超静定结构的实用计算方法与概念分析

1、9-1试说岀何为杆端转动刚度、弯矩分配系数和传递系数，为什么弯矩分配法一般只能用于无结点线 位移的梁和刚架计算。9-2试用弯矩分配法计算图示梁和刚架，作出M图，并求刚结点B的转角 屉。(a)20kN/m140kNElB“El C6m2m - - 2m解：设 El=6，则 iAB =1,iBc =1.54 14 1 3 1.5= 0.473 1.54 1 3 1.5=0.53结点ABC杆端ABBABC分配系数固端0. 470.53绞支固端弯矩-6060-300分配传递-7.05*一 -14.1-15.90最后弯矩-67.0545.9-45.901 1=亍"M BA - mBA - ?

2、M AB - mAB21二 45.9 -6067.05 60El IL2-21.15 KN m2逆时针方向El67.545.940丄I,-9m- - - 9m 解：设El=9 ,_则i BD=3BE =3山二亠=3 3 3 3 3 1 4 14 1=0.36弘=3 33331413 1=0.16结点ABC杆端ABBABCBDBE分配系数固端0.160.120.360.36绞支固端弯矩00045-900分配传递3.67.25.416.216.20最后弯矩3.67.25.461.2-73.80% =3 3 3 3 3 1 4 1 =0.121M3i _7.2 一0EI _162 KN mEIBAm

3、BA-mAB-1 3.6 -022顺时针方向61.25.49-3试用弯矩分配法计算图示刚架，并作出 M图。(a)32kN8kN/m6kNEl! 4m - - 4m8m解：E为角位移节点设 EI=8,则 iAB固端弯矩M离i BC 1 ， - LBX = "Be 0.5Pabl b 32 4 4 122 82= 48KN9I2MBc丄6 2 = -58KN8 2结点力偶直接分配时不变号结点ABC杆端ABBABC分配系数铰接0.50.5固端弯矩048-5812分配传递050505512最后弯矩103-31210356.5(b)解：存在B、C角位移结点 设 El=6，则 iABigc ic

4、D =1Cb 二4 14 14 14 13 14 1= 0.5固端弯矩:MAB =£OKN mM 耿二-80KN mM BC M CB =°40席1M CD :80140KN m82结点ABC杆端ABBABCCBCD分配系数固结0.50.54/73/7固端弯矩-808000-140-20-40-40-2047.591.468.6-11.4-22.8-22.8-11.4分配传递3.256.54.9-0.82-1.63-1.63-0.820.60.45最后弯矩-112.2215.57-15.4866.28-66.05(C)24kN/m解：B、C为角位移结点, 11 ,44-BA

5、,"Bo1 451 454411丄B :,Id1 451 45固端弯矩：M ab24 426= 64KN24 423=128KN mM BC224 5-50KNm-1224 52M CB50 KN m12224 5M CD二-200 KNm324 52M DC=-100KNm6结点AB杆端ABBABC分配系数滑动0.20.8固端弯矩64128-5015.6-15.6-62.472.4814.5-14.5-58分配传递11.62.32-2.32-9.28最后弯矩96.4295.58-95.6M BACDCBCD滑动0.80.2-10050-200-31.2144.9636.24-36.

6、24-2923.25.8-5.8-4.643.70.93-0.93157.02-157.03-142.97(d)20kNteC2kN/mm解:EI=常数:4m J 1 .4 厂 “ =0.54 1DeDE4 14 1：u3 111_34 1 4 1 3 1 _11固端弯矩:DE一8 KNM ed=8 KN3结点杆端分配系数固端弯矩分配传递最后弯矩ACDEACCACDDCDBDEED固结0.50.54/113/114/11固结00000-2.672.67-5-10-10-546/3392/3369/3392/3346/33-0.35-23/33-23/33-0.350.1270.0960.127

7、0.064-5.35-10.7-9.3-2.442.190.254.12(e)-4m6m解：当D发生单位转角时：Yc =K 4 详耳m则 Mdc =旦 4rElm'(假设-12)4Sdc 二 12,Sda 二9, Sde 二 16,Seb -：12, Sde 二16-DC 37,氐9 J 37164.-de,. Led,. eb3773_7结点DE杆端DCDADEEDEB分配系数12/379/3716/374/73/7固端弯矩00-990-2.57-5.14-3.863.752.815-2.5分配传递-0.72-1.43-1.070.230.180.310.16最后弯矩3.982.99

