要条件的相对性，能借助于集合间的包含关系判断充要关系.第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件1命题假命题可以判断_的陈述句叫做命题；命题就其结构而言分为_和_两部分；就其结果正确与否分为_和_2四种命题若 q 则 p原命题：如果 p，那么 q(或若 p 则 q)；逆命题：_；否命题：_；逆否命题：_.

2、真假条件结论真命题若 p 则 q若 q 则 p3四种命题之间的相互关系逆否命题否命题这里，原命题与_，逆命题与_是等价命题4充分条件与必要条件(1)如果 pq，则 p 是 q 的_条件必要(2)如果 qp，则 p 是 q 的_条件(3)如果既有pq，又有qp，记作pq，则p是q的_条件充分必要充分1(2011 年福建)若 ar，则 a2 是(a1)(a2)0 的( )a充分而不必要条件b必要而不充分条件ac充要条件d既不充分又不必要条件解析：当a2 时，(a1)(a2)0，所以a2 是(a1)(a2)0 的充分条件而当(a1)(a2)0 时，a1 或a2，所以a2 不是(a1)(a2)0 的必

3、要条件3若 ar，则“a(a3)0”是“关于 x 的方程 x2axa0 没有实数根”的()aa充分不必要条件c充要条件b必要不充分条件d既不充分也不必要条件解析：方程x2axa0 没有实数根的充要条件是a24a0，即0a0”是“a2a0”的()条件a充分不必要 b必要不充分 c充要 d既不充分又不必要4对于命题“正方形的四个内角相等”，下面判断正确的是()ba所给命题为假c它的逆命题为真b它的逆否命题为真d它的否命题为真5(2011 年安徽合肥质量检测)“a1”是“函数 f(x)lg(ax1)在(0，)单调递增”的( )a充分必要条件c充分不必要条件b必要不充分条件d既不充分也不必要条件解析：

4、显然函数f(x)lg(x1)，f(x)lg(2x1)在(0，)上均单调递增，所以“a1”是“函数f(x)lg(ax1)在(0，)单调递增”的充分不必要条件c考点1四种命题的关系及真假的判断例1：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并分别判断真假：(1)面积相等的两个三角形是全等三角形；(2)若 x0，则 xy0；(3)当 cbc，则 ab；(4)若 mn0，则方程 mx2xn0 有两个不相等的实数根解析：(1)逆命题：两个全等三角形面积相等(真命题)否命题：面积不等的两个三角形不是全等三角形(真命题)逆否命题：不全等的两个三角形面积不相等(假命题)(2)逆命题：若xy0，则x0(假命题)否

5、命题：若x0，则 xy0(假命题)逆否命题：若xy0，则x0(真命题)(3)逆命题：当c0 时，若abc(真命题)否命题：当 c0 时，若acbc，则ab(真命题)逆否命题：当c0 时，若ab，则acbc(真命题)(4) 逆命题：若方程mx2 x n 0 有两个不等实数根，则mn0(假命题)否命题：若mn0，则方程mx2xn0 没有两个不等实数根(假命题)逆否命题：若方程mx2 xn0 没有两个不等实数根，则mn0(真命题)原命题与其逆否命题等价，逆命题与其否命题等价，要理解命题之间的等价性，当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”【互动探究】c

6、考点2充要关系的判断答案：例2：(2012年安徽)设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm，则“”是“ab”的()a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件解析：本题的条件命题为“”，结论命题为“ba”当时，由线面垂直的性质定理可得ab，所以条件具有充分性；但当ab时，如果am，就得不出，所以条件不具有必要性故条件是结论的充分不必要条件a充分不必要条件b必要不充分条件c充分必要条件d既不充分也不必要条件 (2011年江西)已知1，2，3是三个相互平行的平面，平面1，2之间的距离为d1，平面2，3之间的距离为d2.直线l与1，2，3分别交于p1，

7、p2，p3.那么“p1p2p2p3”是“d1d2”的()解析：平面1，2，3 平行，由图d2 可以得知：如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知 p1p2p2p3.如果 p1p2p2p3，同样是根据两个三角形全等可知d1d2.答案：c图d2判断p 是q 的什么条件，要从两方面来分析：一是由p 能否推得q；二是由q 能否推得p；特别注意：判断命题的充要关系一定要把该题看成两个独立的命题来推理，不能光看表面现象，否则所有的结果都像“充分必要条件”【互动探究】2(2011 年福建)若 ar，则“a1”是“|a|1”的()a充分而不必要条件ab必要而不充分条件c充要条件d既不充分又不必要条件解析：若a

8、1，则|a|1 成立若|a|1，则a1 或a1.则a1 是|a|1 的充分而不必要条件故选a.考点3充要关系的应用例3：已知 p：|12x|5，q：x24x49m20，若 p是q的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围p 是 q 的充分条件，则q 是p 的充分条件，从而避免求补集；充要关系的判定转化为集合的包含关系：ab 即a 是b 的充分条件、b 是a 的必要条件；ab 即 a 是b 的充分必要条件【互动探究】3已知命题 p：|x1|0)，命题 q：x2x60，若 p 是q 的充分不必要条件，则实数 a 的取值范围是_(0,2易错、易混、易漏2误把必要条件当成充要条件例题：已知点 a 的坐标为(1,2)，点 b 的坐标为(3,5)，点 c 的坐标为(t,0)，求使bac 是钝角的充要条件判断命题时需注意充分、必要关系(1)要分清命题的条件和结论(2)要善于将文字语言转化为符号语言进行推理(3)要注意转化与化归思想的运用，通常把一个正面较难判断的命题转化为它的等价命题进行判断(4)当判断多个命题之间的关系时，常用图示法，它能使问题更直观，更易于判断1注重