D77常系数齐次线性微分方程PPT学习教案

1、会计学1D77常系数齐次线性微分方程常系数齐次线性微分方程),(0为常数qpyqypy xrye和它的导数只差常数因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解为xrxrCCy21ee21( r 为待定常数 ),xrre,函数为常数时因为所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.第1页/共20页),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解

2、( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,e12xrxy 因此原方程的通解为xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru第2页/共20页),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr042qp时, 特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcos

3、exxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx第3页/共20页),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .第4页/共20页若特征方程含 k 重复根,ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnaya

4、yayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC第5页/共20页032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxCCy321ee例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为ttse)24(22C第6页/共20页xxO解解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 ,0v速度为. )(txx 立坐标系如

5、图, ,0 xx 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为由第六节例1 (P323) 知, 位移满足第7页/共20页方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkri2,1特征根:tkCtkCxsincos21利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:kvC020022020tan,vxkkvxA第8页/共20页)sin(tkAx0 xAAxtO简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtx

6、t, 000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定)第9页/共20页方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)sincos(e21tCtCxtn)(22nktrtrCCx21ee21tntCCxe)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征第10页/共20页)sincos(e21tCtCxtn)(22nk由初始条件确定任意常数后变形)sin(etAxtntxOT0 x运动周期:;2T振幅: tnAe衰减很快,)0, 0(00vx此图随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.第11页/共20页( n k

7、 )1) 无振荡现象; trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)(limtxtOtx0 x此图参数: 1, 5 . 1kn5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.第12页/共20页( n = k )任意常数由初始条件定, tntCCxe)(21)() 1tx最多只与 t 轴交于一点; :,21取何值都有无论CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2) 无振荡现象 ;此图参数: 2n1 . 00 x10v0 xOxy第13页/共20页052)4( yyy求方程的通解

8、. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解为xCCy21)2sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不难看出, 原方程有特解)e, 132xxxx第14页/共20页02)(22222rr. )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43

9、xCxC第15页/共20页.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:01224rr0)1(22r即特征根为i,2,1ri4,3r则方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42第16页/共20页),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxrCCy21ee2121rr (2) 当时, 通解为xrxCCy1e)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .第17页/共20页 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaCCyee21作业作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第八节 第18页/共20页,2cos,e2,e321xyxyyxx求一个以xy2sin34为特解的