8、-6.985-5BBE固结0-1.93-0.54-2.47(f)2kN/m1.5EIElEl2kN/m1.5EI1-6m 解：截取对称结构为研究对象。Saa =0.5EISab =4 弓二 El4AA 2/3同理可得：曲=2，仏wCAB CBACaa 二 Cbb 二-1 _2ABAA * AA1/30-6-342 甘-21.33-0.89 -0.44 书-0.440.15-0.10 -0.05 十 0.054.49 -4.49-4.51BABB2/31/30-6屮22.671.33-0.440.290.15-0.050.030.024.50-4.50-0.02-4.50-0.15BB “-3二

9、-1.334.494.514.504.50-4.509-4试用弯矩分配法计算图示梁，并作出M图。设图a梁含无限刚性段；图 b梁B支座处含转动弹簧，刚度系数为k(=4i。(a)-31.4 一.441 -i I41 -解:4iEli1=3i ：；-3 3 丨=4i (其中 i414M CB - 0M BC16i3导CBcM BCM CB-0-6i1 1M b 入=4i 6i"3l刁丨4M AB =2i 6i 1 丄丨414=4iSBA = M BA28iCBAM AB结点AB杆端ABBABC分配系数固结7/114/11固端弯矩0分配传递3M/117M/114M/11最后弯矩3M/117M

10、/114M/11M BACCB铰结000M图4m - -2m - - 2m -1解：首先在B点偏右作用一力矩，如图所示根据杆bc端，可得m = 4i BC 匕bc 一 ba 根据杆BA端，可得kv去-Tea =4i TBa由式得：虹=匚丛滋k9将式代入式得：M =4i金 4i Qa4i如4i Qc4iQbc4i4i 4i 20BC - 0ba4i2kv4i 8i 31怕 1宙A = I -阳C4i 2心 39-5试用弯矩分配法计算图示剪力静定刚架，并作岀E11=8图。(a)解:2EI2EI作出M图（在二 LE1 -B处加刚臂）Sbd = 3i, Sba = 0, Sbc = 2iBD=0.6

11、j ba 二 0, BC 二 0.4(b)F10kNG10kNHBCDEA4m ： 一 4m -1结点ABCE杆端ABBDBABCCBCEEC分配系数铰结0.600.4铰结固端弯矩0-2ql 2-ql 73-ql 2/600分配传递021 ql 2/15014ql 715-14ql 2/150最后弯矩021 ql 2/15-2ql 23ql 2/5-33ql 2/3000解：提取左半部分分析(a)(b)(a) 图中结构不产生弯矩，(b)图中结构为反对称结构，因此可以取下半部分分析得:SAE =3Ei/1.5=2EISAB =EI /4 J El48H =91Sba =SabEl4Sbf 二Sa

12、e =2 El-101.118.89 詁-100.110.9-9.799.79BABC * BF '1/11 B2/11 8/11-10-1.111.012.02 8.08-0.11 5kN0.01-10.20.02 0.082.04 8.16a AB AE ' 5kN A 1/98/9C1,111聖.79翠1612.04 j10.2 :M图9-6试回答：剪力分配法的适用范围如何？什么叫柱子的并联和串连？由并联和串连所构成的合成 柱，其剪切刚度和剪切柔度应如何计算？9-7试用剪力分配法计算图示结构，并作出M图。(a)解：AB、CD、EF、GA均为并联结构。首先转化结间荷载5ql

13、-8=62.5KN 卩 i qFa3q8=-37.5KNQ2 =-22.5KN *固端弯矩：- _g 125KN m83EI9EIl324 il3于是边柱和中柱的剪力分配系数为ri转化后的荷载为：37.5+22.5+10=70KN边柱和中柱的剪力分别为：70FQ170 KN8210Fq =r2 X70 =竺 KNQ2 2 8边柱柱脚弯矩为:70 10 125 =212.5KN m中柱柱脚弯矩为： 空 10 =262.5KN m8(b)El1=sEl 1=8DEl 1=8EI10kNl3EI m"k丄3EIEI解：同上题，边柱和中柱的剪力分配系数为13H _8，" _8转化结

