基于线性二次最优控制的倒立摆系统镇定设计

1、基于线性二次最优控制的倒立摆系统镇定设计现代控制理论论文学院班级学号姓名指导老师2015.06.20目录一. 引言1.1研究背景1.2国内外研究现状二.系统描述2.1数学模型描述及参数设置2.2设计过程中的问题描述三系统特征分析四系统设计4.1线性系统稳定性条分析4.2二次型最优控制设计五结论六参考文献一.引言1.1研究的背景倒立摆系统是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合，其被控系统本身又是一个多变量、强耦合、快速、非线性和自然不稳定系统，在控制过程中能有效地反映控制中的许多关键问题，如非线性问题、系统的鲁棒性问题、随动问题、镇定问题及追踪问题等，可以作为一个经典的

2、控制对象对其进行研究。近年来，新的控制方法不断出现，人们试图通过倒立摆这样一个严格的控制对象，检验新的控制方法是否有较强的处理多变量、非线性和对绝对不稳定系统的能力。倒立摆系统作为一个实验装置，形象直观，结构简单，构建组成参数和形状易于改变，成本低廉。倒立摆系统的控制效果可以通过其稳定性直观地体现，也可以通过摆杆角度、小车位移和稳定时间直接度量，其实验效果直观地体现、显著。倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段，位自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台，以用来检验某种控制理论或方法的经典方案，促进了控制系统新理论、新思想的发展。2.2国内外研究现状分析倒立摆系统的研

3、究始于20世纪50年代，麻省理工学院的控制论专家根据火箭发射助推器原理设计出一级倒立摆实验设备，而后世界很多国家豆浆一级倒立摆控制作为验证某种控制理论或方法的经典方案：后来人们参照双足机器人控制问题研究二级倒立摆控制设备，二级倒立摆控制的仿真或实物系统已广泛见于某些实验室中。在1993年，三极摆的仿真控制已经实现，美国、日本、俄罗斯、瑞士等很多国家的科研机构都对倒立摆进行了很多的研究，提出了很多先进的控制算法。日本的科研工作者们在1997年成功的实验了平面倒立摆的控制，获得了非常好的控制效果，与此同时，瑞士国家工程研究院的Bernhard Sprenger等实现了直线运动机器臂的平面倒立摆的控

4、制，并且具有很好的鲁棒性。我国的倒立摆研究虽然起步比较晚，但是随着倒立摆系统的广泛应用，国内很多大学和科研机构都对倒立摆进行了很多的卓有成效的工作。现在我国的倒立摆研究在某些方面已经走在了世界的前列。2002年8月北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研团队采用“变论域自适应模糊控制理论”成功地实现了全球首例“四级倒立摆实物系统控制”。而由此项理论产生的方法和技术将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、导弹拦截控制系统、航空器对接控制技术等方面具有广阔的开发利用前景。二系统描述2.1数学模型描述及参数设置倒立摆系统是一类典型的多变量、非线性、不稳定系统,因其运动特性与火箭飞行、双足机器人行走等现代

5、高科技存在相似性,因此对其研究有着重要的意义。现以单级倒立摆系统为例, 应用上述设计方法的思路实现对其有效控制。单级倒立摆系统(如图2.1)是由刚性摆杆、电机和小车组成,电机施加的水平控制力使小车根据摆杆偏角的变化而在轨道上左右运动,从而使摆杆始终保持垂直位置。应用牛顿动力学原理对系统建立非线性数学模型：图2.1单级倒立摆系统示意图在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.4所示。图2.2直线一级倒立摆模型其中：小车质量摆杆质量小车摩擦系数摆杆转动轴心到杆质心的长度摆杆惯量加在小车上的力小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角摆杆与垂直向下方向的夹角（

6、考虑到摆杆初始位置为竖直向下）图2.3是系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图2.3所示，图示方向均为矢量正方向。图2.3小车及摆杆受力分析分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程： (3.1)由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式： (3.2)即： (3.3)把这个等式代入式(3.1)中，就得到系统的第一个运动方程： (3.4)为了推出系统的第二个运动方程，对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程： (3.5) (3.6)力矩平衡方程如下： (3.7

7、)由于,，故等式前面有负号。合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程： (3.8)设(是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设与1（单位是弧度）相比很小，即<<1，则可以进行近似处理：，。用来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下： (3.9)对式(3.9)进行拉普拉斯变换，得到： (3.10) 由于输出为角度，求解方程组的第一个方程，可以得到： (3.11)或 (3.12)如果令,则有： (3.13)整理后得到传递函数： (3.14)其中： 设系统状态空间方程为: (3.15)方程组对，解代数方程，得到解如下： (3.16)整理后得到系统状态空间方程： (3.17)

8、式(3.18)是以外界作用力作为输入的系统状态方程。其中:考虑到式(3.9)的第一个方程为：对于质量均匀分布的摆杆有：化简得到： (3.18)设,，则可以得到以小车加速度作为输入的倒立摆系统状态空间表达式： (3.19) 2.2设计过程中的问题描述 1）收集资料，查阅文献，了解倒立摆系统的原理及模型建立方法； 2）了解线性二次最优控制的发展概况、特点及原理； 3）基于线性二次最优控制设计倒立摆系统； 4）运用MATLAB语言进行倒立摆系统的仿真研究；5）为了对被控对象有一个充分的认识，文中首先建立了倒立摆系统的数学模型，并且对模型进行了参数设置，基于此模型分析系统的稳定性、能控性和能观性；阐述

