求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法

1、0 ®搦不定方程与整数分拆内容概述1求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题.补充说明：对于不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考思维 导引详解五年级第15讲 余数问题.解不定方程的4个步骤：判断是否有解；化简方程；求特解；求通解.本讲讲解顺序：=包括1、2、3题=二-包括4、5题=包括6、7题，其中步骤中加入百鸡问题.复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程.整数分拆问题：11、12、13、14、15.【典型问题】觀级数;*車4的数有多少个？1 在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得

2、的商恰好是【分析与解】设这个两位数为 ab，则数字和为a b，这个数可以表达为 10a b，有 10a b j： a b =4即 10a b = 4a 4b，亦即 b = 2a .注意到a和b都是0到9的整数，且a不能为0,因此a只能为1、2、3或4,相应地b的取值为2、4、 6、 8.综上分析，满足题目条件的两位数共有4个，它们是12、24、36和48. 级数：車#1993年全国小学数学奧林匹克-初賽民襪卷第2題A b 172 .设A和B都是自然数，并且满足 一一二一，那么a+B等于多少？11333【分析与解】将等式两边通分，有 3A+IIB=17,显然有B=l , A=2时满足，此时 A+

3、B=2+1=3.鱷阙级数：車韭京市第三屈“迎煤杯”数学竟嘉决赛第一題第柠题3 .甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支.张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少【分析与解】 设购买甲级铅笔 x支，乙级铅笔y支.有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的 方法：将系数与常数对3取模(系数7，3中，3最小)：得x=2(mod 3)，所以x可以取2，此时y取12； x还可以取2+3=5，此时y取5；I x = 2 f x = 5即、，对应x y为14、10y=12 y = 5所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支.级数：車車車4

4、.有纸币60张，其中1分、I角、1元和10元各有若干张.问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元？【分析与解】设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张，列方程如下： a +b +c +d =60(1 )由 a 10b 100c 1000d -10000 2(1)得 9b 99c 999d =9940 注意到式左边是 9的倍数，而右边不是 9的倍数，因此无整数解，即这些纸币的总面值不能恰好为100 元.觀级数*虞蕙丫門整麥庚金杯”少年数輕请务决骞口試第&題5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计.问：剩余部分的管子最

5、少是多少厘米？【分析与解】24厘米与36厘米都是12的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总长度必是12的倍数，但374被12除余2,所以截完以后必有剩余.剩余管料长不小于2厘米.另一方面，374=27X 12+4X 12+2，而 36- 12=3, 24- 12=2，有 3X 9+2X 2=31.即可截成 9 根 36 厘米 的短管与2根24厘米的短管，剩余 2厘米.因此剩余部分的管子最少是2厘米.(g)國级数：車車拿6 .某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加.男职工每人种13棵树，女职工每人种10棵树，每个孩子种6棵树，他们一共种了 21

6、6棵树.那么其中有多 少名男职工？ 【分析与解】 设男职工x人，孩子y人，则女职工3 y - x人(注意，为何设孩子数为 y人，而不是设女职工为y人),那么有 13x 10 3y -x 6y=216，化简为 3x 36y=216，即 x 12y=72.有尸12 y =5*x=12 时，3y_x = 3 满足.y = 5x = 24 f x = 36 f x = 48 f x = 60 y =4 y =3 y =2 y =1但是，女职工人数为 3y_x必须是自然数，所以只有那么男职工数只能为 12名北亲市第十四届“逡春杯“数学竞赛决赛第二題第3题7 .一居民要装修房屋，买来长0.7米和0.8米的

7、两种木条各若干根.如果从这些木条中取出一些接起来，可以得到许多种长度的木条，例如：0.7+0.7=1.4米，0.7+0.8=1.5 米.那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中，哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的？【分析与解】 设0.7米，0.8米两种木条分别 x , y根，贝U 0.7 x+0.8 y =3.43.6 ,即 7x+8y =34, 36, 37, 38, 39将系数，常数对7取模，有y三6, l , 2, 3, 4(mod 7)，于是y最小分别取6,1,2, 3, 4.但是当y取6时，8X 6=48超过34, x无法取值.所以3.4米是不可能通

