【精品】高中数学7.1直线的倾斜角和斜率(第一课时)大纲人教版必修

1、第七章直线和圆的方程§直线的倾斜角和斜率课时安排2 课时从容说课1. 本小节内容包括直线的方程和方程的直线的概念， 直线的倾斜角和斜率概念， 过两点的直线的斜率公式 .2. 本小节的重、难点 .本小节的重点是直线的倾斜角和斜率的概念，过两点的直线的斜率公式概念的学习和过两点的直线的斜率公式的建立.3. 本小节在教材中的地位. 难点是斜率首先，初步了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念，为今后学习曲线和方程的概念作准备； 其次，正确理解斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，是学习直线方程，研究直线的位置关系等许多问题的关键，也是学好本章内容的关键.4. 本小节重、难点的处理 .引导

2、学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要. 倾斜角和斜率都是反映直线相对于x 轴正方向的倾斜程度的. 倾斜角是直线反映这种倾斜程度的，而斜率等于倾斜角的正切值.直线的倾斜角分两种情况定义：第一种是对于x 轴相交的直线， 把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角叫直线的倾斜角；第二种是当直线和x 轴平行或重合时，规定直线的倾斜角为0° . 斜率是倾斜角对应的正切值，在讲解倾斜角变化所引起的斜率变化时，要根据正切函数y=tanx(0 ° a<180° ) 的图象，并结合图象指出，倾斜角为

3、90°的直线无斜率. 同时，使学生回顾和巩固正切函数的图象和性质.第一课时课题§直线的倾斜角和斜率( 一)教学目标( 一 ) 教学知识点1. “直线的方程”与“方程的直线”的概念.2. 直线的倾斜角和斜率 .3. 斜率公式( 二 ) 能力训练要求1.了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念.2.理解直线的倾斜角和斜率的定义.3.已知直线的倾斜角，会求直线的斜率.4.已知直线的斜率，会求直线的倾斜角.( 三 ) 德育渗透目标1. 认识事物之间的相互联系 .2. 用联系的观点看问题 .教学重点直线的倾斜角和斜率概念.教学难点斜率概念理解与斜率公式.教学方法学导式本小节从一个具体

4、的一次函数与它的图象入手，引入直线的方程与方程的直线概念，注重了由浅及深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法.引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是由于进一步研究直线方程的需要 .在直线倾斜角和斜率学习过程中，要引导学生注重导求倾斜角与斜率的相互联系，以及它们与三角函数知识的联系. 在对倾斜角及斜率这两个概念进行辨析时，应以倾斜角与斜率的相互变化作为突破口 .教具准备投影片三张第一张：“直线的方程”与“方程的直线”概念（记作§7.1.1 A ）第二张：斜率公式推导过程（记作§7.1.1 B）第三张：本节例题（记作§ 7.1.1

5、C ）教学过程 . 课题导入师 在初中，我们已经学习过一次函数，并接触过一次函数的图象，现在，请同学们作一下回顾，一次函数的图象有何特点?生 一次函数形如y kx b，它的图象是一条直线 .师 如果我们现在对于一给定函数y 2x 1，如何作出它的图象 .生 由于两点确定一条直线，所以在直线上任找两点即可.师 这两点与函数式y 2x 1 有何关系 ?生 这两点就是满足函数式的两对x， y 值 .师 好，这一同学回答的完全正确. 从上述作图过程可以看出，满足函数式y2 1x的每一对 x，y 的值都是函数y2x 1 的图象上的点，也就是一条直线上的点；同样，这条直线上的每一点的坐标都满足函数式y2x

6、 1.因此，我们可以得到这样一个结论：一般地，一次函数ykx b 的图象是一条直线，它是以满足y kxb 的每一对 x、 y 的值为坐标的点构成的.由于函数式ykx b 也可以看作二元一次方程. 所以我们可以说， 这个方程的解和直线上的点也存在这样的对应关系.师有了上述基础， 我们也就不难理解“直线的方程” 和“方程的直线” 的基本概念 . . 讲授新课1. 直线方程的概念： ( 给出投影片§以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点，反过来， 这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.师在平面直角坐标系中研究直线时，就是利

7、用直线与方程的这种关系，建立直线的方程的概念，并通过方程来研究直线的有关问题. 为此，我们先研究直线的倾斜角和斜率.下面，请同学们通过自学了解直线的倾斜角与斜率的有关概念，并注意它们的变化范围.2. 直线的倾斜角与斜率：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线， 如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为 ，那么 就叫做直线的倾斜角.当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0° .师 因此，根据定义，我们可以得到倾斜角的取值范围是0° 1 0°.倾斜角不是 90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常

8、用k 表示 .为使大家巩固倾斜角和斜率的概念，我们来看下面的概念辨析题.关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的.A. 任一条直线都有倾斜角，也都有斜率；B. 直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；C. 平行于 x 轴的直线的倾斜角是0 或 ；D. 两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.E. 直线斜率的范围是 ( ， ).生上述说法中， E 正确，其余均错误， 原因如下： A. 与 x 轴垂直的直线倾斜角为，2但斜率不存在； B. 举反例说明， 120° 30°，但 tan120 °3 tan30 °3 ；C.3平行于 x 轴的直线的倾斜角为0；D.2，

