常微分方程—二阶线性,常系数

1、中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组中南大学开放式精品示范课堂高等数学建设组高等数学高等数学A A8.3 8.3 几种高阶微分方程的解法几种高阶微分方程的解法8.3.2 8.3.2 二阶线性微分方程的解法二阶线性微分方程的解法 8.3.3 8.3.3 二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程8.3 8.3 几种高阶微分方程的解法几种高阶微分方程的解法非齐次方程求线性无关的解非齐次方程求线性无关的解 常数变易法常数变易法 齐次方程求线性无关的解齐次方程求线性无关的解 降阶法降阶法 8.3.2 二阶线性二阶线性微分方程的解法微分方程的解法习例习例1-2 8.3.3 二阶常系数二阶常

2、系数齐次线性微分方程齐次线性微分方程建立模型建立模型常系数方程的定义和解法常系数方程的定义和解法模型求解与分析模型求解与分析习例习例3-6n阶常系数方程的通解阶常系数方程的通解习例习例7-9二阶线性方程与二阶常系二阶线性方程与二阶常系数齐次线性方程的解法数齐次线性方程的解法 降阶法与常数变易法降阶法与常数变易法1.1.齐次线性方程求线性无关特解齐次线性方程求线性无关特解-降阶法降阶法的一个非零特解，是齐次方程设) 1 ( 0)()( 1 yxQyxPyy12)(yxuy 令令代入代入(1)式式, 得得, 0)()()(2(111111 uyxQyxPyuyxPyuy,uv 令令则有则有, 0)

3、(2(111 vyxPyvy, 0)(2(111 uyxPyuy即即解得解得,1)(21 dxxPeyvdxeyudxxP )(211,1)(2112dxeyyydxxP 刘维尔公式刘维尔公式齐次方程通解为齐次方程通解为.1)(211211dxeyyCyCydxxP 0)(2(111 vyxPyvy降阶法降阶法的一阶方程的一阶方程 v2.2.非齐次线性方程通解求法非齐次线性方程通解求法-常数变易法常数变易法设对应齐次方程通解为设对应齐次方程通解为2211yCyCy (3)设非齐次方程通解为设非齐次方程通解为2211)()(yxcyxcy 22112211)()()()(yxcyxcyxcyxc

4、y 设设0)()(2211 yxcyxc22112211)()()()(yxcyxcyxcyxcy (4)2( )()()( xfyxQyxPy 非齐次方程得得代代入入方方程程将将),2(,yyy )()()()()()()()()(222211112211xfyxQyxPyxcyxQyxPyxcyxcyxc )()()(2211xfyxcyxc (5)(4),(5)联立方程组联立方程组 )()()(0)()(22112211xfyxcyxcyxcyxc, 0)(2121 yyyyxw系数行列式系数行列式,)()()(21xwxfyxc ,)()()(12xwxfyxc 积分可得积分可得,)(

5、)()(211 dxxwxfyCxc,)()()(122 dxxwxfyCxc非齐次方程通解为非齐次方程通解为.)()()()(12212211 dxxwxfyydxxwxfyyyCyCy.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy例例142)( )2(xyyxxyx 求求方方程程例例2的通解的通解.1111的通解的通解求方程求方程 xyxyxxy解解, 01111 xxx对应齐方一特解为对应齐方一特解为,1xey 由刘维尔公式由刘维尔公式 dxeeeydxxxxx1221,x 对应齐方通解为对应齐方通解为.21xeCxCY 例例1,)()(21xexcxxcy 设原方程的通解为设原方程

6、的通解为应满足方程组应满足方程组，)()(21xcxc 1)()(0)()(2121xxcexcxcexcxxx解得解得 xxexcxc)(1)(2122)(Cexexcxx ，11)(Cxxc 原方程的通解为原方程的通解为. 1221 xxeCxCyx解上述可降阶微分方程解上述可降阶微分方程,可得通解可得通解:例例242)( )2(xyyxxyx 求求方方程程的通解的通解.解解:对应齐次方程为对应齐次方程为0)( )2(2 yyxxyx由观察可知它有特解由观察可知它有特解:,1xy 令令, )(xuxy 代入非齐次方程后化简得代入非齐次方程后化简得xuu )(e22121xxCCux故原方程

7、通解为故原方程通解为 )(e232121xxxCxCuxyx补充内容补充内容可观察出一个特解可观察出一个特解0)()( yxQyxPy, 0)()()1( xxQxP若若;xy 特解特解, 0)()(1)2( xQxP若若;xey 特特解解, 0)()(1)3( xQxP若若.xey 特特解解模型模型.xxO解解:质量为质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动在无外力作用下做自由运动,初始初始求物体的运动规律求物体的运动规律 ,0v速度为. )(txx 立坐标系如图立坐标系如图, ,0 xx 设设 t = 0 时物体的位置为时物体的位置

8、为取其平衡位置为原点建取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为因此定解问题为由由8.3.2的模型可知的模型可知, 位移满足位移满足常系数线性微分方程定义常系数线性微分方程定义)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0 qyypy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程形如形如) 1 ( 0 yqypy )(常

9、数。常数。实实为为的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程， qp、其中其中 得得的解，则代入方程后，的解，则代入方程后，假设方程有形如假设方程有形如xey 02， xxxeqepe 即即 02。 qp 二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。 qp )121，则，则实根实根特征方程有两个不同的特征方程有两个不同的 xxeyey2121 ，是方程是方程 (1) 的两个线性无关的解，故方程的两个线性无关的解，故方程 (1) 的的通解为通解为 21212211。xxeCeCyCyCy 二阶常系数齐线