8、过这些木条的恰当拼接而实现的.魏敎级数；車車1990年全国小学数学奥林匹克*决賽第4題8.小萌在邮局寄了 3种信，平信每封8分，航空信每封1角，挂号信每封角，她共用了 1元2角2分.那 么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封 ？【分析与解】显然，为了使 3种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最 后才是平信.但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分.所以，2分，10 n+2分应该为平信的邮费，n最小取3，才是8的倍数，所以平信至少要寄4封,此时剩下的邮费为 122-32=90，所以再寄4封挂号信，航空信1封即可.于是，小萌寄的这 3种信的总和最少是 4+1+4=9封

9、.级数：:車拿厂第二届“华罗庚金杯“少年邀请赛复簧第g题9.有三堆砝码，第一堆中每个砝码重 3克，第二堆中每个砝码重 5克，第三堆中每个砝码重 7克.现 在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为 130克.那么共需要多少个砝码 ？其中3克、5克和7克 的砝码各有几个？【分析与解】为了使选取的砝码最少，应尽可能的取7克的砝码.130-7: 184,所以3克、5克的砝码应组合为 4克，或4+7 k克重.设3克的砝码x个，5克的砝码y个，则3x 54 7k .当k=0时，有3x 54，无自然数解；当k=1时，有3x5y=11，有x=2, y =1，此时7克的砝码取17个，所以共需2+1 + 17=2

10、1个砝码，有 3克、5克和7克的砝码各 2、1、17个.当k>1时，7克的砝码取得较少，而 3、5克的砝码却取得较多，不是最少的取 砝码情形.所以共需2+1+17=20个砝码，有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个.(g)筋级数：車10 . 5种商品的价格如表 8 1,其中的单位是元现用 60元钱恰好买了 10件商品，那么有多少种不 同的选购方式？表B - !1品种ACDE单价2.94J7,210.614.9【分析与解】设B C D E、A商品依次买了 b、c、d、e、(10-b-c-d-e)件，则有2.9 10 -b -c -d -e i亠4.7b 7.2c 10.6d 14.9e

11、=60.18b43c 77d120e=310,显然 e只能取 0, 1, 2.I 酉瞪三期有 18b+43c+77d =310,其中 d 可取 0, 1, 2, 3, 4.(1)当d=0时，有18b43c=310，将系数，常数对 6取模得：c三4(mod 6)，于是c最小取4,那么有18b=310- 43X4=138, b不为自然 数所以d=0时。不满足；(2)1宣上丄时有 18b+43c=233，将系数，常数对 6取模得： c 三 5(mod 6),于是 k最小国勻,那么有 18b=233-43 X 5=18, -=-，当就"时有18b+43c=156，将系数，常数对 6取模得:c

12、 = O(mod 6)，于是c最小取0,那么有18b=156, b不为自然数，所以 d=2 时，不满足；(4)汁一3汩有18b43c =79，将系数、常数对 6取模得：c三1(mod 6)，于是最小 f 那么有18b=79 43=36. - 2 茂圧当d=4时，有18b 43c =2,显然不满足.当"1有 18b+43c+77d=190，其中 d 可以取 0、1、2.t当圧=0时|有18b+43c=190，将系数、常数对 6取模有：C三4(mod 6),于是 同最小取可那么有18b=190-43 X 4=18 下刁,請逗 当d=1时，有18b 43c =113，将系数、常数对 6取模

13、有：C三5(mod 6)，于是C最小取5,即卩18b +215=113，显然d=1时，不满足; I当Y = i时I，有18b + 43c =36,显然有b =0 *时_適星胡当"2有 18b 43c 77d =70, d 只能取 0,有18b43c =70,将系数、常数对 6取模有：c = 4(rood 6)，于是c最小取4,那么有18 b+172=70,显然不满足最后可得到如下表的满足情况：1E的D的B的f的q.4(-10- E- /J- n- C)件数件数件数1件数的件数I第一种情况0J153；第二种情况032J4第三种靖况10144第四棘情况12205 _J共有4种不同的选购方