14、间荷载q；E 二一1014 =_8.96KN103边柱和中柱的剪力分别为:Fq =r :<8.96 =1.12KN ,mEF10 8= -3.2KN mFq =r2 吃.96 =3.36KN,M FEQ2100P 82 212.8 KN m100边柱柱脚弯矩为：1.12-5.6 KN m中柱CD柱脚弯矩为：3.36 5 - T6.8KN m中柱EF柱脚弯矩为：-3.2-16.8 - _20KN m(C)mmA解:El1=sdE11=ge30kNEIEI4EIDE11=gGbEIEIcC&LEH 30kNa(a)当顶层横梁没有水平位移时,d、e、b、c 并列R=45KN1rb=d4

15、F Qb =Fqc =FQd =FQe =7.5KN(b)单位：KN mckb12 4EI 1kk=21FQa =45/3 =15KN8ka二 kg占2 2223a =1FQ de FQ be 30 KN(d)60FQb = Fqc =FQd =F15601560154545M图KNm12Fq de =15KN60454515EIEI i=sEI 1= 3ee F iBEI D EIdA aC b E解：结构分析:be并联与de并联，经串联后的结合柱与a并联。3EI159EIrard12EI112EI 12EITl3l339,r159120疋 15汇丄 r =120x15x4159395, e

16、 _159 395bede120面Z12024115939213I3.Qa =4.97KN,Qb =Qe =4.64KN,Qd =1.16KN ,Qe =4.64KNM 图 KN m8M图。9-8图示刚架设各柱的侧移刚度如括号内所示，试用剪力分配法计算，并作出F E11= sJ E11= sg(i)h(1)55kN_E E11= sIE11= sd(2)e(2)EIi =D E11= sHa(2)b(3)c(3)I-k30kNMiLf(3)BK解:(a)g、h、i三杆并联1rg 二n 二ig3FQg 九卡=10KNR=30 55 =85 KN10KN20201804020KN20KN3015K

17、N30(b)85KN 180403045KN5KNab并.串.ck abc ；.=23 3 =884kde =22=48 3381717FQf =85 =45KNQf17FQ abcde=8517 =40KN二 FQe40 =20KN2240 =10KN= Fqc =3 40 =15KN8将(a)、(b)两图叠加得:202020曲T ；404020603020304040X£303020(a)qlll2X(b)q2EIlEIEIlPlDC22212MeM DCql2ql2160/R於?7HWM 图 KN m解：对于跨间均布荷载的等截面连续梁。其变形曲线如图所示。C点角位移应是顺时针方

18、向C支座处承受负弯矩，数值应小于C端为固定端时的弯矩q|2/3iM b 二2M a1609-9试运用力学基本概念分析图示结构，并作出M图的形状。解：若D点固定，贝U M但MdE ： M DC , D结点左侧下缘将受拉 EI=常数+实际结点的转动受到弹性约束若DE段两端固结，则MdeM ED ' M DE2a解：对于仅有结点线位移的刚架B端若为固定端则A、B两点固端弯矩为Fpa/4B端若为自由端，则 B端弯矩为-Fpa/4B端实际弯矩应介于两者之间。根据柱的侧移刚度，B端弯矩为左边受拉。且M BD2.M DB =2 M CD(d)P l -l(a)解:(b)(c)b )、( c)所示。B点没有线位移，于是考虑两种极端情况，如(可以看出 Mab|；lFplgFpl且 Mab -.MbaBD杆没有剪力。我们还应注意2反对称正对称(e)(f)解:EI=常数，正六边形El=常数反对称：可知AB杆和ED杆没有剪力，因为如果有，则剪力方向相同，结构水平方向的里无法 平衡。所以AB杆与ED杆的弯矩与杆平行。EI2a对称：C铰只能提供水平力，忽略轴向变形。(b)(a)、( b)两图叠加，得M(g)F p2