10、性微分方程二阶常系数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。 qp )221，则，则实重根实重根特征方程有特征方程有 ) 1 ( 11的一个解。的一个解。是方程是方程此时，此时，xey 042， qp由求根公式由求根公式 22422, 1，pqpp 由刘维尔公式求另一个解：由刘维尔公式求另一个解： xeexeeeyxpxxxpxdd)()2(2d21111 021p d11。xxexxe 于是，当特征方程有重实根时，方程于是，当特征方程有重实根时，方程 ( 1 ) 的通的通解为解为 )(2121111。xCCeexCeCyxxx 二阶常系数齐线性微分方程二阶常系

11、数齐线性微分方程) 1 ( 0 yqypy的特征方程为的特征方程为 02。 qp 3) 特征方程有一对共轭复根：特征方程有一对共轭复根： i i21，则，则， )i(2)i(121xxxxeeyeey ，是方程是方程 ( 1 ) 的两个线性无关的解，其通的两个线性无关的解，其通解为解为 )i(2)i(12211。xxeCeCyCyCy 利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位 i 。 欧拉公式：欧拉公式： sinicosi。 e )sini(cosi)i(1，xxeeeeyxxxx )sini(cosi)i(1。xxeeeeyxxxx 由线性方程解的性质：由线性方程解的

12、性质： cos)(21211，xeyyyx sin)(i21212xeyyyx 均为方程均为方程 ( 1 ) 的解，且它们是线性无关的：的解，且它们是线性无关的： 0sin cos。， xexeWxx 故当特征方程有一对共轭复根故当特征方程有一对共轭复根 i i21 ，时，原方程的通解可表示为时，原方程的通解可表示为 )sincos(21。xCxCeyx 二阶常系数齐线性微分方程二阶常系数齐线性微分方程 0 yqypy特征方程特征方程 02。 qp 特特 征征 根根通通 解解 形形 式式)( 21实根实根 xxeCeCy2121 )( 21实重根实重根 )(211xCCeyx )( i2, 1

13、共轭复根共轭复根 )sincos(21xCxCeyx 方程方程:22ddtx02xk特征方程特征方程:, 022 krkri2,1特征根特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得利用初始条件得:,01xC 故所求特解故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA22ddtx02xktxndd2解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxtO简谐振动简谐振动 A: 振幅振幅, : 初相初相,周期周期: kT2:mck 固有频率固有

14、频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定仅由系统特性确定) )方程方程:特征方程特征方程:0222krnr222,1knnr特征根特征根:小阻尼小阻尼: n k临界阻尼临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振动解的特征小阻尼自由振动解的特征 : )sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始条件确定任意常数后变形由初始条件确定任意常数后变形)sin(etAxtntxOT0 x运动周

15、期运动周期:;2T振幅振幅: tnAe衰减很快衰减很快,)0, 0(00vx此图随时间随时间 t 的增大物体的增大物体趋于平衡位置趋于平衡位置.大阻尼解的特征大阻尼解的特征:( n k )1) 无振荡现象无振荡现象; trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)(limtxtOtx0 x此图参数此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件对任何初始条件即随时间即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 :( n = k )任意常数由初始条件定任意常数由初始条件定, tntCCxe

16、)(21)() 1tx最多只与最多只与 t 轴交于一点轴交于一点; :,21取何值都有无论CC)(lim)3txt即随时间即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置的增大物体总趋于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2) 无振荡现象无振荡现象 ;此图参数此图参数: 2n1 . 00 x10v0 xOxy.044的通解的通解求方程求方程 yyy.052的通解的通解求方程求方程 yyy230.yyy求求方方程程的的通通解解例例4 4例例3 3例例5 5例例6 求解初值问题求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,

17、0442 rr解得解得,221 rr故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例3 3.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程为特征方程为,0522 rr解得解得,2121jr ，故所求通解为故所求通解为).2sin2cos(21xCxCeyx 例例4 4例例5 032 yyy求方程的通解的通解.解解 特征方程特征方程, 0322rr特征根特征根:,3,121rr因此原方程的通解为因此原方程的通解为xxCCy321ee例例6 求解初值问题求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解 特征方程特征方程0122rr有重根有重根,121 rr因此原方程的通

18、解为因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为于是所求初值问题的解为ttse)24(22Cn 阶常系数齐次线性微分方程阶常系数齐次线性微分方程形如形如) 1 ( 01)1(1)( ypypypynnnn )(常数。常数。实实为为的方程，称为的方程，称为 n 阶常系数齐线性微分方程，阶常系数齐线性微分方程， , 1npp 其其中中n 阶常系数齐线性微分方程的特征方程为阶常系数齐线性微分方程的特征方程为 单实根单实根xCe 1 项项 实重根实重根k)( 121 kkxxCxCCek 项项 一对共轭复根一对共轭复根)sincos( 221xCxCex 项项 011 1 nnnnppp i 2, 1 重复根重复根一对共轭一对共轭 k i 2, 1 2项项k cos)(121xxCxCCekkx sin)(121xxDxDDkk 特特 征征 根根通通 解解 中中 的的 对对 应应 项项 0dd3dd3dd 2233的通解。的通解。求方程求方程 yxyxyxy例例8求下列方程的通解：求下列方程的通解： 03 2065144.)(;)()()( yyyyyy例例7例例9 已知一个四阶常系数线性齐次微分方程的个线性无已