9、了倒立摆系统的运动规律和各个变量之间的相互关系。三.系统特性分析统在得到系统的数学模型之后，为了进一步了解系统性质，需要对系统的特性进行分析，最主要的是对系统的稳定性、能控性以及能观性的分析。摆杆竖直向上是直线倒立摆系统的不稳定平衡点，需要设计控制器来镇定系统。既然需要设计控制器镇定系统，那么就要考虑系统是否可控。我们所关心的是系统在平衡点附近的性质，因而可以采用线性化模型来分析。系统的稳定性分析一般可以应用李雅普诺夫稳定性判据。对于系统在平衡点邻域的稳定性可以根据系统的线性模型进行分析。在对时不变系统进行定性分析时，一般要用到线性控制理论中的稳定性、能控性，能观性。(1) 系统的稳定性定义及

10、判据若控制系统在初始条件下和扰动作用下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的。反之，如果控制系统受到扰动作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续振荡过程，或者输出无限制地偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。李雅普诺夫稳定性判据：n阶线性时不变连续系统的平衡状态渐近稳定的充要条件是矩阵么的所有特征值均具有负实部。这是李雅普诺夫第一法，又称间接法，它的基本思路是通过系统状态方程的解来判断系统的稳定性。李雅普诺夫第二法的基本思路不是通过求解系统的运动方程，而是借助于一个李雅普诺夫函数来直接对系平衡状态的稳定性作出判断。它是从能量观点进行稳定性分析的。

11、如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达到最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态是不稳定的。如果一个系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态是李雅普诺夫意义下的稳定。(2) 系统的能控性定义及判据系统状态完全可控的条件为：当且仅当向量组A,AB,An-1B是线性无关的，或维矩阵A,AB,An-1B的秩位n。利用matlab对系统进行可控性分析:clear;clc;A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B= 0 1 0 3;C= 1 0 0 0

12、;0 1 0 0;D= 0 0 ;rank(B A*B A2*B A3*B)ans =4矩阵的秩等于系统的状态变量维数,系统完全能控。(3) 系统的能观性定义及判据如果对于任意给定的输入u，在有限观测时间，使得根据期间的输出y(t)能唯一地确定系统在初始时刻的状态X()，则称状态X()是能观的。若系统的每一个状态都是可观的，则称系统是状态完全能观的，或简称系统是能观的。考虑线性定常系统其中，x是状态向量，y是输出向量，A，C都是常数阵。可以根据矩阵A和C确定系统的能观性。线性定常系统对于完全能观的充要条件是下列命题中任何一个成立： 矩阵的列在)上线性独立。 对于任何，0和>，如下定义的格

13、兰姆矩阵非奇异： rank(=n 矩阵的列线性独立。利用matlab对系统进行能观性分析:clear;clc;A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;B= 0 1 0 3;C= 1 0 0 0;0 1 0 0;D= 0 0 ;rank(C A*C A2*C A3*C)ans = 4系统具有可观性图3.3系统可控性，可观性可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。因此接下来，我要进行控制器的设计。四.系统的设计4.1线性系统稳定性条分析由于稳定性是系统在自由运动下的特性，故只需考虑自治系统为维状态向量；为时间变量； 为维函数，其展开式为：

14、如果对于所有，满足 的状态称为平衡状态(又称为平衡点)。如果系统是线性定常的，也就是说，则当为非奇异矩阵时，系统存在一个唯一的平衡状态；当为奇异矩阵时，系统将存在无穷多个平衡状态。对于非线性系统，可有一个或多个平衡状态，这些状态对应于系统的常值解(对所有，总存在)。任意一个孤立的平衡状态(即彼此孤立的平衡状态)或给定运动都可通过坐标变换，统一化为扰动方程之坐标原点，即或。在本章中，除非特别申明，我们将仅讨论扰动方程关于原点处之平衡状态的稳定性问题。这种“原点稳定性问题”由于使问题得到极大简化，而不会丧失一般性，从而为稳定性理论的建立奠定了坚实的基础，这是Lyapunov的一个重要贡献。控制系统

15、李雅普诺夫意义下的稳定性是关于平衡状态的稳定性，反映了系统在平衡状态附近的动态行为。鉴于线性系统只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性能够表征整个系统的稳定性。对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，由于各平衡状态的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑，还需结合具体初始条件下的系统运动轨迹来考虑。4.2二次型最优控制设计在控制系统中，为了达到同一个控制目的，可以有多种方案，具有最小能量的控制方式更具有实际意义。对于 （1）系统性能和控制能量的要求可以由下列二次型性能指标来描述： （2）Q是对称正定（半正定）加权矩阵，R是对称正定加权矩阵，他们反映了设 计者对状态x和控制u中各分量重要性的关注程度。第一项反映控制性能，这一项