9、但斜率不存在， 也就谈不上相等 .师 通过上面的练习，我们可以总结出如下几点(板书 )说明：当直线和x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为0°；直线倾斜角的取值范围是0° 1 0°；倾斜角是 90°的直线没有斜率 .师 下面我们对于 “两点确定一条直线” 这一事实， 研究怎样用两点的坐标来表示直线的斜率 .3. 斜率公式：经过两点1(x1，1)， 2（2，y2）的直线的斜率公式：k y2y1 （12）PyPxx2xxx1( 给出投影片§推导：设直线1 2 的倾斜角是 ，斜率是k，向量P1 P2 的方向是向上的 ( 如上图所示 ).P P向量

10、 P1 P2 的坐标是 ( x2 x1， y2y1). 过原点作向量 OPP1 P2 ，则点 P 的坐标是 ( x2 x1，yy 2y1（ x x）y ) ，而且直线 OP的倾斜角也是 ，根据正切函数的定义， tan 21x 2x112即 k y 2y1 （ x1 x2）x2x1同样，当向量P2 P1 的方向向上时也有同样的结论.师 下面通过例题讲评逐步熟悉斜率公式.4. 例题讲解：例 1如图，直线 l1 的倾斜角 1 30°，直线 l1 l 2，求 l1、l2的斜率 .分析： 对于直线 l 1 的斜率，可通过计算tan30 °直接获得，而直线 l 2的斜率则需要先求出倾斜

11、角2，而根据平面几何知识，21 90°，然后再求tan 2 即可 .解：l 1 的斜率 k1 tan 1 tan30 °3 ， l 2 的倾斜角 2 90° 30° 120°，3l2的斜率 k tan120 ° tan （ 10° 60°） tan60 °3 .2评述 ：此题要求学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式及特殊角正切值的确定 .例 2直线经过点 A(sin70°， cos70 °) ， B（ cos 0°， sin 0°），则直线

12、l 的倾斜角为 ()A.20 °B.0°C.50 °或 70°D.120 °参考公式：sin sin 2cossin，22cos cos 2sini .22分析： 若想求出 l 的倾斜角，则应先由斜率公式求出l 的斜率 . 思路较为明确，但关键在于运用斜率公式后三角函数的变形. 考虑到这一点，题目给出两个参考公式，但仍对学生解题的灵活性有一定要求，其中，若想利用参考公式， 需要对分子、 分母进行函数名的统一、希望给予学生一定的启示 .解：设 l 的倾斜角为 ，则 tan cos70sin 40sin 70cos40sin 20sin 40cos

13、20cos402 cos30 sin( 10 )2 sin 30 sin( 10 )3又 0， 120°故选 D.师 接下来，我们通过练习来熟悉已知直线的倾斜角求斜率，并明确倾斜角变化时，斜率的变化情况 . . 课堂练习1. 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) 0°；（ 2） 60°(3) 90°；（） 34分析：通过此题训练，意在使学生熟悉特殊角的斜率.解： (1) tan0 ° 0倾斜角为0°的直线斜率为0；(2) tan60 °3倾斜角为60°的直线斜率为3 ；(3) tan90 °不存在倾斜角

14、为90°的直线斜率不存在；(4) tan 3 tan （ 4） tan 1，倾斜角为3 的直线斜率为 1.4442. 已知直线的倾斜角的取值范围， 利用正切函数的性质， 讨论直线斜率及其绝对值的变化情况：(1)0 ° 90°解：作出 y tan 在 (0 °， 90°）区间内的函数图象；由图象观察可知：当 （ 0°， 90°），y tan 0，并且随着 的增大， y 不断增大， y也不断增大 .所以，当 （ 0°， 90°）时，随着倾斜角 的不断增大，直线斜率不断增大，直线斜率的绝对值也不断增大.(2)9

15、0 ° 1 0°解：作出y tan 在 (90 °， 10°）区间内的函数图象，由图象观察可知：当 (90 °， 180°）， y tan 0，并且随着 的增大， ytan 不断增大， y不断减小 .所以当 （ 90°， 1 0° ) 时，随着倾斜角 的不断增大，直线的斜率不断增大，但直线斜率的绝对值不断减小.师 针对此题结论，虽然有当（ 0°， 90°），随着 增大直线斜率不断增大；当（ 90°，1 0°），随着 增大直线斜率不断增大，但是当 （ 0°，90

16、76;） （90°，1 0°）时，随着 的增大直线斜率不断增大却是一错误结论. 原因在于正切函数ytan 在区间 (0 ，90°）内为单调增函数，在区间 (90 °， 1 0°）内也是单调增函数，但在 (0 °，90°）（ 90°， 1 0° ) 区间内，却不具有单调性 . . 课时小结通过本节学习，要求大家掌握已知直线的倾斜角求斜率，理解斜率公式的推导，为下一节斜率公式的应用打好基础. . 课后作业( 一) 课本 P37习题 7.11. 在同一坐标平面内，画出下列方程的直线：l 1： 2x3y 6 0 l 3： 2x3y 6 0l2： 23 60xy2. 已知直线的倾斜角，求直线的斜率：(1) 30°；（2） 5°；（3） 5 ；6（） 2；（ 5） 9°；（ 6） 2.3解： (1) tan30 °3 ，3直线斜率为3 ；3(2) tan 5° 1，直线的斜率为 1；(3) tan5 tan3 ，66