14、法.级熱卓車車t第一届“华罗庚金杯"少年数学邀请赛.复赛第斗题11 .有43位同学，他们身上带的钱从 8分到5角，钱数都各不相同.每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3分一张和5分一张每11人都尽量多买5分一张的画片问他们所买的3分画片的总数是多少张 ？【分析与解】钱数除以5余0, 1 , 2, 3, 4的人，分别买0, 2, 4, 1 , 3张3分的画片.因此，可将钱数8分至5角2分这45种分为9组，每连续5个在一组，每组买 3分画片0+2+4+1+3=10张，9组共 买10X 9=90张，去掉5角1分钱中买的2张3分画片，5角2分中买的4张3分画片，43个人买的3

15、 分画片的总数是 90-2-4=84张.觀霍级数:盘騒戳第吏届哉华罗庚金杯刃少年数学邀请赛初赛第二题第&題12 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2的偶数都可以表示成两个质数之和.”试将168表示成两个两位质数的和，并且其中的一个数的个位数字是1.【分析与解】个位数字是1的两位质数有11 , 31, 41, 61 , 71.其中 168-11=157, 168-31=137 , 168-41=127 , 168-61=107，都不是两位数，只有168-71=97是两位数，而且是质数，所以168=71+97是惟一解.级数：t妙卑鱼国小学敎学奥林匹克初赛B卷第2题13. (1)将50分拆成10个

16、质数之和，要求其中最大的质数尽可能大，那么这个最大质数是多少？(2)将60分拆成10个质数之和，要求其中最大的质数尽可能小，那么这个最大的质数是多少？【分析与解】(1)首先确定这10个质数或其中的几个质数可以相等，不然10个互不相等的质数和最小为 2+3+5+7+11 + 13+17+19+23+29,显然大于 50.所以，其中一定可以有某几个质数相等.欲使最大的质数尽可能大，那么应使最小的质数尽可能小，最小的质数为2,且最多可有9个2,那么最大质数不超过 50 2X 9=32，而不超过 32的最大质数为31.又有52 22 3 31，所以满足条件的最大质数为31.8个2(2)最大的质数必大于

17、 5，否则10个质数的之和将不大于 50.所以最大的质数最小为7,为使和为60,所以尽可能的含有多个7.60-7=8,4 ,60=7+7+7+7+4，而 4=2+2,恰好有 60=7+7+7+ +7+2+2 .即 8 个 7 与 28 个 78个 7个2的和为60，显然其中最大的质数最小为7.级数：車車車|毁;年全国小学数学奠林匹克决赛一试第庁题14 .有30个贰分硬币和8个伍分硬币，用这些硬币不能构成的1分到1元之间的币值有多少种 ？【分析与解】注意到所有38枚硬币的总币值恰好是 100分(即1元)，于是除了 50分和100分外，其他98种币值就可以两两配对了，即(1 , 99) ; (2

18、, 98) ; (3 , 97) ; (4 , 96) ; , ;(49 , 51)；每一对币值中有一个可用若干个贰分和伍分硬币构成，则另一个也一定可以，显然50分和100分的币值是可以组成的，因此只需要讨论币值为1分，2分，3分，48分和49分这49种情况.1分和3分的币值显然不能构成.2分，4分，6分，46分，48分等2; 4种偶数币值的都可以用若干个贰分硬币构成.5分，7分，9分，47分，49分等23种奇数币值的只须分别在 4分，6分,8分，46分、48分 的构成方法上，用一枚伍分硬币去换两枚贰分硬币即可，譬如，37分币值的，由于 36分币值可用18枚贰分硬币构成，用一枚伍分硬币换下两枚贰分硬币，剩下的币值即为37分.综合以上分析，不能用30个贰分和8个伍分硬币构成的1分到1元之间的币值只有四种，即1分，3分，97分，99分.级数:*审巒吐199$年全国小学数学奥林匹克决赛R卷第口题15 .小明买红、蓝两支笔，共用了 17元.两种笔的单价都是整数元，并且红笔